沈阳二中22届第二次模拟考试一､单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合，，则（）A.B.C.D.【1题答案】【答案】A【解析】【分析】根据集合的运算法则计算．【详解】因为，，所以.故选：A．2.若复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【2题答案】【答案】A【解析】【分析】利用复数四则运算法则及复数的几何意义即可求解.【详解】因，所以在复平面内对应的点位于第一象限．故选：A3.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2【3题答案】【答案】A【解析】【分析】根据正态曲线的对称性即可求得答案.【详解】由题意，正态曲线的对称轴为，则与关于对称轴对称，于是.\n故选：A.4.已知a，b为正实数，且，则的最小值为（）A.1B.2C.4D.6【4题答案】【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最值.【详解】因为a，b为正实数，且，所以.当且仅当，即时取等号.故选：D5.设，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【5题答案】【答案】D【解析】【分析】结合指数、对数函数单调性判断出大致范围，即可求解.【详解】因为，，，所以.故选：D．6.若，则（）A.B.C.D.【6题答案】\n【答案】A【解析】【分析】先由求出，再由同角三角函数基本关系，以及二倍角的正弦公式，将所求式子化简，即可得出结果.【详解】因为，所以，因此.故选：A.【点睛】本题主要考查由同角三角函数基本关系化简求值，涉及二倍角的正弦公式，属于基础题型.7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A.B.2C.D.【7题答案】【答案】D【解析】【分析】先求出点A关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短.【详解】解：设点A关于直线的对称点，的中点为，，\n故，解得，要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短距离，“将军饮马”的最短总路程为，故选：D.8.已知实数，，满足且，若，则（）A.B.C.D.【8题答案】【答案】D【解析】【分析】首先根据题中的条件得到，从而得到；再根据时得到，结合函数的单调性得到，从而得到.【详解】由得，————①由得，————②两式相加得，因为，，所以，又因为，所以；因为，，所以，即，所以；令，则，当时，，所以在内单调递增，即，\n所以，即，又令，则，当时，，所以在内单调递增，所以由，得到.所以.故选：D.二､多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.对任意实数，，，给出下列命题，其中假命题是（）A.“”是“”的充要条件B.“”是“”的充分条件C.“”是“”必要条件D.“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件【9题答案】【答案】ABD【解析】【分析】根据充分、必要性的推出关系，判断各选项中条件间的关系，即可得答案.【详解】A：由有，当不一定有成立，必要性不成立，假命题；B：若时，充分性不成立，假命题；C：不一定，但必有，故“”是“”的必要条件，真命题；D：是无理数则是无理数，若是无理数也有是无理数，故为充要条件，假命题.故选：ABD10.为得到函数的图象，只需将的图象（）A.先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度B.先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度\nC.先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)D.先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)【10题答案】【答案】BC【解析】【分析】利用先伸缩再平移或是先平移再伸缩两种变换方法，判断选项.【详解】如果是先伸缩再平移，那么需先将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到，再向右平移个单位长度，即得如果是先平移再伸缩，需先将向右的单位长度，得到，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），即得.故选：BC11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(-x)，f(x+1)=f(1-x)，且当x∈[0，1]时，f(x)=-x2+2x，则下列结论正确的是（）A.f(x)的图象关于直线x=1对称B.当时，C.当时，f(x)单调递增D.【11题答案】【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件探讨函数的性质，再逐一分析各个选项判断作答.【详解】因，则有函数图象关于对称，A正确；由得，又R上的函数满足，因此有\n，于是得函数是周期为2的周期函数，当时，，则，B不正确；因当时，，因此在上单调递增，C正确；因函数是周期为2的周期函数，则，D正确.故选：ACD12.如图，若正方体的棱长为1，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（）A.沿正方体的表面从点到点的最短路程为B.若保持，则点在侧面内运动路径的长度为C.三棱锥的体积最大值为D.若在平面内运动，且，点的轨迹为线段【12题答案】【答案】ABD【解析】【分析】A把两个平面展开到同一平面内，利用两点之间，线段最短进行求解，注意展开方式可能有多种；B找到点M在侧面内的运动轨迹是圆弧，再求解弧长；C利用等体积法和建立空间直角坐标系，求出的最大值，即为最大值；D\n在空间直角坐标系中利用余弦定理得到点M的轨迹方程为线段.【详解】将面与面展开到同一平面内，连接AP，此时，也可将面ABCD与面展开到同一平面内，此时，而，故A正确；过P作PE⊥于E，连接EM，则E为的中点，PE=1且PE⊥面，EM面，所以PE⊥EM，由知：，故M在面上的轨迹：以E为圆心，1为半径的半圆，故M在侧面运动路径的长为，B正确；\n连接，，，，，，则，所以，以D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，设(，)，设面的法向量为，则，令得，设到面的距离为，则，故当，时，取得最大值为，此时三棱锥体积最大，，C错误；，所以，连接，，因为，（，），所以，，，化简，所以且，知M的轨迹是线段，D正确.\n故选：ABD【点睛】关键点点睛：应用空间直角坐标系解决轨迹问题，并求解空间角度和距离.三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线上一点到此抛物线焦点的距离为_______.【13题答案】【答案】3【解析】【详解】点到此抛物线焦点的距离为故答案：314.