灌云中学高二阶段性测试数学试卷满分:150分时间:120分钟一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。1.数列-1,3,-5,7,-9,,的一个通项公式为( )A.B.C.D.2.平行直线l1:3x-4y+6=0与l2:6x-8y+9=0之间的距离为( )A.B.C.3D.3.已知圆心为(-2,1)的圆与y轴相切,则该圆的标准方程是( )A.B.C.D.4.“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为( )A.B.C.D.5.已知函数,则( )A.eB.-eC.e2D.-e26.已知椭圆的右焦点为,为椭圆上一动点,定点,则的最小值为( )A.1B.-1C.D.7.设函数在R上可导,其导函数为,且函数的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )A.函数有极大值和极小值B.函数有极大值和极小值C.函数有极大值和极小值D.函数有极大值和极小值8.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点为抛物线上一点.以M为圆心的圆经过原点O,且与抛物线的准线相切,切点为H.线段HF交抛物线于点B,则
( )A.B.C.D.二、选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项是符合要求的。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分。9.以下四个命题表述正确的有( )A.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0B.直线(3+m)x+y-3-m=0(m∈R)与圆x2+y2=4一定相交C.圆x2+y2=4上存在2个点到直线l:的距离都等于3D.曲线C1:x2+y2=4与曲线C2:x2+y2-6x-8y+m=0恰有三条公切线,则m=1610.等差数列{an}的公差d≠0,前n项和为Sn,若S7=S12,则下列结论中正确的是( )A.B.S19=0C.|a6|<|a15|D.当d>0时,a6+a15>011.过M(1,1)作斜率为2的直线与双曲线相交于A、B两点,若M是AB的中点,则下列表述正确的是( )A.b<aB.离心率C.b>aD.渐近线方程为y=±2x12.若过点P(a,0)可以作曲线y=xex的切线有且仅有两条,则实数a的值可以是( )A.2B.-2C.-4D.-6三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知是的极小值点,那么函数的极大值为______.14.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项之差成等差数列,如数列1,3,6,10,前后两项之差得到新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列,这样的数列称为二阶等差数列,对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第20项为______.15.数列{an}的通项公式为an=3n,记数列{an}的前n项和为Sn,若∃n∈N*使得
成立,则实数k的取值范围是______.16.已知是抛物线上一点,且位于第一象限,点M到抛物线C的焦点F的距离为6,则a=______;若过点向抛物线C作两条切线,切点分别为A、B,则______.
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知直线:.(1)若直线在x轴上的截距为-2,求实数a的值;(2)若直线与直线平行,求两平行直线与之间的距离.18.(本小题满分12分)设Sn是正项数列{an}的前n项和,且.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式.19.(本小题满分12分)已知点,,圆C:,直线l过点N.(1)若直线l与圆C相切,求直线l的方程;(2)若直线l与圆C交于不同的两点A,B,设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,证明:k1+k2为定值.
20.(本小题满分12分)设椭圆C:的焦点为F,过F的直线l与C交于A、B两点,点M的坐标为.(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.21.(本小题满分12分)一根长为L的铁棒AB欲水平通过如图所示的走廊(假定通过时贴着内侧的圆弧墙壁,如图),该走廊由宽度为1m的平行部分和一个半径为2m的四分之一圆弧转角部分(弧CD段,圆心为O)组成.(1)设∠TOS=θ,试将L表示为θ的函数;(2)求L的最小值,并说明此最小值的实际意义.22.(本小题满分12分)已知函数.(1)若在上单调递减,求a的取值范围;(2)证明:当a=1时,f(x)在上有且仅有一个零点.
