2021-2022年度下学年创新发展联盟高一年级联考（三）数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，则（）A．8－iB．8＋iC．－4－iD．－4＋i2．下列几何体中，棱数最少的是（）A．三棱柱B．四棱台C．四棱锥D．五棱锥3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若a＝2b，则（）A．B．C．2D．4已知复数，则z的实部是（）A．－3B．－2C．1D．25．如图，直角是水平放置的一个平面图形的直观图，，，则原图形的面积是（）A．8B．C．16D．6．已知复数3＋2i是方程的一个根，则实数a＝（）A．－5B．5C．－6D．67．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A．a＝6，b＝5，B＝45°B．c＝6，A＝60°，B＝45°C．a＝6，b＝7，B＝30°D．a＝6，b＝7，C＝60°8．如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是棱，上的动点，则的最小值是（）
A．B．5C．7D．9．已知向量，，若向量，的夹角是锐角，则m的取值范围是（）A．B．C．D．10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形11．若圆锥的高的平方等于其底面圆的半径与母线长的乘积，则称此圆锥为“黄金圆锥”．现有一个侧面积为的黄金圆锥，则该黄金圆锥的体积是（）A．B．C．D．12．已知△ABC的面积为16，D，E分别是线段AC，BD上的点（不包含端点），且，，若△ABE的面积是2，则x＋2y的最小值是（）A．4B．C．6D．8第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．一艘轮船向正东方向航行，在A处看，灯塔B在船的北偏东60°方向上，航行30千米后到达C处，在C处看，灯塔B在船的北偏西75°方向上，则此时船与灯塔B之间的距离是______千米．14．已知向量，，若，且，则mn＝______．15．若复数z满足，则的最大值为______．16．如图，在正方体中，E为棱BC的中点，F为棱上的一点（
不包含端点），且，过点A，E，F作该正方体的截面．若所得截面是五边形，则的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知复数．（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）若z在复平面内对应的点在第二象限内，求m的取值范围．18．（12分）帐篷是撑在地上遮蔽风雨、日光，并供临时居住的棚子，多用帆布做成，连同支撑用的东西，可随时拆下转移，如图1所示．一个普通的帐篷可视为一个长方体与一个直三棱柱的组合，如图2所示，已知米，米，米，且∠AFB＝120°．（1）求该帐篷的表面积（不包含地面部分）；（2）求该帐篷的体积．19．（12分）已知复数（a，，且b≠0）．（1）若a＝2，b＝1，求的值．（2）若是实数，求．20．（12分）如图，△ABC是某小区的一个休闲区，应小区业主的要求，该小区物业公司计划将该休闲区修建成如图所示的平面四边形ABCD．已知，BC＝4，∠ADC＝60°，
（1）若BC＝CD，求△ACD的面积；（2）求的最大值．21．（12分）在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且，，，P是CD，EF的交点．设，．（1）用，表示，；（2）求的值．22．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，△ABC的面积为S．已知，且．（1）求角C的大小；（2）若对任意的，恒成立，且函数有最小值，求m的值．2021~2022年度下学年创新发展联盟高一年级联考（三）数学参考答案1．B由题意可得，则．2．C四棱台有12条棱，四棱锥有8条棱，三棱柱有9条棱，五棱锥有10条棱，则棱数最少的是四棱锥．3．A由正弦定理可得．
4．B由题意可得，则z的实部是－2．5．B由题意可得直角的面积为，则原图形的面积为．6．C由题意可得，即，解得a＝－6．7．A对于A，因为，所以，则角A有两解：对于B，因为A＝60°，B＝45°，所以C＝75°，所以只有一解；对于C，因为，且，所以角A只有一解；对于D，，所以只有一解．8．D如图，将三棱柱的侧面展开，当A，D，E，四点共线时，取得最小值，且最小值为．9．C因为，，所以，因为向量，的夹角是锐角，所以，解得，且．10．A因为，所以，所以，所以，整理得．因为，，所以，所以，则，即，故是等腰三角形．
11．D设该黄金圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，高为h，则该黄金圆锥的侧面积是，故．由黄金圆锥的定义可得，则．由圆锥的性质可得，则，解得，故该黄金圆锥的体积是．12．D因为，所以，则，故．因为，所以，则，故，因为△ABE的面积是2，所以，所以．由题意可知，，所以，当且仅当时，等号成立．13．由题意可知AC＝30千米，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°．由正弦定理可得，则千米．14．2因为，所以n＝2m．因为，所以，则．当m＝1时，n＝2，则mn＝2；当m＝－1时，n＝－2，则mn＝2．综上，mn＝2．15．8设（x，），由题意可得，即点在圆心为，半径r为3的圆上运动，而表示的是点到原点的距离，则的最大值为．16．当时，如图1，截面为平行四边形AEGF；当时，如图2，截面为五边形AEGHF，故的取值范围是．
17．解：由题意可得，则z的实部为，虚部为．（1）因为z是纯虚数，所以，解得m＝－4．（2）由题意可得，解得．18．解：在△ABF中，由余弦定理可得，则（米）．（1）直三棱柱部分的表面积（平方米）．长方体中盖了帆布的面积（平方米）．故该帐篷的表面积（平方米）．（2）直三棱柱部分的体积（立方米），长方体部分的体积（立方米）．故该帐篷的体积（立方米）．19．解：（1）因为a＝2，b＝1，所以z＝2＋i，则，故．（2）因为，所以
因为是实数，所以，即．因为，所以，所以，则．20．解：（1）在△ACD中，由余弦定理可得，即，即，解得AD＝6或AD＝－2（舍去）．故△ACD的面积为．（2）在△ACD中，由余弦定理可得，即．因为，所以，所以，所以，当且仅当时，等号成立．21．解：（1）因为，所以，则，因为，所以，因为，所以，则．（2）因为E，P，F三点共线，所以．因为C，P，D三点共线，所以．
则解得．故．22．解：（1）因为，所以．因为，所以，所以，所以或．因为，所以，所以．（2）因为对任意的，恒成立，所以，即，解得，所以．由（1）可知，则．设，则，，因为，所以，所以．设函数，则其图象的对称轴方程为．①当，即时，在上单调递增，则，不符合题意；②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则，解得（舍去），符合题意；③当，即时，在上单调递减，则，解得，不符合题意。综上，．
