重庆八中高2023级高二（下）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列为等比数列，，，则A．B．C．D．2．二项式的展开式中，含项的系数为A．B．C．10D．153．用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6不相邻，这样的六位数有A．24个B．48个C．96个D．36个4．19世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为A．B．C．D．5．对于数列，如果为等差数列，则称原数列为二阶等差数列，一般地，如果为阶等差数列，就称原数列为阶等差数列．现有一个三阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，，则该数列的第7项为A．101B．99C．95D．916．将12个相同的小球分给甲、乙、丙三个人，其中甲至少1个，乙至少2个，丙至少3个，则不同的分法共有A．24种B．26种C．28种D．30种7．现有语文、数学、外语、物理、化学、生物各一本，均分给3个人，其中数学和物理不分给同一个人，则不同的分配方法有A．36B．54C．72D．848．已知，分别是轴和圆上的动点，点，则的最小值为A．5B．4C．3D．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．有一组样本数据，，，，另一组样本数据，，，，其中，2，，，为非零常数，则A．两组样本数据平均数相同B．两组样本数据标准差相同C．两组样本数据方差相同D．两组样本数据极差相同
10．假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表：品牌甲乙其他市场占有率优质率在该市场中任意买一部手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌，其他品牌，表示可买到的优质品，则A．B．C．D．11．已知曲线的方程为且，则下列结论正确的是A．当时，曲线是焦距为4的双曲线B．当时，曲线是离心率为的椭圆C．曲线可能是一个圆D．当时，曲线是渐近线方程为的双曲线12．已知是等差数列的前项和，且，则下列命题正确的是A．B．该数列的公差C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设，，为三个随机事件，若与互斥，与对立，且，，则_________．14．数列前四项满足、、成等差数列，、、成等比数列，若，则___________．15．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点．如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为____________．16．如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有________种．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）某校为了解学生平均每天体育锻炼时间，在全体学生中随机抽取了100名学生进行调查，并将数据（单位：分钟）分成五组：，，，，，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．将平均每天体育锻炼时间不少于60分钟的学生评价为锻炼达标，平均每天体育锻炼时间少于60分钟的学生评价为锻炼不达标．（1）求的值，并估计该校学生平均每天体育锻炼时间的中位数；（2）在样本中，对平均每天体育锻炼时间不达标的学生，按比例分层抽样的方法抽取6名同学了解不达标的原因，再从这6名同学中随机抽取2名进行调研，求这2名同学中至少有一名每天体育锻炼时间（单位：分钟）在，内的概率．18．（本小题满分12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的周长．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，是等边三角形，平面平面，是的中点，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）某校组织“创建文明城区”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的学生先在两类问题中选择一类，然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，比赛结束．类问题回答正确得30分，否则得0分；类问题回答正确得10分，否则得0分．已知小明同学能正确回答类中的每一个问题的概率均为0.5，能正确回答类中的每一个问题的概率均为0.8，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列和数学期望；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．21．（本小题满分12分）已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，令，求证：．22．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点为、，离心率，为椭圆上任意一点，且满足的最小值为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）经过右焦点的直线与椭圆交于，两点，若△的三边长，，成等差数列，求△的面积．
