石首市2021——2022学年度下学期期中考试高中一年级数学试题考试时间：120分钟值分:150分注意事项：1．本试卷分为试题卷和答题卡，答题前请先将自己的姓名、学校、班级填写在答题卡上对应的位置。2．选择题的答案请用2B铅笔以正确的填涂方式填写在答题卡上对应的位置，非选择题请将答案填写在相应的答题栏内，写在试题卷上的答案无效。一、单选择（每小题5分，共8小题40分）1．关于向量，，下列命题中，正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2．已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（）A．1B．C．2D．33．设，均为向量单位，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知钝角三角形的边长分别为，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．5．已知平面向量，则的最大值（）A．B．C．D．6．纳斯卡线条是一种巨型的地上绘图，有着广大宽阔的直线，看起来就像机场跑道一样，描绘的大多是动植物，位于南美洲西部的秘鲁南部的纳斯卡荒原上，是存在了2000年的谜局:究竟是谁创造了它们并且为了什么而创造，至今仍无人能解，因此被列入“十大谜团”．在这些图案中，最清晰的图案之一是一只身长50米的大蜘蛛（如图），据说这是一种学名为“节腹目”的蜘蛛的形状．这种蜘蛛十分罕见，只有亚马逊河雨林中最偏远隐秘的地区才能找到．现用视角为30°的摄像头（注:当摄像头和所拍摄的圆形区域构成一个圆锥时，该圆锥的轴截面的顶角称为该摄像头的视角）在该蜘蛛的上方拍摄，使得整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域内，则该摄像头距地面的高度的最小值是（）
A．50米B．米C．米D．米7．如图，已知等腰中．，，点P是边BC上的动点，则（）A．为定值6B．为定值10C．最大值为18D．与P的位置有关8．已知O为锐角三角形ABC的外心，，则的值为（）A．B．C．D．二、多选题（每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，共4小题20分）9．下列命题中，正确的是（）A．若，则或B．若，且，则或C．若与平行，则D．若不平行的两个非零向量，，满足，则10．若复数，则（）A．B．z的实部与虚部之差为3C．D．z在复平面内对应的点位于第四象限11．如图所示，在坡地一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若m，山坡对于地平面的坡度为，则下列说法正确的是（）
A．B．C．山坡A处与建筑物CD的顶端C的距离为米D．山坡A处与建筑物CD的顶端C的距离为100米12．正八面体是五种正多面体的一种，是三维的正轴体，有6个顶点、12条边和8个面．它由八个等边三角形构成，也可以看作上、下两个四棱锥黏合而成，每个四棱锥由四个正三角形与一个正方形组成．正八面体内嵌在正方体中时，6个顶点分别位于正方体的表面中心．正八面体可以从多种不同的方向被正交投影到二维平面，以下展示的投影中，正八面体在二维平面的投影有（）A．B．C．D．三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13．（i为虚数单位），则__________．14．若用“斜二测法”作出边长为2的正三角形的直观图是，则的重心到底边的距离是__________．15．如图，在平行四边形ABCD中，，，点O为对角线AC与BD的交点，点E在边CD上，且，则__________．（用，表示）16．在中，D、E分别是BC、AC的中点，且，，则的取值范围是．四、解答题（共6小题70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知复数满足（i为虚数单位），复数的虚部为2，是实数，求．
18．（12分）已知平面向量，，．（1）若，求x的值；（2）若，求在上的投影向量的坐标．19．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求B；（2）若的面积，，求的值．20．（12分）如图，在中，已知，，，N为AC边上的中点，点M在线段BC上，且．（1）求线段AM的长度，（2）设AM与BN相交于点P，求的余弦值．21．（12分）在如图所示平面图形中，弧CD为四分之一圆弧，，，，，．求将此平面图形绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积及体积．22．（12分）如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知，且．（1）求b的值．（2）设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且的面积为面积的一半，求的最小值．
2021~2022学年度下学期高一期中数学参考答案及评分标准一、单选题1．C2．D3．C4．B5．A6．C7．B8．D二、多选题9．BD10．ACD11．AC12．ACD三、填空题13．514．15．16．第8题：【答案】D【解析】设锐角三角形ABC的外接圆的半径为，即，，，显然是锐角，因为O为锐角三角形ABC的外心，所以O在锐角三角形ABC内部，由圆的性质可知:，显然是锐角，，或舍去，故选:D第12题：【答案】A，C，D【解析】如图，为空间正八面体，沿垂直于平面ABCD方向，得答案A；沿平行于平面ABCD的水平方向，得类似答案B所示的图形，但二个三角形应为等腰三角形而不是等边三角形，故B错误；沿正方体一条体对角线的方向，得答案C；沿平行于平面EAB的方向，得答案D．故选:ACD．第16题：又，即，∴四、解答题17：
【解】设，则∵，∴18：【解】（1）若，则，所以，解得或．（2）若，则，，由，且在上的投影长，所以投影向量．19：【解】（1）因为，由二倍角公式及诱导公式化简可得:解得或（舍），因为，所以．(2)由，由，，代入解得:．由余弦定理，所以由正弦定理，可得．20：【解】（1）设，，则，，，，
，即．（2）因为，所以所以．因为所以．因为，所以21：【解】所成几何体为一个圆台挖去一个半球，∵，则是等腰直角三角形，∴，，∴，．22：【解】（1）由条件，可得:，即，化简可得:，因为，所以；（2）设，，因为的面积为面积的一半，所以，
又E，G，F共线，设，则所以，解得所以，又，所以，又，所以化简得，又，所以，所以，则，所以，所以，当时等号成立，所以的最小值为2．
