绵阳南山中学高2021级高一下期半期考试试卷数学第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．化简（ ）A．B．C．D．2．已知，是实数，且，则（ ）A．B．C．D．3．设是等比数列，且，，则（ ）A．B．C．D．4．在中，已知，，，则的长为（ ）A．B．C．D．5．已知向量与向量，若，则（ ）A．B.C．D．6．已知数列是等比数列，是等差数列，若，，则（ ）A．B．C．D．7．已知的三个顶点及平面内一点，若，则点与的位置关系是（ ）A．在边上B．在边上C．在边上D．在内部8．已知在中，，，则的形状是（ ）\nA．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形9．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，”（“钱”是古代一种质量单位），在这个问题中，甲得钱数为（ ）A．B．C．D．10．已知实数，，且，则的最小值为（ ）A．B．C．D．11．设等差数列的公差为，其前项和为，且，，则使得的正整数的最小值为（ ）A．B．C．D．12．在锐角中，角所对的边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数满足条件则的最大值为________.14．为了测量灯塔的高度，第一次在点测得，然后向前走了米到达点处测得，点、、在同一直线上，则灯塔高度为___________.15．在菱形中，，，，则___________.16．已知数列的前项和为，，，且，若\n对任意都成立，则实数的最小值为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本题满分10分）已知平面向量，满足：，，.（1）求与的夹角；（2）求向量在向量上的投影.18．（本题满分12分）已知不等式的解集为.（1）求；（2）解不等式.19．（本题满分12分）在中，角所对的边分别为，，．且.\n（1）求；（2）若，，求的面积.20．（本题满分12分）已知为等比数列，前项和为，，.（1）求的通项公式及前项和；（2）若，求数列的前项和.21．（本题满分12分）如图，在中，点在边上，为的平分线，．（1）求；（2）若,,求．22．（本题满分12分）\n设数列的前项和为，若，．（1）证明为等比数列；（2）设，数列的前项和为，求；（3）求证：．绵阳南山中学高2021级高一下期半期考试试卷数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。123456789101112BACDCDBDACBD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．14．15．16．三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12．△ABC中，，由，得，∴；即，∵，∴，∴，∴，∴，∵△ABC为锐角三角形，∴,∴，∴，∴,\n∴．16．数列的前项和为，=1，=3，且，所以，故：，因为，所以，所以，，则，故，所以=，所以，因为对任意都成立，所以．设则．当时，当时，因此即．17．解（1）∵，∴，又∵，∴，∴．∵，∴．（2）∵，∴，∴向量在向量上的投影为．18．解：（1）因为不等式的解集为或，\n所以或是方程的根，所以，解得．（2）由（1）可知原不等式可化为，即．当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为．19．（1）由题意得，由正弦定理可得，整理得：，即．在中，∴， ∵ ∴．（2）由余弦定理及已知条件可得：，解得，的面积．20．解(1)设公比为，∵，，∴，∴，∴；．(2)∵，∴，∴．21．解(1)因为的平分线，令，在中，，由正弦定理，得．所以．\n(2)因为，所以，又，由,得．，．所以，因为，所以，所以．22．解（1）由得：，即，由得：，所以是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知，故．，两式作差得：所以．（3）由（1）知，则，，恒成立，\n，即．．
