重庆八中高2024级高一（下）第一次月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在中，，，，则的面积为（）A.B.C.D.12.已知O是所在平面内一点，D为边中点，且，那么（）A.B.C.D.3.如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则（）A.0B.1C.−2D.−14.设，都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分不必要条件是（）A.B.C.D.且5.若，则（）A.B.C.D.6.平面上有，，三点，点C在直线上，且，连接并延长至E，使，则点E的坐标为（）
A.B.C.D.7.的角A，B，C所对的边为a，b，c，设，则（）A.B.C.D.8.已知向量，，满足，，，则的最小值为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列关于向量，，的说法错误的是（）A.若且，则B.的充要条件是存在不全为零的实数，使得C.若，则D.，则10.设函数，则下列选项正确的有（）A.的最小正周期是B.为的一个对称轴C.的最小值是−2D.在上单调递减，那么的最大值是11.在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列说法正确的有（）A.若，则B.若，则
C.D.若，则是等腰三角形12.已知平面向量，，.若，，，，则下列结论正确的有（）A.若起点为原点，其终点构成的轨迹为一条直线B.满足条件的的模的最大值为C.最大值为D.最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，不共线，若与共线，则实数________.14.若，则________.15.已知中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足，，，则________.16.已知，若对任意实数，点P都满足，则的最小值为________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）如图，在长方形中，E为边的中点，F为边上一点，且.设，.
（1）试用基底表示，；（2）若，求证：E，G，F三点共线.18.（12分）O是平面直角坐标系的原点，，，记，.（1）求在上的投影向量坐标；（2）若四边形为平行四边形，求点C的坐标；（3）若向量，l满足条件：与互补，求.19.（12分）已知的角A，B，C对边分别为a，b，c，A为锐角，.（1）求；（2）若，求的最大值.20.（12分）在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若，.（1）求；（2）若，D为上靠近A的一个三等分点，求.21.（12分）已知中，过重心G的直线交线段于P，交线段于Q，连结并延长交于点D，设，，的面积为，的面积为，，.
（1）用，表示并求证：.（2）求的取值范围.22.（12分）已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称.（1）求函数的解析式；（2）若存在，使等式成立，求实数m的最大值和最小值；（3）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.重庆八中高2024级高一（下）第一次月考答案一、选择题：题号123456789101112答案CBDAACCBACDADACBD三、填空题：13.14.15.16.−16【解析】
8.由题可得，且，，即终点与和终点共线，当且仅当时，最小，为.11.对于A：对于，所以，利用正弦定理：，整理得，故A正确；对于B：由于，则，即A为锐角，故B错误；对于C：由于，利用等比性质，故C正确；对于D：由于，利用正弦定理得，整理得，所以，故或，所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故D错误；12.如图：设，，，，，由，可得，∴的终点P在以为直径的圆上，故A错；由题知为等边三角形，故，此时圆的半径为，圆心坐标，则的最大值为：，故B正确；设中点为D，，当A，D，P三点共线时，，故C错；当与圆相切时取到最小值，此时.16.以A，B的中点为原点，所在直线为x轴，过O且垂直于的直线为轴建立平面直角
坐标系，如图所示，设，H为上一点，，故，所以，P到直线的距离为3，则P点在直线上，可得：，，，则，当且仅当时，取最小值−16.17.（1）由题，，.（2），则，∴E，G，F三点共线.18.（1）在上的投影向量为；（2）设点，为平行四边形，则有，，，解得，，故.（3），因为与互补，故，即，推得或（舍），故.19.（1）由题及正弦定理可得，
.（2）由余弦定理，，由，，当且仅当时取等，故得最大值为4.20.（1）解：∵，，由余弦定理，，故，由正弦定理，其中，故.（2）由题，故，即，则，由D为靠近A的三等分点可知，，故21.（1）证明：；∵，，∵P，G，Q三点共线，则存在，使得，即，即，∴，整理得，证毕.
（法二：∵，又因为P，G，Q三点共线，故，则）（2）解：由（1），，∴，∵，，∴∴，则当时，取得最小值，当时，取得最大值，∵，则的取值范围为.22.解：（1）函数，化简可得.函数的图象与函数的图象关于直线对称.即∴.（2），∴∴.令，则.那么：，
可得：成立.即，当时取等号，∴m的最小值为.当或2时，可得，即m的最大值为3.故得实数m的最大值为3，最小值为.（3）不等式恒成立，即恒成立当时，∴，.若时，显然恒成立.若时，当时，取得最小值.即成立.可得：，解得：.若时，当时，取得最小值.即成立.得：，∴.综上可得：a的范围是.
