南京师大附中2021-2022学年度第2学期高二期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.二项展开式中的常数项为（）A.20B.15C.10D.52.随机变量的分布列如表：其中，，成等差数列，则（）01A.B.C.D.3.已知随机变量满足，，则下列说法正确是（）A.，B.，C.，D.，4.已知某年的FRM（金融风险管理）一级测试成绩X服从正态分布，则54分以上的成绩所占的百分比约为（）（附：，）A.2.38%B.1.35%C.0.26%D.0.15%5.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是()A.0.63B.0.24C.0.87D.0.216.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，
，点E为的中点，点F在BC的延长线上且，则异面直线BE与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.7.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（）A.B.C.D.8.西部某县委将位大学生志愿者（男女）分成两组,分配到两所小学支教,若要求女生不能单独成组,且每组最多人,则不同的分配方案共有A.种B.种C.种D.种二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.2021年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：售价x99.51010.511
销售量y1110865根据表中数据得到y关于x的回归直线方程是，则下列说法正确的有（）A.B.回归直线过点C.当时，y的估计值为12.8D.点处的随机误差为0.410.若，则下列结论中正确的是A.B.C.D.11.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列结论正确的是（）A.从中任取3个球，恰有1个白球的概率为B.从中有放回地取球6次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为C.从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到的是红球条件下，第二次再次取到红球的概率为D.从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则至少有一次取到红球的概率为12.已知图1中，、、、是正方形各边的中点，分别沿着、、、把、、、向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到一个如图2所示的多面体，则（）A.是正三角形
B.平面平面C.直线与平面所成角的正切值为D.当时，多面体的体积为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.___________．14.是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面距离为________15.现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.（用数字作答）.16.将字母a，a，b，b，c，c放入3×2的表格中，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率为______；若共有k行字母相同，则得k分，则所得分数的均值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.为了调查某校高二学生是否需要学校提供学法指导，用简单随机抽样的方法从该校高二年级调查了55名学生，结果如下：男女
需要2010不需要1015（1）估计该校高二年级学生中，需要学校提供学法指导的学生的比例；（用百分数表示，保留两位有效数字）（2）能否有95%的把握认为该校高二年级学生是否需要学校提供学法指导与性别有关？18.从包含甲､乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（1）甲､乙2人都被选中且必须跑中间两棒；（2）甲､乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒.19.已知E，F分别是正方体的棱BC和CD的中点．（1）求与所成角的大小；（2）求与平面所成角的余弦值．21.在全民抗击新冠肺炎疫情期间，新都区开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲､乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成[3，4)，[4，5)，[5，6)，[6，7)，[7，8]五组，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；（2）已知这两个班级各有40名学生，从甲､乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望.22.如图，在三棱柱中，底面是边长为2正三角形，侧面是菱形，平面平面，，分别是棱，的中点，是棱上一点，且．（1）证明：平面；（2）从①三棱锥的体积为1；②与底面所成的角为60°；③异面直线与所成的角为30°这三个条件中选择-一个作为已知，求二面角的余弦值．24.国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上.截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类居民小区覆盖率已经接近70%.武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：垃圾量X[12.5，15.5）[15.5，18.5）[18.5，21.5）[21.5，24.5）[24.5，27.5）[27.5，30.5）[30.5，33.5]频数56912864
（1）通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值（精确到0.1）；（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为（1）中的样本平均值，σ2近似为样本方差s2，经计算得s＝5.2.请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数.（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查.现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设Y为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y的分布列与数学期望.（参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974）
【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】ABC【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】AD【12题答案】【答案】AC【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】
【答案】【16题答案】【答案】①.；②.##0.6.【17题答案】【答案】（1）；（2）有.【详解】（1）该校高二年级学生中，需要学校提供学法指导的学生的比例的估计值为.（2），因为，所以有95%的把握认为该校高二年级学生是否需要学校提供学法指导与性别有关.【18题答案】【答案】（1）；（2）.【详解】（1）甲､乙2人必须跑中间两棒，则有种排法，余下的两个位置需要在剩余的6人中选2人排列，有种排法，根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为.（2）甲､乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒，则需要从甲､乙2人中选出1人，有种选法，然后在第一棒和第四棒中选一棒，有种选法，另外6人中要选3人在剩余的三个位置上排列，有种排法，根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为.【19题答案】【答案】（1）60°；（2）.【小问1详解】以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则，，，，所以，，设与EF所成角的大小为，则，因为异面直线成角的范围是，所以与所成角的大小为60°．【小问2详解】设平面的法向量为，与平面所成角为，．因为，，所以，，所以，令，得为平面的一个法向量，又因为，所以，所以．【21题答案】【详解】（1）根据甲班的统计数据，该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为；（2）甲班每天学习时间不足4小时的学生人数为乙班每天学习时间不足4小时的学生人数为，
从甲班抽到的学生人数可取的值为，则，，，所以的分布列为：012则的数学期望为：.【22题答案】【小问1详解】证明：取的中点，连接，，因为，分别是棱，的中点，则，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面．【小问2详解】解：在平面ACC1中过点作于，连接，
平面平面，平面平面，平面，选择条件①：三棱锥的体积，，在中，，点为的中点，，故以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，平面平面，平面，平面，平面即平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，即，令，则，，，，显然二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．选择条件②：与底面所成的角为，，，点为的中点，，
故以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，平面平面，平面，平面，平面即平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，即，令，则，，，，显然二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．选择条件③：，即为异面直线与所成的角，即，，，，即，，故以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
，，，平面平面，平面，平面，平面即平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，即，令，则，，，，显然二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．【24题答案】【详解】（1）由频数分布表得：，所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨；（2）由（1）知，，，，，所以这320个社区中“超标”社区的个数为51；（3）由频数分布表知：8个“超标”社区中这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，所以的可能取值为1，2，3，4，且，，，，
所以的分布列为：1234．
