曲靖一中2023届高二年级春季学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．答案：DCAB－ACBD1．曲靖市爨文化博物馆在曲靖一中校园内，博物馆有面向校内、校外两道大门，两道大门都可以进出，一个参观者随机从一道大门进入，参观完毕之后随机从一道大门走出，这位参观者从校内大门进出的概率等于（ ）A.B. C. D.解：进门有２种选择，出门有２种选择，由分步乘法原理知随机进出共有种基本情况（有且仅有４个样本点），由随机性知道每种情况发生的概率相等，从校内大门进出恰好是４种情况中的一种，所以参观者从校内大门进出的概率等于，选Ｄ．2．从１,２,３,４,５,６,７,８,９共9个数字中任取两个数字书写减法算式（仅仅是两个数字相减）给小学一年级学生（还没学习负数）训练，共可以写出（）个不同的算式．A.B. C. D.解：取出两个不同的数字，用较大的数字作为被减数，用较小的数字作为减数，恰好可以写出计算结果是正数的一个算式，一个算式对应于两个数字的一个组合，从而共有,选C.３．展开式中的系数等于（）A. B.C. D.解答：展开式中含的项为：，其系数为，选Ａ.４．先后随机投掷质地均匀的骰子三次，以第一次向上的面上的数字为空间直角坐标系中点的横坐标，第二次向上的面上的数字为纵坐标，第三次向上的面上的数字为竖坐标，那么组成横坐标、纵坐标、竖坐标都是偶数的点的概率等于（）\nA.B. C. D.解答：按照条件构成的所有点的个数,其中横坐标、纵坐标、竖坐标都是偶数的点的个数，所以所求的事件的概率，选Ｂ.５.已知集合，，则集合的关系是（ ）A. B. C.D.解答：解法一（列举法），，发现，选Ａ．解法二：（模式划归），，，则，选Ａ．６．曲靖一中某班级有学生58人，其中男生29人，从该班级中随机地有放回地抽取一人，连续抽58次,抽到女生的次数的期望等于()A.48B．30C.29D.28解答：设抽到女生的人次数为,由题目条件知，，期望，选C．７.已知双曲线的渐近线经过椭圆与抛物线的交点，则以双曲线的两焦点为某直径端点的圆的方程是（ ）A.B.C.D.解答：联立椭圆与抛物线的方程解得与的交点,点在的渐近线上，则即，进而双曲线的焦点为,所以以为一条直径的圆的方程是：，选B.８.曲靖一中紫薇大酒店开设一楼、二楼、三楼三个学生餐厅，A同学一天午餐随机地选择一个餐厅就餐．如果中午去一楼餐厅就餐，那么当天晚上不去一楼就餐的概率等于0.9；如\n果中午去二楼餐厅就餐，那么当晚去二楼就餐的概率等于0.7；如果中午去三楼餐厅就餐，那么晚上不去三楼就餐的概率等于0.8.还知道A同学晚上选择在一楼与三楼就餐的概率相等.那么,A同学晚上选择在一楼、二楼、三楼就餐的概率分别等于（ ）A.B.C.D.解答：用表示Ａ同学中午去第层楼就餐，用表示Ａ同学当天晚上去第层楼就餐，由题目条件，特别注意到晚上选择在一楼与三楼就餐的概率相等，由全概率公示计算得：；；． 所以，选D．二、多选题：本题共４个小题，选对一项记3分，选错一项或不选记0分，全部选对记5分，满分20分．答案：9.ACD10.BD11.BCD．12.选BCD9.已知集合，，下列结论中成立的是（）A.B.C.D.解答：，,选项ACD正确，B错误，选ACD．10.已知样本数据的均值和标准差都是10，下列判断正确的是（）A.样本数据均值和标准差都等于10；\nB.样本数据均值等于31、标准差等于30；C.样本数据的标准差等于0.1，方差等于1；D.样本数据的标准差等于2、方差等于4；解答：已知对于样本数据，均值,标准差．对于选项A,样本均值，原判断错误；对于选项B,样本均值，标准差，原判断正确；对于选项C,样本标准差，方差,原判断错误；对于选项D,样本标准差，方差,原判断正确.所以，选BD．11.已知事件,,，下列结论正确的是（）A. B． C.解答：已知，则发生时必然发生，，A正确；,，Ｃ正确；根据条件概率公式，；发生时必然发生，是不可能事件，，D错误． 所以，选ABC．12.下列不等式中错误的是()A.．B.．C.．D.集合的全部元素之和等于2022解答:,是真命题,则是真命题，A正确.是实数集上的减函数,,进而,B错误．\n ，错误，Ｃ错误．或．，时Ｄ正确；时，Ｄ错误． 所以,选ＢＣＤ．三、填空题：本题共小题，每小题5分，共20分．答案：13．814．15．672人（填673人也算正确）16．13.曲靖一中2023届某班级有56名学生,其中男生32人,按性别进行分层抽样抽组一个志愿服务组,如果服务组有6名女生,则服务组中的男生人数是解答:班级中有男生32人,则有女生人,分层抽样抽取的比例,则抽取的男生人数为,所以志愿服务组中有男生8人.14.函数的值域(用区间表示)是 解答：，,,时,,时,则函数在区间上递减，在区间上递增，．且是；是．所以，函数的值域是15.曲靖一中2023届高二年级春节学期4月份月考中,理科考试学生人数为820人,假设数学成绩,那么全年级数学成绩在80-127.4分之间的理科学生人数大约是人.参考统计数据:,,.解答:.\n,数学成绩在80-127.4分之间的理科学生人数大约是672人.16.函数，，对，都成立，则的取值范围（用区间表示）是 解答：二次函数在区间上递增，反比例函数在上增函数，指数函数在上递增，则函数在上递增，原问题等价于：． 所以，的取值范围是．