山东省名校联盟优质名校2022届高三数学5月（联考）模拟考试（PDF版附答案）

保密!启用前;(现安排编号分别为'#!#)##的四位抗疫志愿者去做三项不同的工作#若每项工作都需安排志愿者#每位志愿者恰好安排一项工作#且编号为相邻整数的志愿者不能被安排做同一项工作#则不同的安排方法数为名校联盟山东省优质校!$!!届高三毕业班%月模拟考3();*(!#4('+5('!!)'2'!!'+8!已知'"!#++)'.#'2''$,,+函数)!#",#.)-#2'在区间!#"''数学试题!槡)"!槡)"!$!!&%上不单调#则+是,的注意事项!3(充分不必要条件*(必要不充分条件'(本试卷共#页#!!小题#满分'%$分#考试用时'!$分钟(4(充要条件5(既不充分也不必要条件!(答卷前#考生务必将自己的学校#班级和姓名填在答题卡上#正确粘贴条形码(+!已知过点!'#槡)"的动直线-与圆.+#!2$!,';交于/#0两点#过/#0分别作)(作答选择题时#用!*铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑(.的切线#两切线交于点%!若动点"!90:##:6<#"!$'#=!!"#则-"%-的最小值为#(非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上#不准使用铅3(;*(84(+5(>笔和涂改液(二"多项选择题!本题共#小题#每小题%分#共!$分$在每小题给出的四个选项中#%(考试结束后#考生上交答题卡(有多项符合题目要求$全部选对的得%分#部分选对的得!分#有选错的得$分$>!中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成#这些五角星的位置关系象征着中一"单项选择题!本题共+小题#每小题%分#共#$分$在每小题给出的四个选项中#国共产党领导下的革命与人民大团结!如图#五角星是由五个只有一项是符合题目要求的$'!设集合",$#"!-$,槡!.-#-%#%,$$-$,/01!!#2)"##""%#则"#%,全等且顶角为);1的等腰三角形和一个正五边形组成!已知当3(&.!#/01!%'*(&.!#!'4(&$#/01!%'5(&$#!'/0,!时#0*,槡%.'#则下列结论正确的为!!已知复数&满足!'.!6"&,#.)6!6为虚数单位"#则&的共轭复数&,)()()()(3(-*2-,-*3-*(/4-05,$3(!.6*(!264(.!.65(.!264()/(3,槡%2')/(05().(02).(*,)5(..)5(3)!已知'#(是两条不同的直线#!#"是两个不同的平面#则下列结论正确的为!3(若'$(#(%!#则'$!*(若'$!#(%!#则'$(!'$!已知无穷数列$6(%满足+当(为奇数时#6(,!(2',当(为偶数时#6(,(#则4(若!&"#'%!#(%"#则'&(5(若!$"#'&!#($"#则'&(下列结论正确的为#((学习强国)377是以深入学习*宣传习近平新时代中国特色社会主义思想#立足全体党员#面向全社会的优质学习平台(为了解甲*乙两人的平台学习情况#统计3(!$!'和!$!)均为数列$6!(.'%中的项了他们最近8天的学习积分#制成如图所示的茎叶图#若中间一列的数字表示积分*(数列$6!(.'%为等差数列的十位数#两边的数字表示积分的个位数#则在这8天4(仅有有限个整数7使得6!7?6)7成立(2'中#下列结论正确的为#5(记数列$6!(%的前(项和为8(#则8(=).'恒成立3(甲*乙两人积分的极差相等!*(甲*乙两人积分的平均数不相等''!在平面直角坐标系#9$中#过点"!!#$"的直线-与抛物线.+$,!+#!+?$"交4(甲*乙两人积分的中位数相等于/#0两点#点%!#$#$$"!$$*$"为线段/0的中点#且-0%-,-9%-#则下列结5(甲积分的方差大于乙积分的方差论正确的为%!若函数)!#",-90:!#-在区间*上单调递减#则*可以为3(%为+/90的外心*("可以为.的焦点!!!)!!'3(&.##$'*(&$#!'4(&!##'5(&!#!'4(-的斜率为5(#$可以小于!$$数学试题第'页!共#页"数学试题第"!页!共#页"\n'!(著名的伯努利!*@A<0B//6"不等式为+!'2#'"!'2#!".!'2#(",'2#'2#!2.'>!!'!分"2##其中实数####.##同号#且均大于.'!特别地#当(""-#且#?.某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动#凡在该书店购书达到规定金额的小('!('时#有!'2#"(,'2(#!已知伯努利不等式还可以推广为+设##:"!#若:,'#朋友可参加双人7F赢取(购书!)的游戏!游戏规则为+游戏共三局#每局游戏开始且"#?.'#则!'2#":,'2:#!设6#;为实数#则下列结论正确的为前#在不透明的箱中装有%个号码分别为'#!#)###%的小球!小球除号码不同之外#其余完全相同"!每局由甲*乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球!摸球者;';3(任意6"!$#2C"#且任意;"&'#2C"#都有!'26"2!'2",!!;2'"6无法摸出小球号码"!若双方摸出的两球号码之差为奇数#则甲被扣除!个积分#乙增;加!个积分,若号码之差为偶数#则甲增加(!