灌云中学高二阶段性测试数学试卷参考答案满分:150分时间:120分钟一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。1.数列-1,3,-5,7,-9,,的一个通项公式为( )CA.B.C.D.2.平行直线l1:3x-4y+6=0与l2:6x-8y+9=0之间的距离为( )BA.B.C.3D.3.已知圆心为(-2,1)的圆与y轴相切,则该圆的标准方程是( )BA.B.C.D.4.“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为( )AA.B.C.D.5.已知函数,则( )DA.eB.-eC.e2D.-e26.已知椭圆的右焦点为,为椭圆上一动点,定点,则的最小值为( )AA.1B.-1C.D.7.设函数在R上可导,其导函数为,且函数的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )DA.函数有极大值和极小值B.函数有极大值和极小值C.函数有极大值和极小值D.函数有极大值和极小值8.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点为抛物线上一点.以M为圆心的
圆经过原点O,且与抛物线的准线相切,切点为H.线段HF交抛物线于点B,则( )BA.B.C.D.二、选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项是符合要求的。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分。9.以下四个命题表述正确的有( )BDA.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0B.直线(3+m)x+y-3-m=0(m∈R)与圆x2+y2=4一定相交C.圆x2+y2=4上存在2个点到直线l:的距离都等于3D.曲线C1:x2+y2=4与曲线C2:x2+y2-6x-8y+m=0恰有三条公切线,则m=1610.等差数列{an}的公差d≠0,前n项和为Sn,若S7=S12,则下列结论中正确的是( )BCDA.B.S19=0C.|a6|<|a15|D.当d>0时,a6+a15>011.过M(1,1)作斜率为2的直线与双曲线相交于A、B两点,若M是AB的中点,则下列表述正确的是( )BCA.b<aB.离心率C.b>aD.渐近线方程为y=±2x12.若过点P(a,0)可以作曲线y=xex的切线有且仅有两条,则实数a的值可以是( )ADA.2B.-2C.-4D.-6三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知是的极小值点,那么函数的极大值为______.1814.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项之差成等差数列,如数列1,3,6,10,前后两项之差得到新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列,这样的数列称为二阶等差数列,对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第20项为______.193
15.数列{an}的通项公式为an=3n,记数列{an}的前n项和为Sn,若∃n∈N*使得成立,则实数k的取值范围是______.16.已知是抛物线上一点,且位于第一象限,点M到抛物线C的焦点F的距离为6,则a=______;若过点向抛物线C作两条切线,切点分别为A、B,则______.49
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知直线:.(1)若直线在x轴上的截距为-2,求实数a的值;(2)若直线与直线平行,求两平行直线与之间的距离.解:(1)若直线:,令,求得在x轴上的截距为,所以实数.(2)若直线:与直线平行,则,求得,故,即,则两平行直线与之间的距离为.18.(本小题满分12分)设Sn是正项数列{an}的前n项和,且.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式.解:(1)当n=1时,由条件可得,解出a1=3.(2)又4sn=an2+2an-3①,可得4sn-12an-3(n≥2)②,①-②4an=an22an-2an-1,即,所以:(an+an-1)(an-an-1-2)=0,因为:an+an-1>0,∴an-an-1=2(n≥2),所以:数列{an}是以3为首项,2为公差之等差数列,所以:an=3+2(n-1)=2n+1.19.(本小题满分12分)已知点,,圆C:,直线l过点N.(1)若直线l与圆C相切,求直线l的方程;(2)若直线l与圆C交于不同的两点A,B,设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,证明:k1+k2为定值.解:(1)若直线的斜率不存在,则l的方程为,此时直线l与圆相切,故符合条件;若直线l的斜率存在,设斜率为,其方程为,即,
由直线l与圆相切,圆心到的距离为1,则,解得,所以直线的方程为,即,综上所述,直线的方程为或;(2)证明:由(1)可知,与圆有两个交点时,斜率存在,此时设的方程为,联立,消去可得,则△,解得,设,,,,则,,所以,将代入上式整理得,故为定值.20.设椭圆C:的焦点为F,过F的直线l与C交于A、B两点,点M的坐标为.(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.解:(1)由已知得,l的方程为.由已知可得,点A的坐标为或.所以AM的方程为或.(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0.当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为,,则,直线MA、MB的斜率之和为.由得.
将代入得.所以,.则.从而,故MA、MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.
21.(本小题满分12分)一根长为L的铁棒AB欲水平通过如图所示的走廊(假定通过时贴着内侧的圆弧墙壁,如图),该走廊由宽度为1m的平行部分和一个半径为2m的四分之一圆弧转角部分(弧CD段,圆心为O)组成.(1)设∠TOS=θ,试将L表示为θ的函数;(2)求L的最小值,并说明此最小值的实际意义.解:(1)如图,过作于,过作于,,,.同理,.所以:(2)设,因为,所以:.,所以:,所以:在上单调递减所以:.则最小值的实际意义是:在拐弯时,铁棒的长度不能超过,否则铁棒无法通过,也就说能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为.22.(本小题满分12分)已知函数.(1)若在上单调递减,求a的取值范围;(2)证明:当a=1时,f(x)在上有且仅有一个零点.解:(1)由题意,,因为x+1>0,
所以,当时恒成立,令,,则,因为,,所以,在上单调递减,所以,所以a≤0.(2)证明:当a=1时,,当时,-cosx>0,,所以:,单调递增,,,所以在上有且仅有一个零点x0;当时,,所以在上无零点;综上所述,有且仅有一个零点.