云南省 2021-2022学年高一数学下学期期中考试试题（PDF版附答案）

秘密★启用前【考试时间：5月5日8:00—10:00】昆明市第三中学高2024届高一年级下学期期中考数学学科能力测试命题人：熊坚太敬艺注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.21．命题“xRxx,220”的否定是22A．xRxx,220B．xRxx,22022C．xRxx,220D．xRxx,2202．已知ABa+b5，BC28ab，CD33ab则A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线23．已知不等式xx60，则该不等式的解集是A．xx23B．xx23或xC．xx32或xD．xx321214．已知tan，则cossin2=326644A．B．C．D．55555．已知直线lm,和平面,，下列命题正确的是A．ml//，l//m//B．l//，m//，l，m//C．lm//，l，m//高一下学期数学学科期中能力测试·第1页（共6页）\nD．l//，m//，l，m，lmM//3222266．ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若ABC的面积为cab，a，43c2，则A=A．B．C．D.23467．第19届亚洲运动会将于2022年9月10日至2022年9月25日在浙江省杭州市举行，换上智慧脑、聪明肺的黄龙体育中心将承办足球、体操、水球等项目.为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了mgkt先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水污染物数量N与时间t的关系为NNe0L(N为最初污染物数量).如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要0A．3.6小时B．3.8小时C．4小时D．4.2小时8．点P菱形ABCD内部一点，若23PAPBPC0,则菱形ABCD的面积与PBC的面积的比为A．4B．6C．8D．12二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不选的得0分.i9．已知复数z，则以下说法正确的是12iiA．复数z的虚部为52iB．z555C．z5D．在复平面内与z对应的点在第二象限10．在四边形ABCD中，AB//CD，ABAD，ABA22DDC，E为BC边上一点，且BC3EC，F为AE的中点，则111A．BCABADB．AFABAD2332112C．BFABADD．CFABAD3363高一下学期数学学科期中能力测试·第2页（共6页）\n11．在正方体ABCDABCD1111中,M,,NQ分别是棱DC11,A11D,BC的中点，点P在BD1上且2BPBD.则以下四个说法，其中说法正确的是13A．MN//平面APCB．CQ1//平面APCC．A,,PM三点共线D．平面MNQ//平面APC12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，例如2.13,[2.1]2.已知函数f()sinxxxsin，函数gx()fx，则A．函数gx的值域是0,1,2B．函数gx是偶函数C．函数gx的图象关于x对称2D．方程gxx只有一个实数根2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若复数ai1bi为纯虚数，请写出满足条件的一组实数ab,的值_________.（答案不唯一，一组即可）50014．已知圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面半径为4，则该圆柱的表面积3为_________.15．已知长方体ABCDABCD的表面积为66，所有棱长之和为40，则线段AC的长为_________.11111116．已知函数fx()lg2022x，若fflog2022a(1)a0且a1，则a的取2022x值范围为_________.高一下学期数学学科期中能力测试·第3页（共6页）\n四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知平面向量ab2,2，x,1.