武汉二中2022届高三五月全仿真模拟考试（一）数学试题考试时间：2022年5月20日下午15:00—17:00考试时长：120分钟本试卷共4页，全卷满分150分。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）A．-3B．-1C．1D．33．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（ ）A．B．C．D．4．已知直线：与圆相交于，两点，若，则非零实数的值为（ ）A．B．C．D．5．设，则（ ）A．B．C．D．6．已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则下列说法正确的是（）A．B．若，则A，B对立C．若A，B独立，则D．若A，B互斥，则7．如图，在等腰△中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（）A．B．C．D．\n8．已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（）A．B．C．D．\n10.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关为了建立茶水温度随时间变化的函数模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据，，，，绘制了如图所示的散点图.小明选择了如下2个函数模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，函数模型一：；函数模型二：，下列说法正确的是（）A．变量与具有负的相关关系B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况C．若选择函数模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点D．当时，通过函数模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为0.111．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，点双曲线C右支上，若，的面积为，则下列选项正确的是（ ）A．若，则S＝B．若，则C．若为锐角三角形，则D．若的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为12．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则（ ）A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为aB．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为C．勒洛四面体的截面面积的最大值为D．勒洛四面体的体积\n三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设随机变量服从正态分布，若，则=______.14．已知等比数列前n项和为,,,则公比q=______.15．陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫作陀罗.陀螺的形状结构如图所示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为，，r，且，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S1和S2，则___________.16．在锐角中，，则角B的范围是______________，的取值范围为______________.\n四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数.（1）求的单调增区间；（2）中，角，，所对的边分别为，，，且锐角，若，，，求的面积.18．已知数列满足，且，，.（1）求实数，使得数列为等差数列；（2）在（1）的条件下，设数列的前项和为，求的取值范围19．如图（1），平面四边形中，，，，将沿边折起如图（2），使，点，分别为，中点．（1）判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求二面角的正弦值．\n\n20．2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中．(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望的取值范围．21．已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，离心率为，且.(1)求椭圆的方程；(2)过点A的直线与椭圆相交于点，与y轴相交于点S，过点S的另一条直线l与椭圆相交于M，N两点，且△ASM的面积是△HSN面积的倍，求直线l的方程.\n22.已知.（1）当时，求证：函数在上单调递增；（2）若只有一个零点，求的取值范围.武汉二中2022届高三五月全仿真模拟考试（一）数学参考答案一、二选择题123456789101112CAACDCCBBDABDACDAD三、填空题13.14.15．16.，四、解答题17.【详解】（1），………………………………………………3分令，，，的单调增区间是，；………………………………………………5分（2），，∵为锐角，∴，…………………………………………………………………………7分由余弦定理得：\n又………………………………………………………………………………8分面积.……………………………………………………………10分18．【答案】（1）（2）（1）若实数满足题意，则必是与无关的常数，而，…………………………………………………………3分∴.∴数列为等差数列时.…………………………………………………………………6分（2）由（1）知数列是等差数列，其首项为2，公差为1，则，∴，…………………………………………………………………8分∵数列的前项和为，∴，………………………………………………10分又递增∴∴…………………………………………12分19．【详解】（1）：，在中，，，，，可得，所以，…………………………………………………………2分又由，且,平面，所以平面，………………4分又因为平面，所以，又由，且,平面，所以平面，又因为，分别为，中点，可得，所以平面．………………6分\n（2）以为原点，射线为轴建立如图直角坐标系，则，，，，可得，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以…………………………………………8分设平面的法向量为，则,取，可得，………………………………10分所以，故二面角的正弦值.……………………12分20．【解析】(1)第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：;……………………………………………………………………………2分第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：，………………………………………………………………4分因为，所以，所以.所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.…………………………………………………6分(2)由已知万元或万元.\n由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.此时，业余队获胜的概率为，专业队获胜的概率为，所以，非平局的概率为，平局的概率为.的分布列为：…………………………………9分的数学期望为（万元）而，所以的取值范围为：（单位：万元）.……………………………12分21．【解析】(1)根据题目列方程解得，，所以椭圆的方程为.……………………………………………………………………4分(2)由已知得，所以，直线AH的方程为，所以，S点的坐标为.当直线l的斜率不存在时，，，或，都与已知不符；…………………………………………………6分当直线的斜率存在时，设直线l的方程为，，，\n由，得，，，……………………………8分，，由△ASM的面积是△HSN面积的可得化简，即，又，所以，，即，也就是，………………………………10分所以，，，，，解得，，所以，直线方程为.………………………………………………12分22.【答案】（1）证明见解析（2）（1）当时，，，，，所以在上单调递增，且，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以，所以在上单调递增；…………………………………4分（2）因为，所以为奇函数，，要证明只有一个零点，只需证明在上无零点，………………………………5分由（1）知：当时，，故，\n令，则时，无零点，符合题意，…………………………………7分当时，，故在上单调递减，则，无零点，符合题意，…………………9分当时，，，，所以在上单调递增，且，，故存在唯一，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，，可得在上单调递减，所以，取，时，令，可得，即，且时，，由零点存在性定理，在上至少存在一个零点，不符合题意，综上所述：的取值范围为.……………………………………………………12分
