2022届高三五月联合测评数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，其中i是虚数单位，则（）A．B．C．D．2．集合，，则（）A．B．C．D．3．已知，且，则（）A．B．C．D．4．已知向量，，若，则实数（）A．B．C．D．5．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列，则（）A．B．C．D．6．若函数是周期函数，最小正周期为．则下列直线中，图象的对称轴是（）A．B．C．D．\n7．已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线C的右支上，则的最小值为（）A．B．C．D．8．若过点可以作曲线的两条切线，则（）A．B．C．D．且二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（）A．的最小值为1B．的最小值为C．的最小值为4D．的最小值为10．袋中装有4个相同的小球，分别编号为1，2，3，4，从中不放回的随机取两个球，A表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，B表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的有（）A．事件A与事件B不互斥B．事件A与事件B独立C．在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为D．在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为11．已知．则下列说法正确的有（）A．函数有唯一零点B．函数的单调递减区间为C．函数有极大值D．若关于x的方程有三个不同的根．则实数a的取值范围是\n12．小淘气找到了一支粉笔，测量后发现该粉笔的形状恰好是正六棱台（正六棱台：棱台的上下底面均为正六边形，所有侧棱延长后交于一点，该点在棱台上、下底面的投影为分别为上、下底面的中心），棱台的高为h．若，，（单位：mm），不考虑其它因素，则（）A．粉笔的体积为B．若小淘气将该粉笔磨成一个体积最大的正六棱锥，则该棱锥的体积为C．若小淘气将该粉笔磨成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的侧面积为D．若小淘气将该粉笔磨成一个体积最大的球，则该球的半径为3mm三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若直线l沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率______．14．已知两条异面直线a，b所成角为60°，在直线a上取点C，E．在直线b上取点D，F，使，且．已知，则线段EF的长为______．15．若随机变量等可能地在，，中取值，其中，则的最小值为______．16．五名运动员A，B，C，D，E相互传球．每个人在接到球后随机传给其他四人中的一人．设首先由A开始进行第1次传球，那么恰好在第5次传球把球传回到A手中的概率是______（用最简分数表示）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求的面积的最大值．18．（12分）飞天梦永不失重，科学梦张力无限．“天宫课堂”是我国推出的全球首个太空科普教育活动，2022年3月23日15时40分，“天宫课堂”第二课如约而至，航天员王亚平在翟志刚、叶光富的协助下，成功演示了太空“冰雪”、液桥演示、水油分离、太空抛物等实验，激发了青少年学生追梦航天的飞天梦、科学梦．受“天宫课堂”启发，某学生分别在实验室的正常环境、失重环境下进行某项实验，其中正常环境下试验100次，成功40次；失重环境下试验10次，失败3次．\n（Ⅰ）用频率估计概率，求该同学在失重环境下实验成功的概率；（Ⅱ）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为该实验成败与选择的实验环境有关．成功次数失败次数合计正常环境失重环境合计附：，其中．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819．（12分）设为等差数列的前n项和，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前30项和．20．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，，．（Ⅰ）证明：平面PBD；（Ⅱ）若PB与平面PAD所成角为，求二面角的余弦值．21．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过定点的动直线l与椭圆交于点，，过作x轴垂线交圆\n于，过作x轴垂线交圆于，且满足点与在x轴同侧，点与在x轴同侧．试问；直线是否恒过定点？请说明理由．22．（12分）设连续正值函数定义在区间上，如果对于任意，都有，则称为“几何上凸函数”．已知，．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若，试判断是否为上的“几何上凸函数”，并说明理由．2022届高三五月联合测评数学试题参考答案与评分细则一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案CCABDBBD1．答案：C解：设，，则，故，，，选C．2．答案：C解：或，故，故，选C．3．答案：A解；因为，，所以．于是，故选A．4．答案：B解：，由得，解得，故选B．5．答案：D\n解：由题可知，，对累加得，故选项D正确．6．答案：B解：因为最小正周期为，故恒成立，故，，代入检验得为函数图象的对称轴，其它直线均不是函数图象的对称轴，故选B．7．答案：B解：由双曲线定义可得：，其中，将代入得：，故选B．8．答案：D解：作图观察可得，在且条件下可以做出曲线的两条切线，故选D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．题号9101112答案ACACDACDBC9．答案：AC解：抛物线焦点为，准线为，作出图象，对选项A：由抛物线的性质可知：的最小值为，选项A正确；对选项B：注意到F是定点，由圆的性质可知：的最小值为，选项B错误；对选项CD：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线定义可知，故，的最小值为点Q到准线的距离，故最小值为\n4，从而选项C正确，选项D错误．