2021—2022学年度下学期2021级期中考试数学试卷考试时间：2022年4月25日一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{≤1}，则A∩B等于( )A．{3}B．{0,1,2}C．{1,2}D．{0,1,2,3}2．已知i为虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，等于( )A．1B.C.D．23．已知α是第二象限角，且tanα＝－1，则sin2α等于( )A．—B.C．－1D.04．在平行四边中，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝3，且＝3，则·等于( )A．5B．6C．7D．105．化简：=（）A. B.C.D.6．已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为( )A．2，－B．2，－C．4，－D．4，－7．已知关于x的不等式ax2－2x＋3a<0在(0,2]上有解，则实数a的取值范围是( )ADPOBA.B.C.D.8．如图，已知点在由射线、线段，线段的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且与平行，若，当时，的取值范围是（）A.B.
C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若<<0，则下列不等式中，正确的不等式有( )A．a＋b<abB．|a|>|b|C．a<bD.＋>210．在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值可以为( )A.B.C.D.11．下列命题中，是真命题的是( )A．已知非零向量a、b，若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥bB．若命题p：∀x∈(0，＋∞)，x－1>lnx，则非p：∃x0∈(0，＋∞)，x0－1≤lnx0C．在△ABC中“sinA＋cosA＝sinB＋cosB”是“A＝B”的充要条件D．在△ABC中，的充要条件是12．如图，已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题正确的是( )A．正方体外接球的半径为B．点P在线段AB上运动，则四面体P－A1B1C1的体积不变C．与所有12条棱都相切的球的体积为D．M是正方体的内切球的球面上任意一点，则长的最小值是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．a＝(1,1)，b＝(1，t)，若|a|＝a·b，则t＝________．14．把一个底面半径为3cm，高为4cm的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损耗)，则该钢球的表面积为_______cm2．15．函数f(x)＝的单调增区间是16．已知，不等式2sinθcosθ＋sinθ＋cosθ－m＋1≥0恒成立，则实数m的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知两个单位向量a和b的夹角为120°，k∈，
（1）求ab（2）求|ka＋b|的最小值。ADCB18．在中，，（1）若平分边且交于,求的长（2）若平分且交于,求的长POCAB19．如图，已知圆锥的底面半径为，母线长为2，为底圆O的直径，为圆锥的顶点，点为圆O上一动点， （1）求圆锥的表面积和体积；（2）求面积的最大值20．已知点P(，1)，Q(cosx，sinx)，O为坐标原点，函数f(x)＝·. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若A为△ABC的内角，f(A)＝4，BC＝3，求△ABC周长的最大值．21．在直角梯形中，,分别为,的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若,求的取值范围。EPFDCBA
22．从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径为1，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设，五个正方形的面积和为．（1）求面积关于的函数表达式（2）求面积最小值．高一年级期中考试数学答案1-8BCCDAAAD9-12ADBCABDABC1314151617（1）（2）
18（1）（2）19（1）（2）20（1）（2）21坐标化，22解：=，因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，所以，，，所以的取值范围为，其中，（2），其中，，所以，此时，所以，则，化简得：，因为，所以当时面积最小值为。