说明：题目用两个一百年的四个时间节点、今年年号和二次函数、反比例函数、指数函数单调性，以及全称判断、特称判断知识为载体，创编交汇性题目，考查思维素养，不需要任何计算，渗透思想教育．三、解答题:本题共6道小题,满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400 （2021·全国高考文科试题，表述作过改变）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）根据小概率的独立性检验,分析甲机床生产的产品质量与乙机床生产的产品质量是否有差异.0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：，\n 解：⑴甲机床生产的产品中的一级品的频率为； …………………………………2分 乙机床生产的产品中的一级品的频率为. …………………………………………4分⑵作零假设:：甲机床生产的产品质量与乙机床生产的产品质量没有差异., 根据小概率的独立性检验,推断不成立则，可以认为甲机床生产的产品与乙机床生产的产品质量有差异. …………………………………………………………………………………10分18.（本小题满分12分）已知函数． ⑴若不等式的解集是实数集，求的取值范围；⑵若不等式的解集是实数集，求的取值范围；⑶时，求的取值集合． 解：⑴“不等式的解集是实数集”等价于：且，解得． 所以，的取值范围是．…………………………………………………………… ４分⑵“不等式的解集是实数集”等价于:“不等式的解集是实数集”,又等价于：“且”，解得．所以，的取值范围是．…………………………………………………………… ８分⑶时，则．若，则时恒成立，符合要求．所以，的取值集合是\n． …………………………………………………………… 12分19.（本小题满分12分）(选择性必修第三册第5题）语文老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背诵其中的6篇,求:⑴抽到他能背诵的课文的数量的分布列；⑵他能及格的概率,以及抽到他能背诵的课文数的期望.解:⑴设随机抽取的3篇课文中该同学能背诵的篇数为,则,,,.所以,抽到该同学背诵的课文的数量的分布列为:0123………………………………………………… 6分事件与相互独立,则该同学能及格的概率： ………………………………………………9分抽到该同学能背诵的课文数量的期望.……………12分20.（本小题满分12分）曲靖一中2023届高二年级春节学期4月份组织了一次月考,A同学为了探究学生的数学学习情况是否对物理学习情况存在影响,A同学在某班随机抽取10名同学的数学与物理的成绩(表示数学成绩,表示物理成绩)如下:、、、、、、、、、． ⑴计算样本中变量与的相关系数，根据计算结果判断样本中物理成绩与数学成绩的相关情况；⑵建立变量与之间的经验回归方程(精确到小数点后的的两位数），该班Ｂ同学的数学成绩是140分,A同学可以估计Ｂ同学的物理成绩大约是多少?\n⑶用⑴⑵中的结果估计该班、估计全年级学生物理成绩与数学成绩的关联情况是否可靠？为什么？参考公式与数据：相关系数；最小二乘斜率参数估计：,．，，，，，．解：⑴，． ，．比较题目所给参考数据进行估算，取，，则或．，非常接近１，所以物理成绩与数学成绩呈现正相关而且是强线性相关关系．………………………………………………………………………… 6分\n⑵，．所以，变量与之间的经验回归方程：．时，．所以，该班Ｂ同学的数学成绩是140分时，A同学可以估计Ｂ同学的物理成绩约为108分左右．………………………………………………………………………… 10分⑶用此样本估计估计全年级学生物理与数学的关系不可靠，原因是：样本容量太小，并且样本具有随机性，此样本的数据太“集中”，样本的代表性不强．尤其是该样本取自于一个班级，用于估计全年级的情况时，代表性就更差了．………………………………………………… 12分21．（本小题满分12分）已知为坐标原点，点，曲线上动点到点的距离等于动点到定直线的距离的倍．直线:与曲线交于不同的两点，.（1）求曲线的方程；（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程.解答：（1）已知点，设．过点作直线的垂线，垂足为，则点满足，代入坐标得：，化简即得曲线的方程为：． ………………………………………………………………５分（2）由得，.设，，则，，\n∴．又点到直线的距离.所以的面积，当且仅当即时，的面积取最大值,最大值等于1．的面积取最大值时，直线的方程为. ………………………………… 12分22.（本小题满分12分）已知函数．⑴当时，求函数的图象在点处的切线的方程．⑵已知，讨论函数的图象与直线的公共点的个数．解⑴：时，，．，切点为．所以，所求的切线的方程为，即． …………………………５分⑵时，函数的图象就是轴正半轴，与直线有且只有一个公共点．时，联立与消去得．设，则．当时，，在上递增,，,因此有一个零点．\n当时，令得，当时，时，则在上递减，在上递增，．当时，时．设，则，，，时，时，在上递增、在上递减，．所以，时；时，；时，．综上可知，或时，公共点的个数1；时，公共点的个数2；时，公共点的个数0．………………………………………………………………12分
