广东省广州市天河区 2022届高考数学三模试题（PDF版带解析）

2022届高三综合测试数学本试卷共5页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1+i1．复数z=，则z在复平面内对应的点是（）1−iA．(0,1)−B．(0,1)C．(1,1)−D．(1,1)−−x2．已知集合Mxy==x−ln(2)，Nyy==e，则MN=（）A．(0,)+B．(2,)+C．(0,2)D．[2,)+3．函数fx()=sin(2x++)为偶函数的一个充分条件是（）6A．=B．=−C．=D．=−66334．已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上､下底面的圆周均在球面上，若球的体积32为，则圆柱的体积为（）3A．16B．8C．22D．42lnx25．fx()x=−，则函数y=fx()的大致图象为（）xA．B．第1页试卷共5页\nC．D．6．已知点AB、在单位圆上，=AOB，若OCOAxOBx=+R()，则OC的取值4范围是（）12A．[0,)+B．[,)+C．[,)+D．[1,)+2222xy7.已知O为坐标原点，F是椭圆Ca:1(b0)+=的左焦点，AB,分别为椭圆22abC的左、右顶点，P为椭圆C上一点，且PFx⊥轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为（）1123A．B．C．D．3234n8．已知数列a满足aa+−(1)=3，a=1，a=2，数列a的前n项和为S，nnn+212nn则S=（）30A．351B．353C．531D．533二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．如果abcd0,0，那么下面一定成立的是（）22dcA．ad++bcB．acbdC．acbcD．aan10．已知(2)ab+的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（）A．7B．8C．9D．102211．圆Mx:+y+2x−4y+=30关于直线2axby++=60对称，设点Pab(,)，下列结论正确的是（）第2页试卷共5页\nA．点P的轨迹方程为xy−−=30B．以PM为直径的圆过定点Q(2,1)−C．PM的最小值为6D．若直线PA与圆M切于点A，则PA412．已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面圆直径为23，ABC,,为底面圆周上的三个不同的动点，M为母线PC上一点，则下列说法正确的是（）A.当AB,为底面圆直径的两个端点时，=APB120B.△PAB面积的最大值为362+C.当△PAB面积最大值时，三棱锥CPAB−的体积最大值为3D.当AB为直径且C为AB的中点时，MAMB+的最小值为15三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。x−113．当xa时，0成立,则实数a的取值范围是________.x14.为了做好疫情防控期间的校园消毒工作，某学校对教室进行消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：小时）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函1xa−数关系式为y=()（a为常数），根据测定，当空气中每立方米的含321药量降低到毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，4至少需要经过________小时后，学生才能回到教室.21915．已知随机变量~(1,N)，且Pa(1)=P(−3)，则+(0)xa的xax−最小值为________.32216．设函数fx()x2ax=−（a0）与gx()=+alnxb有公共点，且在公共点的切线2方程相同，则实数b的最大值为________.第3页试卷共5页\n四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调查了600名学生，得到的数据统计如下表所示：周末体育锻炼时间t(min)30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)频率0.10.20.30.150.150.1（1）估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数t；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）在这600人中，用分层抽样的方法，从周末体育锻炼时间在[40,60)内的学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在[50,60)内的人数为X，求X的分布列以及数学期望EX()．18.(12分)an+1,为奇数，n已知等差数列a中，aa==3,6，且b=n36na2,nn为偶数.(1)求数列b的前2n项和R；n2n(2)若cbb=，记数列c的前n项和为S，求S．nnn212−nnn19.(12分)在ABC中，角ABC,,的对边分别为abc,,，且23S=−BABC，作ABAD⊥，使得四边形ABCD满足=ACD，AD=3，3（1）求B；（2）设=BAC，BC=f()，求函数f()的值域．第4页试卷共5页\n20.(12分)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，ADAF==2AB=22，MN,分别是对角线BDAE,上异于端点的动点，且BMAN=.