10．答案：ACD解：对选项A：“取出的两个球的编号均为奇数”既在事件A中，也在事件B中，故事件A与事件B不互斥，选项A正确；对选项B：事件A的概率，事件B的概率，事件AB的概率，因为，所以事件A与事件B不独立，选项B错误﹔对选项C：事件A的概率，事件B的概率，事件AB的概率．在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为，选项C正确；对选项D：事件A的概率，事件B的概率，事件AB的概率．在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为，选项D正确．11．答案：ACD解：由题可知：设，，则，由得：，故函数有唯一零点由得：；由得；；\n故在上单增﹐在上单减，作出图象，并将的部分图象关于x轴对称可得的图象如下：于是可得选项ACD正确，选项B应改为：函数的单调递减区间为，．12．答案：BC解：对选项A：棱台上底面面积，，由棱台体积公式，故，选项A错误；对选项B：体积最大的正六棱锥底面为ABCDEF，高为，故底面积，由棱锥体积公式，故，选项B正确；对选项C：体积最大的圆锥底面为正六边形ABCDEF的内切圆，高为，此时底面半径为，圆锥的母线长，故圆锥侧面积，选项C正确；对选项D：先将正六棱台侧棱延长交于一点P得到正六棱锥，正六棱锥的内切球即为可以磨成的体积最大的球，对于正六棱锥，设高为H，则，代入，故，以内切球球心I为顶点将正六棱锥分割为7个小的棱锥，分别为，，，，，，分割前正六棱锥的体积为若内切球半径为r，则7个小的棱锥的体积之和为\n由等体积法：，故，且，选项D错误．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案：解：由题可知，直线的方向向量为，故直线l的斜率．14．答案：或2解：如图，将线段CE沿平移至DK位置，此时，由异面直线所成角的定义，为异面直线a，b所成角或其补角，设，，则或．先求在中，，，故，，注意到平面，，，故于是在中，，，，由佘弦定理同理，于是或215．答案：\n解：随机变量等可能地在，，中取值，故取每个值的概率均为，于是，设，，则，设，，则，故在上单调递增，结合，于是当时，，从而，故在上单调递减，当时，，从而，故在上单调递增，故．16．答案：解：设第n次传球把球传回到A的手中的概率为，第1次传球A将球传给其他运动员，故；表示第次传球把球传回到A的手中，故传球前球不在A手中，而每名运动员传给其他一名指定运动员的概率为，由乘法原理，故．于是结合，故数列为首项为，公比为的等比数列，于是，即，，故17．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）\n解：（Ⅰ）因为，由正弦定理得：将代入上式得：结合，可得即，因为，，所以结合得（Ⅱ）法一；若，，由余弦定理得注意到，，由均值不等式，故，当且仅当时取等，于是，当且仅当即为正三角形时取等．故的面积的最大位．法二：若，，由正弦定理，，故，将代入上式得，其中，\n将展开变形得故，由得故的面积的最大值，当且仅当即为正三角形时取等．18．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ），故没有95%的把握认为该实验成败与选择的实验环境有关．解：（Ⅰ）由题可知，失重环境下试验10次，成功7次，失败3次，故由频率估计概率，该同学在失重环境下成功的概率为；（Ⅱ）由题可知：正常环境下试验100次，成功40次，失败60次；失重环境下试验10次，成功7次，失败3次，故列联表如下：成功次数失败次数合计正常环境4060100失重环境7310合计4763110（得出3.343可得10分）故，故没有95%的把握认为该实验成败与选择的实验环境有关．19．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由，得：解得：，故数列的通项公式为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，故，首先对任意的都有\n于是20．答案：（Ⅱ）（Ⅰ）证明：∵平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，∴，，结合，平面PAD，平面PAD，∴平面PAD又∵平面PAD∴，结合，平面PBD，平面PBD，∴平面PBD（Ⅱ）如图，以D为原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，故由（Ⅰ）可知平面PBD，平面PBD，故在平行四边形ABCD中，，故，结合，可得点的坐标，，∵结合，，平面PAD，平面PAD，．∴平面PAD∴PD是斜线PB在平面PAD上的射影，∴PB与平面PAD所成角为，\n∵在中，，，，∴，从而P点坐标为．对于二面角，平面PCD的一个法向量为，设平面PBC的法向量为，此时，，，【得出这一结果得10分】则由得，即，取得，于是平面PBC的一个法向量为，故二面角的余弦值为21．答案：（I）；（Ⅱ）恒过定点（得出这一结果给2分）解：由题可知离心率为，故；短轴长为2，故，结合，解得，于是椭圆C的方程为；（Ⅱ）设，，因为A，B在椭圆C上，所以，变形得，这表示点，均在圆上，（得出坐标得2分）因为点与横坐标相同，纵坐标同号，于是点的坐标为，同理点的坐标为当时，因为过定点P，所以直线，的斜率相等，\n于是，即，此时，取点，则表示点与两点连线的斜率，表示点与两点连线的斜率，于是，这意味着直线恒过定点，当动直线绕点旋转时，点，的横纵坐标发生变化，于是点，的横纵坐标随之变化，故除了定点外，动直线不过其它定点，否则过两定点，为定直线，矛盾．当时，经检验，此时直线过定点综上，直线过定点．22．答案：（Ⅰ）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）是上的几何上凸函数．解：（Ⅰ）定义域为，的导函数当时，，故在单调递减；当时，得：；由得：；于是在单调递减，在单调递增，综上，当时，在单调递减；当时，在单调递减，在单调递增．（Ⅱ）是上的几何上凸函数，证明如下：\n由（Ⅰ）可知，当时，在单调递减，在单调递增．故，故为连续正值函数由于，要证是上的几何上凸函数．需证，即证，，则，需证由，且故只需证下面给出证明：设，则，即在上，递减，所以，即．综上，成立，\n故，得证．
