2022年普通高等学校招生全国统一考试（包头市第一次模拟考试）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则复数对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合，，则（）A.B.C.D.3.已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（）A.B.C.D.4.设函数，则下列函数中为奇函数的是（）A.B.C.D.5.在正四棱柱中，已知，，R为BD中点，则直线与所成角的正弦值为（）A.B.C.D.6.将6名优秀教师分配到5个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教师，则不同的分配方案共有（）A.2400种B.1800种C.1200种D.1600种7.把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向
左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A.B.C.D.8.在区间和中各随机取1个数x和y，则的概率为（）A.B.C.D.9.已知为数列的前n项积，若，则数列的前n项和（）AB.C.D.10.设，若为函数的极小值点，则（）A.B.C.D.11.设P是椭圆的下顶点，若C上存在点Q满足，则C的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.12.设，，，则（）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知向量，，若，则___________.14.已知双曲线的焦点到它的渐近线的距离为，则C的离心率为______．
15.记为数列的前n项和.若，，则___________.16.在一个正方体中，经过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥.所得多面体的三视图中，以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成这个多面体的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）.三、解答题：共0分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某印刷企业为了研究某种图书每册的成本费y（单位：元）与印刷数量x（单位：千册）的关系，收集了一些数据并进行了初步整理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.53.50.22300.77表中，.（1）根据散点图判断：与哪一个模型更适合作为该图书每册成本费y与印刷数量x的回归方程？（只要求给出判断，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；
（3）若该图书每册的定价为9元，则至少应该印刷多少册，才能使销售利润不低于80000元（假设能够全部售出）.附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，.18.如图所示，经过村庄B有两条夹角为公路BA和BC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F，分别在两条公路边上建两个仓库D和E（异于村庄B），设计要求（单位：千米）.（1）若，求的值（保留根号）；（2）若设，当为何值时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小（即工厂F与村庄B的距离最远），并求其最远距离.（精确到0.1，取）19.如图，四棱锥的底面是长方形，底面，，，，．（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．20.设函数，已知是函的极值点．
（1）求m；（2）设函数．证明：．21.已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最大值为8．（1）求抛物线M的方程；（2）若点Q在C上，QA，QB为M的两条切线，A，B是切点（A在B的上方），求面积的最小值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，的圆心为，半径为1.（1）写出⊙M的一个参数方程；（2）直线与⊙M相切，且与x轴的正半轴和y轴的正半轴分别交于A､B两点，若与两坐标轴所围成的三角形OAB的面积为6，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数.（1）当a=1时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】B
【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】C【11题答案】【答案】A【12题答案】【答案】D【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】62【16题答案】【答案】④⑤##⑤④17【答案】（1）（2）
（3）12000册【小问1详解】解：由散点图判断更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程.【小问2详解】解：令，先建立y关于u的线性回归方程，由于，故，所以y关于u的线性回归方程为，从而y关于x的回归方程为；【小问3详解】解：假设印刷x千册，依据题意得，解得x≥12，所以至少应该印刷12000册图书，才能使销售利润不低于80000元.18【答案】（1）（2），千米【小问1详解】解：若，又由，所以此时，又因为为边长为3的等边三角形，所以，在直角中，因为，所以，在直角中，可得.【小问2详解】解：若，在中，，所以，在中，，其中，
所以，即，当且仅当时，即时，取得最大值27，此时（千米），所以当时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小，此时工厂距离村庄B的最远距离约为5.2千米.19【小问1详解】证明：因为平面，平面，则，因为，，平面，因为平面，因此，平面平面.【小问2详解】解：因为底面，四边形为长方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、，
所以，，因为，所以，得，所以．因为，、、、，所以，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，设与平面所成角为，则．所以与平面所成角的正弦值为．20【小问1详解】由题意可知，，则，因为是函数的极值点，所以，所以，故；经检验成立【小问2详解】由（1）得，，设，则，当时，，即，所以在区间单调递增；当时，，即，所以在区间单调递减，因此当时，，考虑的定义域，即当时，同时还要求，
即要求，故的定义域为且，要证，因为，所以只需证，即需证，令，则且，则只需证，即证，令，则，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即成立；综上，，证明见解析.21【答案】（1）（2）16【小问1详解】由题意知，，圆C的半径为，所以，即，解得，所以抛物线M的方程为．【小问2详解】设，，直线AB的方程为，联立方程组，消去x，得，则，，．所以，因为，所以或，则或，
所以切线QA的斜率为，其方程为，即，同理切线QB的斜率为，其方程为．联立方程组,解得,即点Q的坐标为，因为点Q在圆C上，所以，且，，即，．满足判别式的条件．点Q到直线AB的距离为，所以，又由，得，令，则，且，因在区间上单调递增，所以当时，t取得最小值4，此时，所以面积的最小值为16．22【答案】（1）（为参数）（2）或【小问1详解】由题意可知，的标准方程为，所以的参数方程为（为参数）.【小问2详解】由题意可知，切线斜率存在，设切线方程为y=kx+b，即kx-y+b=0，
因为圆心到直线的距离为1，所以，化简得，又，，所以，即由题意可知，k<0，b>0，故，联立方程组，解得，所以直线l的直角坐标方程为，或，所以直线l的极坐标方程为或.23【答案】（1）（2）【小问1详解】当a=1时，，故，即，当x≤-1时，得5<-2x+3≤7，解得-2≤x<-1；当-1<x≤4时，得5<5≤7，不成立；当x>4时，得5<2x-3≤7，解得4<x≤5.综上，原不等式的解集为.【小问2详解】，当x的值在-a与4之间（包括两个端点）时取等号，若，则只需，当a≤0时，，恒成立；
当a>0时，等价于a+4>2a，或a+4<-2a，解得0<a<4，综上，a的取值范围为.