（1）若a//b，求x的值；（2）若aab2，求a与b的夹角的余弦值.18.（12分）22已知函数fxx23sincoscosxxsin,xxR.（1）求函数fx的最小正周期及对称中心；（2）将函数fx的图象沿x轴向左平移个单位长度得到函数的gx图象，求ygx在区间125,的值域.66高一下学期数学学科期中能力测试·第4页（共6页）\n19.（12分）在正方体ABCDABCD1111中，E是棱BB1的中点．（1）求证：B1D//平面ACE；（2）若F是棱CC1的中点，求证：平面B1DF//平面ACE.20.（12分）设ABC的内角A,,BC的对边分别为a,b,c，设aCcAsincos()．6（1）求A；（2）从三个条件：①ABC的面积为3；②b3；③a3中任选一个作为已知条件，求ABC周长的取值范围．高一下学期数学学科期中能力测试·第5页（共6页）\n21.（12分）昆明捞鱼河湿地公园有两块三角形草坪，准备修建三角形道路(不计道路宽度)，三角形的顶点分别在草坪的三条边上．3（1）第一块草坪的三条边AB80米，AC70米,BC50米,若EFBA,EDAB(如图41)，DEF区域内种植郁金香，求郁金香种植面积；（2）第二块草坪的三条边PQ60米，QR80米,PR100米，M为PQ中点,MNMK(如图2)，MNK区域内种植紫罗兰，求紫罗兰种植面积的最小值．22.（12分）对于函数f1()x，f2()x，hx()，如果存在实数ab,使得hxafxbfx()12()()，那么称hx()为f1()x，f()x的生成函数．2（1）设f14()logxx，f20()logxx.25，a2，b1生成函数hx().2若不等式2()3()hxhxt0在x4,16上有解，求实数t的取值范围；x1（2）设函数gx13()log91，gxx2()1，是否能够生成一个函数hx()，且同时满足：hx(1)是偶函数；hx()在区间2,上的最小值为2log1023，若能够生成，则求函数hx()的解析式，否则说明理由．高一下学期数学学科期中能力测试·第6页（共6页）\n!"★#$%&'()*+5,5-.8:00—10:00/!"#$%&'(2024)(*+,-'..&/0!""#$%&'()*+0123456+1.B2.A3.D4.A5.D6.C7.C8.B7183456+9.CD10.ABC11.BC12.ABD91:;6+<20=>!13．�=1,�=1(满足�=�即可)14．80�15．√3416．[,1)⋃(1,2022]"#""?1@A6+<70=>17．（10分）解：(1)平面向量�=(2,2)，�=(�,−1)，若�//�，则2×(−1)−2�=0，解得�=−1；(2)若�⊥(�−��)，则�⋅(�−��)=��−��⋅�=0，即(2"+2")−2×(2�−2)=0，解得�=3，∴=�⃗=(3,−1)，�⋅�"×*+"×(-!)√1∴�与�的夹角的余弦值为==．|�||�|√"!+"!×0*!+(-!)!118．（12分）解：(1)∵函数�(�)=2√3��������+cos"�−sin"�=√3���2�+���2�2=2���K2�+L，3"22!故�(�)的最小正周期为=�，对称中心为K−+��,0L,���"!""22(2)把函数�(�)=2���K2�+L的图象沿�轴向左平移个单位长度，3!"2得到函数�(�)=2���K2�+L的图象，*2122"22在区间[,]上，2�+∈[,2π]，−2≤2���K2�+L≤√3，33***故函数�(�)的值域为[−2,√3]高一数学学科能力测试·第1页（共4页）\n19．（12分）证明：(1)连结��交��于�，连结��，∵����是正方形，��∩��=�，∴��=��，又∵�是��!中点，∴�!�=��，∴��!//��，又��!⊄平面���，��⊂平面���，∴�!�//平面���．(2)∵�是棱��!的中点，�是棱��!的中点．∴�!�//��且�!�=��，∴�!���是平行四边形，∴�!�//��，又平面���，��⊂平面���，∴�!�//平面���，由(1)�!�//平面���，又��!∩�!�=�!，��!、�!�⊂平面�!��，∴平面�!��//平面���．4920．