江苏省扬中市第二高级中学2021-2022第二学期高二数学期末模拟1姓名一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．1.已知随机变量服从正态分布，若，则(A)A.B.C.D.2．草木葱茏，绿树成荫，鸟语花香，空气清新是我们梦寐以求的家园.为了改善生活环境，今年3月份某学校开展了植树活动，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程后，由于某种原因其中一个数据被损坏（表格中？？处数据），请你推断出该数据的值（A）植树棵数（单位：棵）1020304050花费时间（单位：分钟）626875？？89A．B．C．D．3．若，xR，则的值为（D）A．B．C．D．4．一个不透明的口袋内装有若干个形状、质地完全相同的红色和黄色小球，若事件“第一次摸出红球且第二次摸出黄球”的概率为，事件“在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球”的概率为，则事件“第一次摸出红球”的概率为（D）A．B．C．D．5．现有4位学生干部分管班级的三项不同的学生工作，其中每一项工作至少有一人分管且每人只能分管一项工作，则这4位学生干部不同的分管方案种数为（B）A．B．C．D．6．已知等差数列的前项和为，数列满足，若，则（A）A．B．C．D．1207．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量，，，表示向量，设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别是（C）A．，，B．，，C．，，D．，，8．已知函数，，若对，\n，使成立，则的取值范围是( B )A.B.C.D.【详解】若对，，使成立，则在上的值域范围比在的值域范围大.，，所以，，则单调递增，，，则单调递减，所以时，取极大值，为，且，当，所以在上的值域为，，，所以，，则单调递增，所以在上的值域为要使在上的值域范围比在的值域范围大则需满足，解得故选B项.二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）9．下列说法正确的有（AD）A．若随机变量，P(X＜4)＝0.79，则P(X≤﹣2)＝0.21B．若随机变量，则方差D(3X＋2)＝22C．从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为D．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝10．数列的前项和为，若,则有（ABD）A．B．为等比数列C．D．11．已知，则下列选项正确的是（ACD）A．B．C．D．\n12．在直四棱柱中，四边形为正方形，，为面对角线上的一个动点，则下列说法中正确的有（BC）A．平面B．与所成角的余弦值为C．三棱锥的体积为定值D．平面内存在直线与和底面交线平行【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，则，则、、、、、、、.对于A选项，，，则，故与不垂直，进而可知，与平面不垂直，A选项错误；对于B选项，，，，所以，异面直线与所成角的余弦值为，B选项正确；对于C选项，在正四棱柱中，且，所以，四边形为平行四边形，可得，平面，平面，则平面，所以，点到平面的距离为定值，而的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，C选项正确；对于D选项，因为平面，所以平面和底面的交线与平行.而与平面相交，D选项错误.故选：BC.三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．15．若的展开式中的系数为，则的值为 ，二项展开式中系数最大的为 ． ．14．已知圆柱的体积为，则该圆柱的表面积的最小值为 ．15．一袋中，有大小相同的6个球，其中4个白球和2个黑球，现从中不放回的取球2次，每次取出1个球，则取到黑球的概率为，在已知取到黑球的条件下，两个黑球都被取出的概率为.（本题第一空2分，第二空3分）16．某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中 4 次．【详解】投篮命中次数，，\n设最有可能命中次，即命中次的概率最大，则，解得，，．故答案为：4．【点评】本题主要考查二项分布，次独立重复试验中恰好发生的概率计算公式，属于中档题．四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．3名女生和5名男生排成一排.（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须分开，有多少种不同的排法？（3）如果男生按规定顺序，有多少种不同的排法？（4）如果3名女生站在前排，5名男生站在后排，有多少种不同的排法？（答案用数字表示））17．解：（1）女生全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个元素，再和5个男生全排，18．在下面条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①展开式中第5项的系数与第3项的系数之比为；②展开式中前三项的系数之和为；③展开式中第三项为常数项.问题：已知，若（填写条件前的序号）.（1）求的值；（2）求展开式中系数最大的项.18．解：（1）选①，二项式的展开式的第项为：\n19．已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，求证．19．解：（1）由，得，因为，所以，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，即．（2）由得，两式相减，得，所以得证．20．如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，是的中点，.（Ⅰ）证明：⊥平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）线段上是否存在一点，使得直线平面.若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.\n垂直，求出关于点坐标的参数，由此判断出点的位置.20．解：（Ⅰ）因为平面.所以，，又.如图，以为原点建立空间直角坐标系．由题意得所以,,.所以,,所以,,所以平面.（Ⅱ）设平面的法向量为，因为.所以，即，令，则.于是.因为⊥平面，所以为平面的法向量，又.所以.因为所求二面角为钝角，所以二面角大小为.（Ⅲ）解：设，，，.设平面的法向量，则，即，令，，.于，如果直线平面，那么，解得.所以，存在点为线段靠近点的三等分点，使得直线平面.【点睛】本小题主要考查利用空间向量法证明线面垂直，考查利用空间向量法求面面角的大小，\考查利用空间向量法确定点的位置，属于中档题.21．网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据年中国消费者信息研究，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了年月日至日这天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下：（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估\n计月日到该专营店购物的人数（人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算时精确到）．参考数据：．附：相关系数，回归直线方程的斜率，截距．（2）运用分层抽样的方法从第天和第天到该专营店购物的人中随机抽取人，再从这人中任取人进行奖励，求这人取自不同天的概率．（3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折．某顾客计划在此专营店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．21．解：（1）由表中数据可得，，，，，所以，所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系．而，则，所以．令，可得．答：月日到该专营店购物的人数约为．（2）因为，所以从第天和第天取的人数分别为和，从而人取自不同天的种数为，所以概率．答：这人取自不同天的概率为．（3）若选方案一，需付款元．若选方案二，设需付款元，则的取值可能为，，，，则，，，，所以，\n因此选择方案二更划算．22．已知函数（，为自然对数的底数）．（1）若，请判断函数的单调性；（2）若对，，当，时，都有，成立，求实数的取值范围．22．解：（1）易知，