（1）求证：直线MN//平面CDE；（2）当MN的长最小时，求二面角AMN−−D的正弦值．21.(12分)已知在ABC中，B(2,0)−，C(2,0)，动点A满足AB=23，BAC90，AC的垂直平分线交直线AB于点P.（1）求点P的轨迹E的方程；（2）直线xmm=(3)交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线3l与曲线E交于MN,两点，与直线x=交于点K，记QMQNQK,,的斜率分别为mkkk,,，123kk+12①求证：是定值.k3②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使k+k+k=6？若存在，求出所有满123足条件的m的值，若不存在，请说明理由．22.(12分)aa2已知函数fx()=xlnx+x−存在两个极值点xx,()xx.121222（1）求实数a的取值范围；xx12（2）判断f()的符号，并说明理由．2第5页试卷共5页\n2022届高三综合测试数学参考答案一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案BBCDACABn8.解：依题意，aa+−(1)=3，nn+2显然，当n为奇数时有aa−=3，nn+2即有aa−=3，aa−=3，…aa−=3，315321nn2+−1令ba=，故bb−=3，nn21−nn+1所以数列{}b是首项为1，公差为3的等差数列，n故bn=−32；n当n为偶数时有aa+=3，nn+2即aa+=3，aa+=3，…aa+=3，426422nn2+于是，S=(a+a++a)(+a+a++a)3013292430=+(b)[+b+b+(a+)a(+)]a+a+a+12152462830143+=++=1527333023353+=，故选B．2二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.BD10.ABC11.ABD12.ACDAO312解答：对于A，记圆锥底面圆心为O，sinAPO==，所以=APO60，所AP2以=APB120，故A正确；对于B，设=APB（0120），则截面三角形的面积1\n1SPAPB==sin2sin2，故B不正确；2对于C，由（B）中推理可知，此时AB=22，结合图形可知点C到AB的距离的最大值为31+，从而可知三棱锥CPAB−的体积最大值为1162++(31)22=1，故C选项正确；323对于D，易知△PAC和△PBC全等，在△PAC中，PAPC==2，AC=6，446+−115所以cosAPC==，进而sin=APC，222441515记AC边上的高为h（垂足为Q），则hPA=APC=sin=2，42所以MAMB+=h215，当M与Q重合时取等号，故D选项正确；综上可知，选ACD．三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.113.a114.0.615.416.22e2a16.解：设公共点为(,xy)，又fx'()x3a=−2，gx'()=；00x2a依题意有fx'()gx'()=，得32xax−a==；0000x0322又yfx==gx()()，由此可得bx=ax−−ax2ln，0000002122即有b=−a−alna，2122令hx()xlnx=−x−，求导得hx'()x2(1ln)x=−+，211显然，当x0,时hx'()0，当x+,时hx'()0，ee11所以hx()==h.max2ee22\n四．解答题：本题共6小题，共20分.17.（10分）解：（1）估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数t=350.1450.2550.3650.15750.15850.158.5+++++=.(2)依题意，15人中周末体育锻炼时间在40,50)内的学生有6人，在50,60)内的学生有9人。X的可能取值为0,1,2,3321C4CC27669则PX(==0=)，PX(==1=)，33C91C911515123CC216C12699PX(==2=)，PX(==3=)，33C455C651515故X的分布列为X012342721612P919145565427216129则EX()=012+3++=.919145565518.（12分）aa−a的公差为d，则63(1)设等差数列nd==1，63−nn+1,,为奇数所以anandn3(3)，从而bn=n.2,n为偶数242nR2nnn=b1+b2+b3b2++1b2n−+=(24+++2222)+(+++)nnn+(22)4−(14)24n=+=nn++(4−1)214−32nn(2)∵cnbnbn=n=n2−=122224，123n∴Snn=24+44+64++24，234nn+14Sn=24+44+64++2(n−14)+2n4，3\n1231nn+相减得，−3=Sn24n+24+24++2424−，n814(−)1128nn++所以−3S=−2n4=−2n4−，n14−33228n+1即Snn=−+4.39919.