三峡名校联盟2022年春季联考高2024届数学试卷（满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.答题前,考生务必将自己的姓名、座位号填写在答题卡相应的位置.3.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷:选择题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若复数的共轭复数满足:，则（）A.B.C.D.2.设与分别是两个不同平面和两条不同直线，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则3.在中，，，，则为（）A.B.C.或D.或4.若向量，满足，，则向量，的夹角为（）A.B.C.D.5.已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为，若侧棱长为，则该棱台的侧面积为（）A.B.C.D.6.已知点为所在平面内的一点，且，，则的面积为（）A.B.C.D.7.已知如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，\n，在底面的射影为的中点，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A.B.C.D.8.若中，，其重心满足条件：，则取值范围为（）A.B.C.D.二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9.给出以下四个命题，其中为假命题的是（）A.过空间中任意三点有且仅有一个平面B.若两个平面垂直，过一个平面内任意一点作其交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面C.若一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行D.若一条直线与平面不平行，则此直线与平面相交10.某工厂生产小、中、大三种型号的客车，产品数量之比为，为检验生产车辆是否合格，现打算抽取一个样本进行调查，若样本中的小型号客车有14辆，则下列说法正确的是（）A.此样本量为70B.此样本中，大型车辆比中型车辆多14辆C.此样本中，大型车辆有30辆D.应采用的抽样方法为分层随机抽样11.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列说法中正确的是（）A.若，则一定是等腰三角形B.若,则一定是等边三角形C.若，则一定是等腰三角形D.若，则一定是锐角三角形12.已知正方形的边长是2，点、分别是边，的中点，将该正方形沿对角线折起，得到三棱锥,则在折起的过程中，以下结论正确的是（）A.异面直线与所成的角为定值B.存在某个位置，使得直线与直线垂直C.当平面平面时，三棱锥内切球半径是\nD.三棱锥的体积最大值为第Ⅱ卷:非选择题三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设向量和不平行，若向量与反向共线，则实数=.14.欧拉公式：（是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立起三角函数和指数函数之间的联系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，求的最大值为.15.已知样本，，，平均数为，样本，，，平均数为，且，若样本，，，，，，，的平均数，当，，的大小关系是.16.在三棱锥中，平面,，，，，则四面体的外接球的表面积为.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）已知向量，且与夹角为，（1）求； （2）若，求实数的值．18.（本小题满分12分）在中，内角，，所对边分别为，，，设的面积为，在条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求解下列问题：（1）求的值；（2）若，，求的值.条件①：条件②：\n注：如果选择条件①和条件②分别解答，则按第一个计分19.（本小题满分12分）已知复数，求解下列问题：(1)若复数为纯虚数，求的值；(2)当时，为实系数方程的一个根，求的值。20.（本小题满分12分）已知如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，点，分别是棱，上的点，点是上一动点，.(1)若为线段的中点，证明：平面；(2)若，求的长度.21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，平面，，，(1)求证：；(2)若为的中点.求与平面所成角的正弦值.22.（本小题满分12分）根据某城市的总体规划，计划将图中四边形区域建设成生态公园，其中，，，为公园道路(不计宽度).已知条件：，，，.(1)求道路的长度；(2)如图所示，需建立一个观测站，并使得\n，，求两地的最大距离.三峡名校联盟2022年春季联考高2024届数学答案一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.12345678CBADACCD二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9101112ABDADBCACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.-214.215.n<m<2n16.16四、解答题：本大题共6小题，共70分.17.解：（1）…………………………………1分又∵，与的夹角为，………………………2分…………………………4分………………………………………5分（2）…………………………………………7分……………………………9分\n…………………………………………………………………10分17.解：（1）选择条件①：因为，由正弦定理得，即，在中，，所以，又因为，所以；………………6分选择条件②：由题意得：，即，整理可得，又由可知，联立解得，又因为，所以.……………………………………6分（2）选择条件①：由，解得，又，由余弦定理得：，所以.……12分选择条件②：由（1）知，，又，，解得，再代入中，解得.…………12分19.（本小题满分12分）解：（1）由题意：，满足，\n解得，则………………………………………………6分（2）当时，…………………………………………………………8分为实系数方程的一根…………………………………………………………………11分………………………………………………………………12分19.证明：（1）取的中点，连接，，则且，又又………………6分（2）作交于点，则为的中点\n而，…………12分21.证明：（1）过作，,…………………………6分(2)过作,交于点，连接,过作,交于点.由（1）知，，又且又且即为由，解得由，解得………………………………12分\n22.解：（1）由题意得：，所以是等腰三角形，所以，在中，由余弦定理得：，所以，因为，所以，在中，由余弦定理得：，解得，由于，所以；…………………………6分（2）因为，则，又因为，则，所以，设，所以在中，且，则在中，由正弦定理得：，所以，………………8分所以，因为，所以，所以，…………………10分所以两地的最大距离为.………………………12分
