衡阳市八中2019级高三第六次月考试题数学请注意：时量120分钟满分150分一．单选题：共8题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合，集合，则等于（）A．B．C．D．2．若为纯虚数，则实数的值为（）A．B．C．D．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．若，则B．“”的一个必要不充分条件是“”C．若命题：，，则命题：，D．，是两个平面，，是两条直线，如果，，，那么4．定义：在数列中，若满足(，d为常数)，称为“等差比数列”，已知在“等差比数列”中，，，则等于（）A．B．C．D．（）A.c>b>aB.a>c>bC.a>b>cD.c>a>b6.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=BC=1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是（）A.B.C.D.
7．已知、是双曲线（，）的左、右焦点，关于双曲线的一条渐近线的对称点为，且点在抛物线上，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．8．已知定义在上的函数满足，当时，．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题：共4题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．某学校为研究高三学生的考试成绩，根据高三第一次模拟考试在高三学生中随机抽取50名学生的思想政治考试成绩绘制成频率分布直方图如图所示，已知思想政治成绩在的学生人数为15，把频率看作概率，根据频率分布直方图，下列结论正确的是（）A．B．C．本次思想政治考试平均分为80D．从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在内的概率为10．已知函数，则下列说法正确的是（）A．函数的周期为B．函数图象的一条对称轴为直线C．函数在上单调递增D．函数的最小值为11．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（）A．若抛物线上的点到点的距离为，则抛物线的方程为B．以AB为直径的圆与准线相切C．线段AB长度的最小值是D．的取值范围为12．如图，已知菱形中，，，E为边的中点，将△沿翻折成△（点位于平面上方），连接和，F为
的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A．平面平面B．与的夹角为定值C．三棱锥体积最大值为D．点F的轨迹的长度为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.14．过抛物线C:上的一点M(非顶点)作C的切线与x轴､y轴分别交于A､B两点，则______.15．某种游戏中，黑､黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体的顶点出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线(其中是正整数).设黑“电子狗”爬完2008段、黄“电子狗”爬完2009段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数()（I）求的最小正周期；（II）求在区间上的最大值和最小值，并分别写出相应的的值.18．已知数列为等比数列,数列满足，且.设为数列的前项和.（1）求数列､的通项公式及；
（2）若数列满足,求的前项和.19．如图1，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面(如图2)，为中点.（1）求证：平面；（2）求四棱锥的体积；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.20.平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率是，抛物线E：的焦点是的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.21.2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下：序号123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665
当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．（1）根据下列表格中的数据，比较当时,模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；回归模型模型①模型②回归方程79.1320.2（2）为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小．附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好．．用最小二乘法求线性回归方程的截距：．22.设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.（I）讨论f(x)的单调性；（II）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。衡阳市八中2019级高三第六次月考试题数学请注意：时量120分钟满分150分
参考答案题号123456789101112答案BCCCDCDAABDABDBCDABD4.由题意可得：，，，根据“等差比数列”的定义可知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则，所以，，所以．7．由题意关于双曲线的一条渐近线的对称点为，且到渐近线的距离为b，∴中，，，又，所以，∴，∴，又点在抛物线上，∴的长度为抛物线中抛物线的焦点到抛物线的准线的距离，∴由抛物线的定义得到：，∴，∴，∴.故选：D.8．当时，函数在上单调递减，在上单调递增，且，函数关于对称，过定点
