广东省广州市2022届高三数学三模试题（PDF版附解析）

秘密★启用前试卷类型：B2022届广州市高三年级第三次模拟考试数学本试卷共5页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合U{1,2,3,4,5,6},A{2,3,6},B{1,3,4}，则ABUA．3B．5,6C．2,6D．1,32.若复数z满足z1i3i，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限223.设甲：实数a3；乙：方程xyx30ya是圆，则甲是乙的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件ππ4.已知coscos1，则cos2331123A．B．C．D．3233an*5.等比数列an中，a11，且4a1，2a2，a3成等差数列，则(nN)的最小值为n1641A.B.C.1D.25921\n6.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满80元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有5名顾客都领取一件礼品，则他们中恰有3人领取的礼品种类相同的概率是140402040A．B．C．D．24324381817.在正方体ABCDABCD''''中，用空间中与该正方体所有棱所成角都相等的平面去截正方体，在截面边数最多时的所有多边形中，多边形截面的面积为S，周长为l，则A.S为定值，l不为定值B.S不为定值，l为定值C.S与l均为定值D.S与l均不为定值8.对于任意x0都有xln0xaxx，则a的取值范围为11A.[0,e]B.ee,e11C.,ee[e,)D.(,e]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知向量a3,1，b1,2，则下列结论中正确的是A．ab5B．ab5πC．ab,D．a∥b410.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下面四个结论正确的是A．若a2，A30，则△ABC的外接圆半径是4abB．若，则A45cosABsinC．若222abc，则△ABC一定是钝角三角形D．若AB，则cosABcos2\n22y11.已知双曲线x21(b0)的左，右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)，直线b3y(xc)与双曲线左，右两支分别交于AB,两点，M为线段AB的中点，且AB4,3则下列说法正确的是23A.双曲线的离心率为B.FFFMFAFM212223C.FFFM212FFFM121D.FM12FA2xx2,21,12.已知函数fx若关于x的方程fxm恰有两个不同解lnxx1,1e,xxx1,21x2，则x2x1fx2的取值可以是A.3B.1C.0D.2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．xa13.若函数fx2是偶函数，则f1___________.x282814.若xa0ax11ax21ax81，则a3___________.215.已知点P是抛物线yx4上的一个动点，则点P到点0,3的距离与P到y轴的距离之和的最小值为___________.16.将一个半径为5cm的水晶球O放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆PA､PB､PC组成，它们两两成60°角，则水晶球的球心到点P的距离是___________cm.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）22在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且满足abc23bc,1cosCsinsinAB.2（1）求A；（2）若a4，求△ABC的面积S．3\n18.（12分）已知递增等差数列a满足aa10，aa21，数列b满足2logba1，n1524n2nn*nN．（1）求b的前n项和S；nn（2）若Tnbn1bb，求数列T的通项公式．nn12n19.(12分)为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位：mm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产2的零件的内径尺寸服从正态分布N,．（1）假设生产状态正常，记X表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在3,3之外的零件数，求PX2及X的数学期望；（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：①计算这一天平均值与标准差；②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位：mm）：85，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？参考数据：PX2209544．，PX3309974．，104390.99740.9743，09974．099．，09544．087．，002609974．．00254．，200456．0002．，352．59330．．4\n20.（12分）如图甲是由正方形ABCD，等边△ABE和等边△BCF组成的一个平面图形，其中AB6，将其沿AB，BC，AC折起得三棱锥PABC，如图乙.（1）求证：平面PAC平面ABC；（2）过棱AC作平面ACM交棱PB于点M，且三棱锥PACM和BACM的体积比为1:2，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值.21.(12分)223xy已知椭圆C:221(ab0)的右焦点为F(1,0)，且点P1,在椭圆C上，O为坐ab2标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点T0,2的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B，且AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围.22.（12分）x1已知函数fxeaxaaR．（1）讨论fx的单调性；（2）当x0时，fx1lnx11，求实数a的取值范围．