衡阳市八中2019级高三第5次月考(数学)试题命题人：吕建设审题人：彭韬请注意：时量：120分分值：150分一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则A．B．C．D．2．已知复数，则A．3B．5C．D．3．设向量，，则与夹角的余弦值为A．0B．C．D.14．一个袋子中装有大小形状完全相同的个白球和个黑球，从中一次摸出个球，则摸出白球个数多于黑球个数的概率为A．B．C．D．5.已知是数列的前项和，且满足，则A．B．C．D．6.某化工厂产生的废气经过过滤后排放，以模型去拟合过滤过程中废气的污染物浓度与时间之间的一组数据，为了求出线性回归方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则当经过后，预报废气的污染物浓度为A．B．C．D．7.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A,B两点，若,则双曲线的离心率为A．B．C．D．8．已知，则下列关系不可能成立的是A．B．C．D．13/13
二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9.已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是A．B．的图象关于直线对称C．将的图象向右平移个单位，得到函数的图象D．若，则10.下列说法中正确的是A.已知随机变量X服从二项分布,则B.已知随机变量X服从正态分布且,则C.已知随机变量X的方差,则D．“A与B是互斥事件”是“A与B是对立事件”的必要不充分条件11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是A．若，则B．若，则C．若，则平分D．若，延长交直线于点M，则M，B，Q三点共线12.如图，正方形与正方形边长均为1，平面与平面互相垂直，是上的一个动点，则以下结论正确的是A．的最小值为B．的最小值为C．当在直线上运动时，三棱锥的体积不变D．三棱锥的外接球表面积为13/13
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．求的展开式中的系数为____________14．已知角的终边经过点，若，则____________15．已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为____________16.已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则的值为______；若函数有唯一零点，则实数的值为______.四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本题10分）已知数列满足，，.记.（1）证明：是等比数列.（2）设，求数列的前n项和.18.（本题12分）在中，角的对边分别是，已知且(1)求证：(2)求的面积19．（本题12分）某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50)，第二组[50，55)，…，第六组[70，75)，得到如下图(1)所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图(2)所示，以样本的频率作为总体的概率．(1)求频率分布直方图中的值；(2)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65)的人数，求X的概率分布列和数学期望；(3)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布，其中若，则认为该校学生体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由．13/13
20．（本题12分）如图，为圆的直径，点在圆上，且为等腰梯形，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知．（1）求证：平面平面；（2）当的长为何值时，二面角的大小为．21．（本题12分）已知平面内动点与点和点的连线的斜率之积为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与曲线交于，两点，且（），求直线斜率的取值范围.22．（本题12分）已知，函数，．（1）讨论的单调性；（2）过原点分别作曲线和的切线和，求证：存在，使得切线和的斜率互为倒数；（3）若函数的图象与轴交于两点，，且．设，其中常数、满足条件，，试判断函数在点处的切线斜率的正负，并说明理由．衡阳市八中2019级高三第5次月考(数学)试题解析命题人：吕建设审题人：彭韬请注意：时量：120分分值：150分13/13
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则(C)A．B．C．D．2．已知复数，则(C)A．3B．5C．D．3．设向量，，则与夹角的余弦值为(B)A．0B．C．D.14．一个袋子中装有大小形状完全相同的个白球和个黑球，从中一次摸出个球，则摸出白球个数多于黑球个数的概率为(C)A．B．C．D．5.已知是数列的前项和，且满足，则(D)A．B．C．D．6.某化工厂产生的废气经过过滤后排放，以模型去拟合过滤过程中废气的污染物浓度与时间之间的一组数据，为了求出线性回归方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则当经过后，预报废气的污染物浓度为(D)A．B．C．D．【详解】当时，，所以.7.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A,B两点，若,则双曲线的离心率为(C)13/13
A．B．C．D．8．已知，则下列关系不可能成立的是（D）A．B．C．D．【详解】依题意，令，则，，，令，，和，则a，b，c可分别视为函数，，的图象与直线交点的横坐标，观察图象得：当时，，当时，，当时，，显然不可能，所以不可能成立的是.二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9.已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是(CD)A．B．的图象关于直线对称C．将的图象向右平移个单位，得到函数的图象D．若，则解析：由图可知，函数的最小正周期为，则，，得，所以，，得，，得，所以，A项错误；将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，C项正确；，故B项错误；的最小正周期为，所以若，则，故D项正确，10.下列说法中正确的是(BD)A.已知随机变量X服从二项分布,则13/13