如图所示，画出函数图像：当与相切时，设切点为则根据对称性考虑左边图像，根据图像验证知是方程唯一解，此时故答案为故选：9．ABD由题知，，选项A正确；，选项B正确；本次思想政治考试平均分估计值为，选项C错误；可知在内的概率为0.16，从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在内的概率为，选项D正确，故选：ABD．10．ABD解：函数.所以函数的周期为，故A选项正确；当时，，所以直线是函数
图象的一条对称轴，故B选项正确；当，则，由正弦函数性质可知，此时单调递减，故C选项错误；由可知，当时，取得最小值为，故D选项正确.故选：ABD.11．BCD由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，对于A中，由抛物线上的点到点的距离为，抛物线的定义，可得，解得，所以抛物线的方程为，所以A不正确；对于B中，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，如图所示，则线段的中点为到准线的距离为根据抛物线的定义，可得，所以，所以，即圆心到准线的距离等于圆的半径，即以AB为直径的圆与准线相切，所以B正确；设，由抛物线的定义，可得，当直线的斜率不存在时，可设直线的方程为，联立方程组，解得，此时当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，整理得，可得，所以，综上可得，线段AB长度的最小值是，所以C正确；设直线的方程为，联立方程组，整理得，
可得，则，则则点到的距离为，所以，所以，所以D正确.故选：BCD.12．ABDA：由，，E为边的中点知：且，易知，，而，故面，又面，所以面面，正确；B：若是的中点，又F为的中点，则且，而且，所以且，即为平行四边形，故，所以与的夹角为或其补角，若为中点，即，由A分析易知：，故与的夹角为，正确；
C：由上分析知：翻折过程中当面时，最大，此时，错误；D：由B分析知：且，故F的轨迹与到的轨迹相同，由A知：到的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，而为中点，故到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，所以F的轨迹长度为，正确.故选：ABD.13．2414．15．116．(-∞,ln)14.由，则.设点,则曲线C在M处的切线的斜率为.所以曲线C在M处的切线方程为：.即.所以由三点的坐标可得，点为的中点.所以.故答案为：15．1由题意，黑"电子狗"爬行路线为，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，所以黑"电子狗"爬完2008段后实质是到达点;同理，黄"电子狗"也是过6段后又回到起点.黄“电子狗"爬完2009段后到达点;此时的距离为.
故答案为:1.17．【详解】（1），，，所以的最小正周期为.（2）∵，∴，当，即，，当，时，.18．（1）,,,；（2）(1)对,则,因为为等比数列,则为定值.则为定值,则数列为等差数列.,则,,,;(2),设,为数列的前项和,则有:(*)式(**)式,得:,.
当时,;当时,,即19.（1）因为为中点，，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面；（2）在直角三角形中，，，，所以四棱锥的体积为；（3）如图，过点作交于点，过点作交于点，连接，因为，平面，平面，所以平面，同理平面，又因为，所以平面平面，因为平面，所以平面，所以上存在点，使得平面，，四边形是平行四边形，
，，又，.20.（1）模型②拟合精度更高、更可靠，亿；（2）投入17亿元比投入20亿元时收益小.（1）对于模型①，对应的，故对应的，故对应的相关指数，对于模型②，同理对应的相关指数，故模型②拟合精度更高、更可靠.故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为.（2）当时，后五组的，，由最小二乘法可得，故当投入20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小为：，故投入17亿元比投入20亿元时收益小.21.（I）由题意可得e==，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0，），即有b=，a2﹣c2=，解得a=1，c=，可得椭圆的方程为x2+4y2=1；（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0，由y=x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，△=64x02y02﹣4（1+4x02）（4y02﹣1）＞0，可得1+4x02＞4y02．设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得x1+x2=，即有中点D（，﹣），直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x0，可得y=﹣．即有点M在定直线y=﹣上；（ii）直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），则S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0）=x0（1+x02）；S2=|PM|•|x0﹣|=（y0+）•=x0•，则=，令1+2x02=t（t≥1），则====2+﹣=﹣（﹣）2+，则当t=2，即x0=时，取得最大值，此时点P的坐标为（，）．22.（I）<0，在内单调递减.由=0，有.此时，当时，<0，单调递减；当时，>0，单调递增.（II）令=，=.
则=.而当时，>0，所以在区间内单调递增.又由=0，有>0，从而当时，>0.当，时，=.故当>在区间内恒成立时，必有.当时，>1.由（I）有,从而，所以此时>在区间内不恒成立.当时，令，当时，，因此，在区间单调递增.又因为，所以当时，，即恒成立.综上，