5\n2022届广州市高三年级第三次模拟考试数学试题【参考答案及评分标准】评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案CABACDBB二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9.ABC10.BC11.BD12.BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．513.14.5615.116.532四、解答题：本题共6小题，共70分．17.（10分）22（1）解：因为a(bc)(23)bc,222所以bca3bc.………………………1分222bca3bc3则cosA.………………………2分2bc2bc2因为0Aπ，π所以A.………………………3分61cosC（2）解:因为sinAsinB，2则2sinAsinB1cosC1cos(AB).………………………4分所以cosAcosBsinAsinB1.………………………5分得cos(AB)1.………………………6分则AB0.………………………7分π2π所以BA，C.………………………8分631\n因为a4，则ba4.………………………9分1所以SabsinC43.………………………10分218.（12分）（1）解:由题意，设等差数列{}a公差为dd(0)，则n2ad4101，………………………………2分(ada)(3)d2111a9a111解得（舍去），或，………………………………4分d2d2所以an12(n1)2n1.………………………………5分则2log2bnna12n112n2，n1所以b2．………………………………6分n故数列{}b是以1为首项，2为公比的等比数列，nn12n则S21．………………………………7分n12（2）解法1:由（1），可知Tnb(n1)bbb(bb)(bbb)(bbb)…………8分nn1211212312n23nSSSS(21)(21)(21)(21)…………………10分123nn123n22n1(2222)nn22n．………………………………12分12解法2:，①………………………………8分2，②………………………………9分②-①得：.…………12分19.（12分）（1）解:由题意知：0010PX0C10109．9740.99740.9743，………………………………1分191PX1C10109974．0997．404.025，………………………………2分PX21PX0PX11097430.0254．00003．，……………4分2\n∵XB10,00026．，∴EX10000260026．．．………………………………5分97979898105106107108108116（2）解:①104，………6分10222222222227766123441236，…………7分10所以6．………………………………8分②结论：需要进一步调试．2理由如下：如果生产线正常工作，则X服从正态分布N104,6，…………………9分P3X3P86X12209974．，………………………………10分零件内径在86,122之外的概率只有00026．，而8586,122，…………………11分根据3原则，知生产线异常，需要进一步调试．………………………………12分20.（12分）（1）证明：如图，取AC的中点为O，连接BO，PO.∵PAPC，∴POAC.………………………………1分∵PAPC6，APC90，1∴POAC32，同理BO32.又PB6，∴222POOBPB，………2分2∴POOB.………………………………3分∵ACOBO，AC，OB平面ABC，∴PO平面ABC.………………………………4分又PO平面PAC，∴平面PAC平面ABC.………………………………5分（2）解：如图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知，A32,0,0，C32,0,0，B0,32,0，P0,0,32，∴CB32,32,0，CP32,0,32.………………7分∵三棱锥PACM和BACM的体积比为1:2，∴PMBM:1:2，∴M0,2,22，………………8分3\n∴AM32,2,22.设平面PBC的法向量为nxyz,,，32xy320则，………………………………9分32xz320令x1，得n1,1,1.………………………………10分设直线AM与平面PBC所成角为，6242则sincosAMn,.…………………………11分273742∴直线AM与平面PBC所成角的正弦值为.………………………………12分721.(12分)22（1）解：由题意得c1，所以ab1.………………………………1分319因为点P1,在椭圆C上，所以221.………………………………2分2ab422解得ab4,3.………………………………3分22xy所以椭圆C的方程为1．………………………………4分43（2）设直线l方程为ykx2，Axy(,)，Bxy(,)，1122ykx222由xy22得(4k3)x16kx40，………………………………5分143221因为12k30，所以k.………………………………6分416k4又xx，xx.………………………………7分12212243k43k因为AOB为锐角，所以OAOB0，即xxyy0.…………………………8分1212所以xx(kx2)(kx2)0，12122所以(1kxx)2(kxx)40．12122416k所以(1kk)240.224kk3434\n212k1624即0，所以k．………………………………9分243k3142所以k.………………………………10分43231123解得k或k.………………………………12分322322.（12分）x1（1）解:由题知fxeaxa，fx的定义域为R，x1∴fxea．…………………………1分当a0时，fx0在R上恒成立，故fx在R上是增函数；……………………2分当a0时，令fx0得xaln1，……………………3分在,lna1上有fx0，在lna1,上有fx0，∴fx在,lna1上是减函数，在lna1,上是增函数.……………5分x（2）解:当x0时，fx1lnx11，即eaxlnx110（*）．…6分xx1令gxeaxlnx11x0，则gxeax0．x1x1①若a2，由（1）知，当a1时，fxex1在1,上是增函数11故有fxf1e111.……………………7分fxex1x11，得x1x即ex11，故有ex1．xx11x1则ee22，得gxea0.……………………8分xx11x1∴函数gx在区间0,上单调递增，∴gxg00，∴（*）式成立．……9分x1②若a2，令xeax12xx1xe11则xe0，当且仅当x0时等号成立．22xx11∴函数x在区间0,上单调递增．5\na111∵02a0,aea1aa10.………10分1a1a1a∴xa00,，使得x00,则当0xx0时，xx00，即gx0．∴函数gx在区间0,x0上单调递减.∴gx0g00，即（*）式不恒成立．…………………………11分综上所述，实数a的取值范围是2,．…………………………12分6