（12分）解：（1）由23SBABC=−，1可得2sin=−3accosBacB，2即sin3cosBB=−，可得tan3B=−，2因为B(0,)，所以B=，3（2）=BAC，则CAD=−=+CDA,，26ACAD在△ACD中，由正弦定理得=，sinsinADCACD3sin(+)ADADCsin6可得AC===+2sin()，sin6ACDsin3ACBC在ABC中，由正弦定理得=，sinBsin2sin()sin+ACsin46可得BCf===()=+sin()sinsin6B23sin34314312=+=+(sincos)sin(sinsincos)332222111cos22−=+=+(23sin2sincos)(23sin2)332123=(sin2−3cos2)1+=sin(2−)1+，333π因为0θ，可得−−2，333323当2−=时，即=，可得sin+=12，333334\n23当2−=−时，即=0，可得sin()10−+=，3333所以f()的值域为(0,2).20.（12分）解：(1)过N作NNAD//与ED交于N点，过M作MMAD//与CD交于M点，连接MN.由已知条件ADAF==2AB=22,可知矩形ABCD与矩形ADEF全等。BM=AN,AEBD=,NN//AD//MMNNAE−−ANBDBMMMMM====ADANBDBCAD''=NNMM又NN//AD//MM，则四边形MNNM为平行四边形，所以MNNM//.∵MN平面CDE，MN平面CDE，∴MN//平面CDE.(2)由平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD平面ADEFAD=，又AF平面ADEF，AFAD⊥，⊥AF平面ABCD.以A为原点，分别以ABADAF,,为xyz,,轴建立空间直角坐标系，过M点作MG⊥AD，垂足为G，连接NG，易知NGAD⊥，设AGa=(02a)2−aa可得Ma,,0，N0,,a，222222(−1)−a1+aa∴MN=+=，2222可知当a=1时，MN长最小值为.211此时M,1,0，N0,1,，又A(0,0,0)，D(0,2,0)，221111∴AM=,1,0，MN=−,0,，DM=−−,1,02222设平面AMN的法向量为m=(xyz1,,11)，5\n1xy+=0mAM=0211由可得，令x1=2，可得m=−(2,1,2)mMN=0−+11=xz01122设平面MND的法向量为nxyz=(22,,2)，1xy−=0nDM=0222由可得，令x2=2，可得n=(2,1,2)nMN=0−+11=xz02222mn7∴cosmn,==，mn92742=sin−=,1mn9942则二面角AMN−−D的正弦值为.921.（12分）解：（1）BAC90，AC的垂直平分线交BA的延长线于点P.连接PC,则PC=PA，−PB=−PC==PBPAABBC23，由双曲线的定义知，点P的轨迹E是以B(2,0)−，C(2,0)为焦点，实轴长为23的双曲线的右支（右顶点除外），22ca=b=c2,=a3,−=1则，2x2E的方程是−yx=1(3).3（2）①证明：由已知得Dm(,0)，2m2Qmy(,),满足−=y1，003设直线l方程为x=+tym,Mxy(,),Nxy(,)，11226\nxtym=+222联立x2，得(t3)ymtym2−3+0+−=，2−=y13223mtm−yyyy+=−=,,121222tt−−33yy−−yyy11y101000k===−，同理k=−，12xm−tyttytty11122y112yyy+2y−2mt1my001200kk+=−(+)=−=−=2(+)1222ttyyttyyttm−−33tm12122233−m33−m对xtym=+,令x=，得y=,K(,)，kmtmmtm2m−3y+0tmmy10k==+，323mt−3m−mkk+12+kk=k2，=2是定值.123k3②假设存在m的值，使kkk++=6123由①知，kkk+=2，则kkk+k+k===36,212312333直线QK的方程为y−y=2(xm−)，033令x=，得ymy=−2(+)；K0mm直线l的斜率为1，直线l的方程为xym=+,33令x=，得ym=−；Kmm333−+2(=),−m=ym−ym，00mmm22m2m32代入−=y1，得−(m−)=1，033m42整理得，2mm−15+27=0，7\n292解得m=，或m=3（m3，舍去）23232=m，存在m的值为，使k1k2k+3+=6.2222.（12分）解：（1）aa2fx()xlnx=x(+x0)−有两个极值点，22fx()1lnxaxx,0有两个变号的零点.1ln+x+1ln+=0xax−=a，x，1ln+x−lnxhx()x(=0)hx()=令x，x2，当x(0,1),()hx0,()hx单调递增;当x(1,+),()0,()hxhx单调递减;所以hx()h(1)1==.max+当xhx→→−0,(),当x→+,()hx→0.ya=−与hx()有两个交点，−01a.1ln+x当01−a时，当0xxxx或时，−afx,()0；12x1ln+x当xxx时，−a,fx()0.12x所以fx()在区间(0,),(,xx)+单调递减，在区间(,xx)内单调递增.1212所以fx()的极小值点为x，极大值点为x.12所以a的取值范围为(1,0)−xx+12（2）f()符号为正.2理由如下：由（1）可知，01xx.128\n1ln0xax11又因为1ln0xax22，lnlnxx()axx21211xxxx2112axxlnln221.现证明上式：x2(x−x)221上式可变形为ln,0xx12xx+x121x22(t1)−令t=，则只需证ln(tt1)．xt+1122(t1)−(t1)−设()tttln=(−1)，()t0=2，t+1tt(1)+所以()t在(1+)，上单调递增，2(t1)−从而()t(1)=0，即ln(tt1)，t+11xx+12−.a21又因为01−a−1，所以a1xx+12综上可得：xx−1.12a2fx()在区间(,xx)内单调递增，且f(1)0=，12xx+12所以ff()(1)0=.2xx+12故f()符号为正.29