石首市2021——2022学年度下学期期中考试高中二年级数学试题考试时间：120分钟值分:150分注意事项：1．本试卷分为试题卷和答题卡，答题前请先将自己的姓名、学校、班级填写在答题卡上对应的位置。2．选择题的答案请用2B铅笔以正确的填涂方式填写在答题卡上对应的位置，非选择题请将答案填写在相应的答题栏内，写在试题卷上的答案无效。一、单选题（每小题5分，共8小题40分）1．已知函数可导，且，（）A．－3B．0C．3D．62．“中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”，其中China又可以简写为CN，从“CNDream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合（顺序不变）的不同排列共有（）A．360种B．480种C．600种D．720种3．已知函数的导函数为，且满足，则曲线在处的切线方程是（）A．B．C．D．4．用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多0.5m，要使它的容积最大，则容器底面的宽为（）A．0.5mB．0.7mC．1mD．1.5m5．正方体六个面上分别标有A，B，C，D，E，F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种．A．420B．600C．720D．7806．函数，的图象大致为（）
A．B．C．D．7．已知，展开式中x的系数为，则等于（）A．B．C．D．8．定义在上的函数的导函数为，且，若对任意恒成立，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．二、多选题（每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，共4小题20分）9．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（）A．B．C．D．10．已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有（）A．展开式共有7项B．所有二项式系数和为128C．二项式系数最大的项是第4项D．展开式的有理项共有4项
11．将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（），那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（）A．第2行第2个数是B．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值C．（，）D．（，）12．已知函数有两个零点，，则（）A．a的取值范围为B．C．D．三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13．已知某质点的位移S与移动时间t满足，则质点在t＝2的瞬时速度是__________．14．在的展开式中，含项的系数为__________（结果用数值表示）．15．3个学生和3个老师共6个人站成一排照相，有且仅有两个老师相邻，则不同站法的种数是__________（结果用数字表示）．16．设函数与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都
有，则称与在上是“密切函数”，区间称为“密切区间”．设函数与在上是“密切函数”，则实数t的取值范围是__________．四、解答题（共6小题70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法;（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个盒子空，共有多少种放法;（3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法;（4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个盒子空，共有多少种放法?18．（12分）已知函数．（1）求函数的单调区间;（2）经过点作函数图象的切线，求该切线的方程．19．（12分）在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为．（1）求n的值;（2）求展开式中所有的有理项;（3）求展开式中系数最大的项．20．（12分）已知函数．（1）讨论的极值．（2）当时，若无最小值，求实数a的取值范围．21．（12分）某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润与投资金额x（单位:万元）满足：（且为常数），且曲线与直线在点相切；乙产品的利润与投资金额的算术平方根成正比，且其图象经过点．（1）分别求甲、乙两种产品的利润与投资金额间的函数关系式;（2）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元．问怎样分配这40万元，才能使该公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?（结果保留3位小数，参考数据:，，，，）22．（12分）已知函数，为的导数．
（1）证明:当时，．（2）设，证明：有且仅有2个零点．2021~2022学年度下学期高二数学参考答案及评分标准一、单选题1．D2．C3．C4．C5．D6．C7．A8．B二、多选题9．BC10．BD11．AC12．BCD三、填空题13．814．1215．43216．第12题：【答案】B，C，D【解析】，因为，所以当时，，单调递增，函数至多有一个零点;当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，函数有最大值，最大值为:，当时，，所以函数至多有一个零点;当时，，而，当时，，当时，，所以函数在，内各有一个零点，所以，因此选项A不正确;选项B:因为，所以，因此本选项正确;选项C:因为，当时，，所以，因此，构造新函数，，因为，所以，单调递减，因此当时，，又因为，所以
，而，因此，所以本选项正确;选项D:，令，显然有，令，，显然，因此有:，设，所以有，当时，，单调递减，当时，，单调递增，因为，所以，令，即，因为，所以，单调递增，因为，所以，而，所以，因为，所以，当时，单调递减，因此有，即，所以本选项说法正确，故选：BCD．第16题：【答案】【解析】因为函数与在上是“密切函数”，则即对于恒成立，所以，即对于恒成立，令，则，当时，;当时，;所以
，，，所以，所以，可得，所以实数t的取值范围是:．故答案为:四、解答题17【解】：（1）每个小球有4种方法，共有种放法;2分（2）先选1个空盒，再把4个小球分成3组，最后分到3个盒子，共有种放法;5分（3）9个空中插入3个板即可，种放法;7分（4）先选2个空盒，再3个空中插入1个板即可，共有种放法．10分18【解】：(1)，故，1分取，则，2分故函数的单调递减是;单调递增是．6分(2)设切点为，则7分，解得，11分故切线方程为，即．12分
19【解】：(1)由题意知:，1分则第4项的系数为，倒数第4项的系数为，则有即，∴．3分(2)由（1）可得，当时所有的有理项为，，，4分即，，，8分(3)设展开式中第项的系数最大，则，10分11分∴，故系数最大项为．12分20【解】：(1)因为，所以．1分令，得或．2分①当时，由，得;由，得．则在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，没有极大值4分②当时，由，得或;由，得．则在上单调递减，在和上单调递增，函数有极大值，极小值．6分
③当时，恒成立，则在上单调递增，函数无极值．7分④当时，由，得或;由，得．则在上单调递减，在和上单调递增，函数有极大值，极小值综上，当时，函数有极小值，无极大值当时，函数有极大值，极小值;当时，函数无极值；当时，函数有极大值，极小值9分（2）①当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，则有最小值，故不符合题意．10分②当时，由（1）可知在上单调递减，在和上单调递增，因为无最小值，所以，即，解得;11分③当时，由（1）可知在上单调递增，所以无最小值，所以符合题意;综上，实数a的取值范围为．12分21【解】：(1)函数的定义域为且，因为点在直线上，故有1分又曲线与直线在点处相切，故有，得，3分则甲产品的利润与投资金额间的函数关系式为．4分
由题意得乙产品投资金额与利润的关系式为:，将点代入上式，可得，5分所以乙产品的利润与投资金额间的关系式为;6分(1)设甲产品投资x万元，则乙产品投资万元，且，则公司所得利润为，7分故有，8分令，解得，令，解得，所以为函数的极大值点，也是函数的最大值点10分万元．所以当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司获得最大利润为21.124万元．12分22【解】：（1）证法1:当时，要证，只要证．1分设，则，3分所以在上单调递减，;所以，当时，．5分证法2:，1分设，，当时，可证:，，当时，设，，则，，
，单调递增，，，所以，，，所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增．所以．5分证法3:①当，即时，;1分②当时，要证，只要证，即，易知，当时，单调递增，而单调递减，所以．当时，，而，所以．综上所述，当时，．5分（1）证：，，6分①由（1）知，当时，，在上单调递增，且，，所以在上有且仅有1个零点．7分②当时，可证，在上单调递减，证明如下:
欲证，只要证，设，则，8分所以在上单调递减，得，故，得在上单调递减，10分且，，所以在上有且仅有1个零点．11分综上所述，有且仅有2个零点．12分注:第（2）问中，关于“②当，可证，在上单调递减”，其证明过程也可以如下:由，讨论:①时，;②当时，单调递增，则．当时，，即在上单调递减．