(""-"个积分#乙被扣除(个积分!7F*(任意;"!'#2C"#存在6"!$#2C"#使得62;=6;2'4(任意6"!$#''#且任意;"!.'#2C"#都有!'2;"6'6;2'游戏开始时#甲*乙的初始积分均为零#7F游戏结束后#若双方的积分不等#则积分-;;'较大的一方视为获胜方#将获得(购书!)奖励,若双方的积分相等#则均不能获得5(任意;"&'#2C"#存在6""#且6';#使得!"'66.;2'奖励!三"填空题!本大题共#小题#每小题%分#共!$分$!'"设7F游戏结束后#甲的积分为随机变量$#求$的分布列,')!请写出一个定义在!上的函数#其图象关于$轴对称#无最小值#且最大值为!!!!"以!'"中的随机变量$的数学期望为决策依据#当游戏规则对甲获得(购书其解析式可以为)!#",!!)奖励更为有利时#记正整数(的最小值为($!#!$!!""求($的值#并说明理由,'#!在平面直角坐标系#9$中#4为双曲线.+.,'的一个焦点#过4的直线-!!6;!#"当(,($时#求在甲至少有一局被扣除积分的情况下#甲仍获得(购书!)与.的一条渐近线垂直!若-与.有且仅有一个交点#则.的离心率为!奖励的概率!''%!已知:6<!290:!,#则DE<!,!90:!!$!!'!分"';!已知等边+/0.的边长为!#将其绕着0.边旋转角度##使点/旋转到/<位置!记)如图#平面/0.*&平面/02#点2为半圆弧/0上异于/#0的四面体/</0.的内切球半径和外接球半径依次为:#=#当四面体/</0.的表面积点#在矩形/0.*中#/0,槡!0.#设平面/02与平面.*2的交线为-!:最大时#/</,#,!!'"证明+-$平面/0.*,=)!注+本题第一空!分#第二空)分!"!!"当-与半圆弧/0相切时#求二面角/.*2..的余弦值!四"解答题!本大题共;小题#共8$分$解答应写出文字说明#证明过程或演算步骤$'8!!'$分"!'!!'!分"已知数列$6%的首项6,)#其前(项和为8#且对任意的(""-#点!8#6"在平面直角坐标系#9$中#已知点/!.'#$"#0!'#$"#设+/0.的内切圆与/.('(((2'均在直线$,+#2)上!相切于点*#且-.*-,'#记动点.的轨迹为曲线>!!'"求$6(%的通项公式,!'"求>的方程,!!"设;(,/016)#求数列$;;%的前(项和>!!!"设过点=!'#'"的直线-与>交于"#%两点#已知动点@满足)@(",%)"(=#(((2'(')!)()(且@%,%!%=#若%'2%!,$#且动点A在>上#求-@A-的最小值!'+!!'!分";90:.2槡)?:6<0设+/0.的内角/#0#.的对边分别为6#;#?#且,'!!!!!'!分"62?6#!'"求角0的大小,已知函数)!#",/<!#2'".#2'!6"!"!/2槡'>!'"若)!#"在区间!$#2C"上单调递增#求6的取值范围,!!"设*#2分别为边/0#0.的中点#已知+0.*的周长为)2槡)#且,#.*!-''''!!"证明+.(""#!'."!'.".!'."=!(若?=%6#求6!!槡(!!(!!#(!B槡2'槡.'数学试题第)页!共#页"数学试题第"#页!共#页"\n名校联盟山东省优质校2022届高三毕业班5月模拟考数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：题号12345678答案DADBCCAB二、多项选择题：题号9101112答案ABBDACACD12.著名的伯努利（Bernoulli）不等式为：(1x1)(1x2)(1xn)1x1x2xn，x，x，...，x同号，且均大于1.特别地，当*其中实数12nnN，且x1时，有n(1x)1nx.已知伯努利不等式还可以推广为：设x，rR，若r1，且x1，r则(1x)1rx.设a，b为实数，则下列结论正确的为b1bA．任意a(0,)，且任意b[1,)，都有(1a)(1)2(b1)abB．任意b(1,)，存在a(0,)，使得abab1aC．任意a(0,1]，且任意b(1,)，都有(1b)ab1*bb1D．任意b[1,)，存在aN，且ab，使得()aab1b1bb解析：（1）考查选项A：若b1，则(1a)1ab，且(1)1，aab1b11∴(1a)(1)2(a)b，又a0，由基本不等式可知a2，aaab1b∴(1a)(1)2(b1)，故选项A正确；abb（2）考查选项B：∵a0，∴a11，又b1，∴a(1a1)1b(a1)，b∴abab1恒成立，故选项B错误；1（3）考查选项C：∵0a1，且b1，∴1，且ab1，a111a∴(1ab)a1ab1b，即01b(1ab)a，∴(1b)ab1，故选项C正确；a*bb1（4）考查选项D：①若bN，则当ab时，不等式()显然成立，aab1参考答案与评分细则第1页（共10页）\n*ababb②若bN，∵b1，∴()[1()]1ab，bbabbb1∴当a(b1,b)时，()1ab0，∴()，baab1bb1记[b]为不超过b的最大整数，易知[b](b1,b)，∴当a[b]时，()成立，aab1*bb1∴任意b[1,)，存在aN，且ab，使得()，故选项D正确；aab1综上所述，应选ACD.三、填空题：2413.2x或（2x，2|x|等）；14.2；15.0或1；16.22；23.16.已知等边△ABC的边长为2，将其绕着BC边旋转角度，使点A旋转到A位置.记四面体AABC的内切球半径和外接球半径依次为r，R，当四面体AABC的表面积最大r时，AA，.