B.已知随机变量X服从正态分布且,则C.已知随机变量X的方差,则D．“A与B是互斥事件”是“A与B是对立事件”的必要不充分条件11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是(ACD)A．若，则B．若，则C．若，则平分D．若，延长交直线于点M，则M，B，Q三点共线【详解】如图，若，则，C的焦点为，则，选项A正确；延长交直线于点M，则，M，B，Q三点共线，选项D正确；若，则，C的焦点为，直线，可得，选项B不正确；时，因为，所以．又，所以平分，选项C正确．12.如图，正方形与正方形边长均为1，平面与平面互相垂直，是上的一个动点，则以下结论正确的是（CD）A．的最小值为B．的最小值为C．当在直线上运动时，三棱锥的体积不变D．三棱锥的外接球表面积为13/13
对于A，连接，，因为故得到平面，，易得，故A错误；对于B，如图，将翻折到与平面共面，则当、、三点共线时，取得最小值，，故B错误；对于C，做于，在直线上运动时，的面积等于矩形面积的一半，矩形的面积为定值，故的面积是定值，点到面的距离为故三棱锥的体积不变，故C正确；对于D，将该几何体补成正方体，则外接球半径为,外接球表面积故D正确．三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．求的展开式中的系数为____14________14．已知角的终边经过点，若，则____________15．已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为___（1）当，，所以的最小值为.（2）当，不合题意.16.已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则的值为__1____；若函数有唯一零点，则实数的值为_或∵,分别是定义在R上的偶函数和奇函数，，∴，又∵①，∴②+②：，∴,又∵换元设又∵有唯一零点，等价于有唯一解，13/13
设，∵为偶函数，∴当且仅当时为唯一零点，∴，解得或.四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本题10分）已知数列满足，，.记.（1）证明：是等比数列.（2）设，求数列的前n项和.证明：因为，所以，整理得，因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列.（2）解：由（1）易知，因为，所以.18.（本题12分）在中，角的对边分别是，已知且(1)求证：(2)求的面积13/13
19．（本题12分）某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50)，第二组[50，55)，…，第六组[70，75)，得到如下图(1)所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图(2)所示，以样本的频率作为总体的概率．(I)求频率分布直方图中的值；(II)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65)的人数，求X的概率分布列和数学期望；(III)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布，其中若，则认为该校学生体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由．解：(Ⅰ)由图（2）知，100名样本中体重低于50公斤的有2人，用样本的频率估计总体的概率，可得体重低于50公斤的概率为，则，在上有13人，该组的频率为0.13，则，所以，即c=0.07.(Ⅱ)用样本的频率估计总体的概率，可知从全体学生中随机抽取一人，体重在的概率为0.07×10=0.7，随机抽取3人，相当于三次独立重复试验，随机变量X服从二项分布，E(X)=2.1则，，，，所以，X的概率分布列为：X0123P0.0270.1890.4410.343(Ⅲ)由N(60,25)得由图（2）知.所以可以认为该校学生的体重是正常的.13/13
20．（本题12分）如图，为圆的直径，点在圆上，且为等腰梯形，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知．（1）求证：平面平面；（2）当的长为何值时，二面角的大小为．（1）证明：平面平面，且，平面平面，所以平面，因为平面，所以，又因为为圆的直径，所以，所以平面，又由平面，所以平面平面.（2）解：设的中点分别为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则点D的坐标为，则，设平面的法向量为)，则，即，取，可得，则，由（1）可知平面，平面的一个法向量为，则，因为二面角的大小为，可得解得，所以线段的长为.21．（本题12分）已知平面内动点与点和点的连线的斜率之积为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与曲线交于，两点，且（），求直线斜率的取值范围.（1）设，则，整理可得：，即，所以动点的轨迹的方程为，（2）由题意可知直线的斜率存在且不为，13/13
设，，直线的方程为：，由可得：，所以，，因为，所以，，所以，即，因为在上单调递减，所以，所以，因为，由可得：，所以直线的斜率或.所以直线斜率的取值范围为.22．（本题12分）已知，函数，．（1）讨论的单调性；（2）过原点分别作曲线和的切线和，求证：存在，使得切线和的斜率互为倒数；（3）若函数的图象与轴交于两点，，且．设，其中常数、满足条件，，试判断函数在点处的切线斜率的正负，并说明理由．（1）的定义域是，，时，恒成立，在递增，时，时，，时，，的增区间是，减区间是．（2），，设的切线方程是，则，显然，，切点为，于是，解得，所以的斜率为，于是的斜率为设的切点坐标为，由，，又，所以，整理得，13/13
设，，当时，，递增，而，所以，时，，递减，又，所以存在，使得，因此关于的方程有正数解．所以存在，使得切线和的斜率互为倒数；（3），，因为函数的图象与轴交于两2点，，且．所以，两式相减得：，，因为，，所以，又，，所以，下面考虑即的符号，令，，设，，，因为，所以，，所以在上恒成立，所以在上是增函数，所以，即，又，所以，所以，即，所以函数在点处的切线斜率为正．13/13