半径为3的金属球在机床上通过切割，加工成一个底面半径为的圆柱，当圆柱的体积最大时，其侧面积为___________.【14题答案】【答案】【解析】【分析】根据题设可知圆柱体的上下底面是金属球的两个截面，求出圆柱的高，再求其侧面积.【详解】要使圆柱的体积最大，即圆柱的高最大，所以仅当圆柱上下底面是金属球的截面时高最大，为，所以侧面积为.故答案为：.\n15.有三个同样的箱子，箱中有4个黑球1个白球，箱中有3个黑球3个白球，箱中有3个黑球5个白球.现任取一箱，再从中任取一球，则此球是白球的概率为___________.【15题答案】【答案】【解析】【分析】由概率的加法公式计算【详解】任取一箱取到箱的概率各为，在箱中取到白球的概率依次为故故答案为：16.已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是___________（写出所有正确命题的编号）.①有5个不同的值②若，则与无关③若，则与无关④若，则【16题答案】【答案】②④【解析】【分析】根据已知条件，结合向量关系及数量积的运算律，逐项分析正误即可.【详解】的可能值有，，，故①错误而，则，③错误；\n当时，与无关，故②正确；当时，故④正确；故答案为：②④【点睛】关键点点睛：根据题设写出所有的可能值，应用作差、数量积的运算律确定最小，结合各项条件判断正误.四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.17题10分，其它题12分.）17.△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角C；（2）若，求的面积.【17题答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)结合正弦定理边化角和三角函数的诱导公式即可求解；(2)结合余弦定理联立方程组即可求解.【小问1详解】由已知及正弦定理，得，即.故，可得，∵，∴；【小问2详解】由已知及余弦定理得，，又，故，因此，，\n∴△的面积.19.已知等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）等比数列的前项和为，且，再从下面①②③中选取两个作为条件，求满足的的最大值.①；②；③.（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.）【19题答案】【答案】（1）；（2）10.【解析】【分析】(1)根据给定条件借助等差数列的性质求出公差d即可计算作答.(2)选择①②，计算求出的公比，再求出并解不等式即得；选择①③，求出的公比并验证选取，再求出并解不等式即得；选择②③，求出的公比并验证选取，再求出并解不等式即得.【小问1详解】设等差数列的公差为，因，则，即，于是得，从而有，所以的通项公式是.【小问2详解】选择①②：设等比数列的公比为，因，，由(1)知，，，而，则，即\n有，于是得，因，即，而，解得，则，所以满足的的最大值为10.选择①③：设等比数列的公比为，因，，由(1)知，则，，由，解得，又，则有，于是得，因，即，而，解得，则，所以满足的的最大值为10.选择②③：设等比数列的公比为，因，由(1)知，，则，解得或，而，则有，于是得，因，即，而，解得，则，所以满足的的最大值为10.21.随着我国经济的发展，人们生活水平的提高，汽车的保有量越来越高．汽车保险费是人们非常关心的话题．保险公司规定：上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：上一年的出险次数次以上（含次）\n下一年的保费倍率连续两年没有出险打折，连续三年没有出险打折经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的组数据（其中（万元）表示购车价格，（元）表示商业车险保费）：，，，，，，，．设由这组数据得到的回归直线方程为．（1）求的值．（2）某车主蔡先生购买一辆价值万元的新车．①估计该车主蔡先生购车时的商业车险保费．②若该车今年保险期间内已出过一次险，现在又被刮花了，蔡先生到店询价，预计修车费用为元，保险专员建议蔡先生自费（即不出险），你认为蔡先生是否应该接受建议？并说明理由．（假设该车辆下一年与上一年购买相同的商业车险产品进行续保）．【21题答案】【答案】（1）；（2）①3411（元）；②应该接受建议；理由见解析．【解析】【分析】（1）先计算样本中心点，代入回归直线，即得解；（2）①将代入回归直线，即得解；②计算再出一次险增加的保费，与修车费用800元比较，即得解【详解】（1）（万元）（元），回归直线经过样本点的中心，即，所以．（2）①价值为万元的新车的商业车险保费预报值为（元）．\n②由于该车已出过一次险，若再出一次险，则保费增加，即增加（元）．因为，所以应该接受建议．22.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点是的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【22题答案】【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质和判定定理即可证明；（2）根据题意建立空间直角坐标系，通过线面角相关公式进行计算即可.【小问1详解】如图，连接，∵四边形是正方形，∴.又平面，平面，∴，∵平面，，∴平面，又平面，∴【小问2详解】\n易知，，两两垂直，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.∵，∴，，，，，∴，，.设平面的法向量为，则，令，得.设直线与平面所成角为，由图可知，则.即直线与平面所成角的正弦值为.24.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.（1）若曲线与在处的曲率分别为，，比较，大小；\n（2）求正弦曲线（）曲率的平方的最大值.【24题答案】【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）对、求导，应用曲率公式求出处的曲率，，即可比较大小；（2）由题设求出的曲率平方，利用导数求的最大值即可.【小问1详解】由，，则，由，，则，所以；【小问2详解】由，，则，，令，则，故，设，则，在时，递减，所以，最大值为1.26.已知椭圆的左、右焦点为，P为椭圆上一点，且，．\n（1）求椭圆的离心率；（2）已知直线交椭圆于两点，且线段中点为，若椭圆上存在点，满足，试求椭圆的方程．【26题答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，以及，建立关于的方程，即可得到结果；（2）设，由（1）可知，可设椭圆方程为，根据，可得，设将其与椭圆方程联立，由韦达定理和点满足椭圆方程，可求出，进而求出结果.【小问1详解】解：因为，所以，即，则，解得．【小问2详解】解：设，由，得，所以，所以\n设，即由于在椭圆上，则，，①由，得，即由在椭圆上，则,即，即，②将①代入②得：，③线段的中点为，设可知，所以，其中，解得，所以，方程为又，④将④代入③得：，经检验满足，所以椭圆的方程为.
