2022年6月绵阳南山中学2022年春季高2020级热身考试数学试题（文史类）本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页，答题卡共6页．满分150分．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内．2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．考试结束后将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有－项是符合题目要求的．1.已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩(∁UA)等于( )A．{1,6}B．{1,7}C．{6,7}D．{1,6,7}2.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A.i(1＋i)2B.i2(1－i)C.i(1＋i)D.(1＋i)23.已知命题p：“∃x0∈R，－x0－1≤0”，则为( )A．∃x0∈R，－x0－1≥0B．∃x0∈R，－x0－1>0C．∀x∈R，ex－x－1>0D．∀x∈R，ex－x－1≥04.执行如图所示的程序框图，若输入的k＝0，a＝0，则输出的k为( )A.2B.3C.4D.55.设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.有三张卡片，分别写有1和2、1和3、2和3，甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”；丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则下列说法中正确的( )A.丙的卡片上的数字是1和3B.甲的卡片上的数字是2和3C.乙的卡片上的数字是1和3D.甲的卡片上的数字是1和3\n7.设a＝log32，b＝log53，c＝，则( )A．a<c<bB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0，2]时，，则f(2023)等于( )A.-2B.2C.7D.99.迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，则的最大值为( )．（本题中取进行计算）A.6B.C.3D.910.设函数，则下列函数中为奇函数的是( )A．f(x－1)－1B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1D．f(x＋1)＋111.若函数f(x)＝ex(sinx＋a)在R上存在极值点，则实数a的取值范围为( )A.[，＋∞)B.C.D.12.已知函数，若关于x的方程有5个不同的实数根,则实数t的取值范围( )A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13.函数f(x)＝＋lnx的定义域是__________.14.幂函数y＝(m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为________.15.已知函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m的值等于________.16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f′(x).若x>0时，f′(x)<2x，则不等式f(2x)－f(x－1)<3x2＋2x－1的解集是________.\n三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q＞1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)＝4，f(2)＝6.①求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是[0，5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推)；②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．18.（本题满分12分）已知p：关于x的方程ex－a＝0在(－∞，0)上有解；q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，（1）p∧q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R).(1)当a＝时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.20.（本题满分12分）已知关于x的函数与在区\n间D上恒有．（1）若，求h(x)的表达式；（2）若，求k的取值范围；21.（本题满分12分）已知函数，其图象在x=e处的切线过点（2e，2e2）．（1）求a的值；（2）讨论的单调性：（3）若，关于x的不等式在区间（1，）上恒成立，求的取值范。二选一：第22~23题为选考题，只选一题作答，计入总分。两题都作答，阅卷默认第一题．22.（本题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)．(1)求曲线C的普通方程；(2)经过点P(平面直角坐标系xOy中的点)作直线l交曲线C于A，B两点，若P恰好为线段AB的中点，求直线l的方程．23.（本题满分10分）已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6，求a的取值范围．\n绵阳南山中学2022年春季高2020级热身考试数学试题（文史类）参考答案1C2D3C4C5C6D7A8A9B10D11A12D13 (0，＋∞)14.115.216. 17解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)＝x(x－q)2＋p.(2)①对于f(x)＝x(x－q)2＋p，由f(0)＝4，f(2)＝6，可得p＝4，(2－q)2＝1，又q＞1，所以q＝3，所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．②因为f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，所以f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)＜0，得1＜x＜3.所以函数f(x)在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．18解（1） p真：a＝ex在(－∞，0)上有解，∴0<a<1.q真：ax2－x＋a>0在R上恒成立，当a＝0时，显然不成立；当a≠0时，需∴a>.所以（2）p∨q为真，p∧q为假，∴p真q假或p假q真.当p真q假时，∴0<a≤，当p假q真时，∴a≥1.\n∴0<a≤或a≥1.19解 (1)当a＝时，f(x)＝lnx－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↑ln2－1↓故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln2－1，无极小值.(2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝.当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a>0时，若x∈，则f′(x)>0，若x∈，则f′(x)<0，故函数在x＝处有极大值.综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝.20解:（1）由条件，得，取，得，所以．由，得，此式对一切恒成立，所以，则，此时恒成立，所以．（2）.令，则令，得.\n所以.则恒成立，所以当且仅当时，恒成立．另一方面，恒成立，即恒成立，也即恒成立．因为，对称轴为，所以，解得．因此，k的取值范围是21.解：(1)由题意则那么即代入得解得(2)定义域,由(1)知令,则显然在单增且-+↓↑则在上\n所以在单增,单增(2)不等式等价为:恒成立由(2)知即又(2)在单增,单增所以不等式等价于:即即+-↑↓22.解 (1)由曲线C的参数方程，得所以cos2θ＋sin2θ＝2＋y2＝1，所以曲线C的普通方程为＋y2＝1.(2)设直线l的倾斜角为θ1，则直线l的参数方程为(t为参数)，代入曲线C的直角坐标方程，得(cos2θ1＋4sin2θ1)t2＋(2cosθ1＋4sinθ1)t－2＝0，所以t1＋t2＝－，由题意知t1＝－t2，所以2cosθ1＋4sinθ1＝0，得k＝－，所以直线l的方程为x＋2y－2＝0.23.解 (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.\n(2)由题设可得，f(x)＝所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.由题设得(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．