（12分）解：(1)在△���中，由正弦定理得=，得�����=�����，5678567:22222√*又�����=����(�−)，∴����=���(�−)，即����=cos(�−3)=�������3+�������3="����+33!2����，∴����=√3，又�∈(0,�)，∴�=．"*2!√*(2)选择①因为�=*，�;8<:="��sin�==��=√3，得��=4，由余弦定理得�"=�"+�"−��=(�+�)"−3��=(�+�)"−12，即△���的周长�=�+�+�=d(�+�)"−12+�+�，高一数学学科能力测试·第2页（共4页）\n因为�+�≥2√��=4，当且仅当�=�=2时等号成立，所以�≥√4"−12+4=6．即△���的周长的取值范围是[6,+∞)．2选择②�=√3．因为�=，�=√3，**!由正弦定理得�=，�=√*>?@:√*>?@("2-<)*AB><√*">?@<>?@<=>?@<=">?@<+"**AB><*√**(!+AB><)*√*即△���的周长�=�+�+�=++=+">?@<">?@<"">?@<"3AB>!#*√***√*!=##+=#+，=>?@AB>""DE@"!!!"2<2<因为�∈K0,L，所以∈K0,L，故0<tan<√3，*"*"**√*所以#+>2√3，即△���的周长的取值范围是m2√3,+∞n．"DE@"!2F94选择③�=√3．因为�=，�=√3，由正弦定理得===2，*>?@<>?@:>?@8"2即△���的周长�=�+�+�=2sin�+2sin�+√3=2sin�+2sinK−�L+√3*2=3sin�+√3cos�+√3=2√3sinK�+L+√3，3"22212!2因为�∈K0,L，所以<�+<，<sinK�+L≤1，即△���的周长的取值范围是m2√3,3√3n．*333"3**!"121．（12分）解：(1)∵��=====⃗=��=====⃗，∴��=��=60米，��=��=米，==="<:!+<8!-8:!!在△���中，运用余弦定理可得，����==，∵0<�<�，，"<:·<8""1√*"1√*!*L1√*在△���中，��=��⋅����=×=，∴�△IJK=��·��=""=""*#(2)设∠���=�，则��=，AB>M在△���中，，，*#>?@∠O由正弦定理可得，，可得��=，AB>(∠O-M)!*3#所以�△PQR=��·��=，4"AB>M·AB>(∠O-M)="*因为cos�·cos(∠�−�)=cos�∙[cos∠�cos�+sin∠�sin�]=����+����cos�11*!=*3#=+sin(2�+�)≤∴�⩾$=450，故最小值450平方米．!#"1%高一数学学科能力测试·第3页（共4页）\n22．（12分）解：(1)由题意可得，�!(�)=log=�，�"(�)=���&�，�=2，�=1，$所以ℎ(�)=2�!(�)+�"(�)=2���=�+���&�=���=�，$不等式2ℎ"(�)+3ℎ(�)+�<0在�∈[4,16]上有解，等价于�<−2ℎ"(�)−3ℎ(�)=−2���"�−3����在�∈[4,16]上有解，==令�=log=�，则�∈[1,2]，由�=−2���"�−3����=−2�"−3�在[1,2]上单调递减，==所以当�=1时，�取得最大值−5，故�<−5．(2)设ℎ(�)=����(9S-!+1)+�(�−1)，则ℎ(�+1)=����(9S+1)+��．**由ℎ(−�+1)=ℎ(�+1)，得����(9-S+1)−��=����(9S+1)+��，**T'(+!-S整理得����*(T(+!)=2��，即����*9=2��，即−2��=2��对任意�恒成立，所以�=−�．所以ℎ(�)=����(9S-!+1)−�(�−1)=�[���(9S-!+1)−(�−1)]**S-!S-!T('&+!=�[���*(9+1)−���*3]=�(���**('&)．T('&+!S-!U!+!!设�=，�≥2，令3=�(�≥3)，则�==�+，*('&UU由对勾函数的性质可知�在(0,1)单调递减，(1,+∞)上单调递增，U!+!U!+!!#∴�=在[3,+∞)单调递增，∴�=≥，UU*且当�=3时取到“=”．T('&+!!#∴���*(*('&)≥���**，又ℎ(�)在区间[2,+∞)的最小值为2(log*10−1)，∴�>0，且�=2，此时，�=−2．所以ℎ(�)=2���(9S-!+1)−2�+2．*高一数学学科能力测试·第4页（共4页）