重庆八中高2023级高二（下）第一次月考数学试题参考答案一、选择题1．解：设等比数列的公比为，则可得，解得，故选：．2．解：展开式的通项公式为，令，解得，则的系数为，故选：．3．解：由题意知1与2，3与4分别相邻的数有个，1与2，3与4，5与6分别相邻的数有个，与2，3与4分别相邻但5与6不相邻的数有个．故选：．4．解：椭圆的蒙日圆的方程为：，因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，可得两圆外切，所以，解得，故选：．5．解：根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，故选：．６．解：先将12个球按甲0个，乙1个，丙2个进行分派；剩余的9个相同的球，分成3组，每组至少1个球，9个相同的球形成8个空位（不算首尾的两个空位）中，插入两个隔板，有即有种分法故选：．７．解：根据题意，用排除法分析：先计算将6本书平均分给三人的情况数目，分2步分析：①，将6本书分成3组，有种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应三人，有种情况，则将6本书平均分给三人，有种分配方法；再计算其中数学和物理分给同一个人的情况，分2步分析：①，将除数学和物理之外的4本书，分成2组，有种分组方法，②，将数学和物理作为1组，和其他2组一起全排列，对应三人，有种情况，则数学和物理分给同一个人的分配方法有种分派方法，则数学和物理不分给同一个人的分配方法有种；故选：．8．解：由，得，故圆的圆心坐标为，半径为2．如图，作点关于轴对称的点，当，，，四点共线时，取得最小值，且最小值为．故选：．9．解：设样本数据，，，的平均数为，则样本数据，，，，其中，2，，的平均数为，故错误，设样本数据，，，的方差为，则样本数据，，，，其中，2，，的方差为，故正确，一组样本数据，，，，另一组样本数据，，，，其中，2，，，为非零常数，则样本数据，，，中最小值与最大值变化的量相同，故两组样本数据极差相同．故选：．10．解：由题中表格可得，，，，故正确，
，，，故正确，，故错误，，故正确．故选：．11．解：当时，曲线，，，，，曲线是焦距为4的双曲线，故正确；当时，曲线的方程为，，，，，，，故错误；由无解，故曲线不可能是圆，故错误；当时，曲线的方程为，，，，，曲线是渐近线方程为，故正确．故选：．12．解：由可得，可得，可得，等差数列的公差，故正确；等差数列中前6项为正，第7项为0，从第8项起为负，故正确；，故错误；，故正确．故选：．二、填空题13．解：随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，，．故答案为：．14．解：因为数列前四项满足、、成等差数列，、、成等比数列，故可设数列前四项为，，，，因为，所以，可得，则．故答案为：2．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布15．解：如图，抛物线的焦点坐标为，准线方程为．由抛物线的性质可得，，，该光线经过的路程为．故答案为：12．16．解：第一类：若，相同，先涂有4种涂法，再涂，有3种涂法，再涂有2种涂法，只有1种涂法，共有种，第二类，若，不同，先涂有4种涂法，再涂有3种涂法，再涂有2种涂法，当和相同时，有2种涂法，当和不同时，，只有1种涂法，共有种，根据分类计数原理可得，共有种．三、解答题17．解：（1）由已知得，．设样本中位数为，则，，估计该校学生每天体育锻炼时间的中位数为64．（2）根据题意可得，抽取的6名同学中，时间在，内的有3名，记为，，，时间不在，内的有3名，记为，，，从6名同学中随机取2人的基本事件为：，，，，；，，，；，，；，；．共15个，记事件为2名同学中至少有一名每天体育锻炼时间在，内，则
包含的基本事件个数有12个，这2名同学中至少有一名每天体育锻炼时间（单位：分钟）在，内的概率．18．解：（1）因为，由正弦定理得，，整理得，，由余弦定理得，，由为三角形内角得，；（2）因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以的周长．19．解：（1）证明：因为是等边三角形，且是的中点，所以，又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．（2）取的中点，连接，、分别为、的中点，则，，则，又平面，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为且是等边三角形，可得，所以，则，设平面的法向量，则，令，可得，，即，设平面的法向量，则，令，可得，即，所以，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．20．解：（1）得分情况有三种可能性，第一个问题错误，分，，第一个问题正确，第二个错误，分，，两个问题都正确，分，，的分布列为：030400.50.10.4．（2）由（1）知，若小明先回答问题，则，若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的可能取值为0，10，40，，，，，，小明应选择先回答类问题．21．解：（1）由题可知，当时，，当时，也符合上式，．（2）证明：由（1）知，，所以，，
设为数列的前项和，则．22．解：（1）设点，，，，则，即，，当时，取得最小值为1，，，解得，椭圆的标准方程为．（2）由题意可知，，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，将，代入，得，得，不符合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，得，设，，，，则，，，整理得，得，，点到直线的距离为，△的面积为．