（注：本题第一空2分，第二空3分.）Rπ解析：显然当ABA时，四面体AABC的表面积最大，此时AA22，故应填22；2当四面体AABC的表面积最大时（易知四面体AABC的表面积最大值为423），1设AA的中点为O，易知OBOCAA，∴OBOCOAOA2，2即O为四面体AABC的外接球球心，∴四面体AABC的外接球半径R2，222π∵OBOC2，且BC2，∴BCOBOC，∴BOC，2122易知OC平面AAB，∴不难求得四面体AABC的体积为VSAABOC，331423222又V(423)r，∴r，解得r，33323r1∴23，故应填23.R23三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）a的首项a3，其前n项和为S，且对任意的*(S,a)已知数列n1nnN，点nn1均在直线y8x3上.(1)求an的通项公式；(2)设bnlogan3，求数列{bnbn1}的前n项和Tn.参考答案与评分细则第2页（共10页）\n*解：(1)（法一）∵对任意的nN，点(Sn,an1)均在直线y8x3上，∴an18Sn3，………………………………………………………………………………1分∴当n2时，an8Sn13，………………………………………………………………2分∴an1an8(SnSn1)8an，即an19an(n2)，……………………………………3分又∵S1a13，∴a28S1327，∴a29a1，………………………………………4分*∴an19an(nN)，∴数列an是以3为首项，9为公比的等比数列，……………5分n12n1∴a393.………………………………………………………………………6分n*（法二）∵对任意的nN，点(Sn,an1)均在直线y8x3上，∴an18Sn3，………………………………………………………………………………1分∴Sn1Sn8Sn3，即Sn19Sn3，…………………………………………………2分333327∴S9(S)，又Sa，n1n1188888327∴数列{S}是以为首项，9为公比的等比数列，…………………………………3分n882n12n1327n1333∴S9，∴S，…………………………………………4分nn88882n12n133332n1∴当n2时，aSS3，………………………………5分nnn1882n1*又a13，亦满足上式，∴an3(nN).……………………………………………6分11(2)bnloga3，………………………………………………………7分nloga2n13n1111∴bnbn1()，…………………………………………9分(2n1)(2n1)22n12n1111111n∴Tbbbbbb[(1)()()]，n1223nn123352n12n12n1n即T.………………………………………………………………………10分n2n118．（12分）bcosC3csinB设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1．ac(1)求角B的大小；AE19(2)设D，E分别为边AB，BC的中点，已知△BCD的周长为33，且，CD2若c5a，求a.参考答案与评分细则第3页（共10页）\n解：(1)由正弦定理，得sinBcosC3sinCsinBsinAsinC，……………………1分∵A，B，C为△ABC的内角，∴ABCπ，∴sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，∴3sinCsinBsinCcosBsinC，………………………………………………………3分∵B(0,π)，C(0,π)，∴sinC0，3sinBcosB1，…………………………4分π1∴sin(B)，……………………………………………………………………………5分62ππ5ππππ易知B(,)，∴B，即B=.…………………………………………6分666663(2)设BEm，BDn，则a2m，c2n，在△ABE中，由余弦定理，22222得AEBEBA2BEBAcosBm4n2mn，…………………………………7分22222在△BCD中，同理有CDBCBD2BCBDcosB4mn2mn，…………8分222AE19AE19m4n2mn19∵，∴，即=，…………………………………9分222CD2CD44mn2mn422整理得n10mn24m=0，解得n=4m，或n=6m，22∵c5a，即2n10m，∴n=4m，且CD4mn2mn23m，……………11分∵△BCD的周长为33，∴2mn23m(623)m33，1∴m，∴a2m1.…………………………………………………………………12分219．（12分）某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动，凡在该书店购书达到规定金额的小朋友可参加双人PK赢取“购书劵”的游戏.游戏规则为：游戏共三局，每局游戏开始前，在不透明的箱中装有5个号码分别为1，2，3，4，5的小球（小球除号码不同之外，其余完全相同）.每局由甲、乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球（摸球者无法摸出小球号码）.若双方摸出的两球号码之差为奇数，则甲被扣除2个积分，乙增加2个积分；若号码之差为*偶数，则甲增加n(nN)个积分，乙被扣除n个积分.PK游戏开始时，甲、乙的初始积分均为零，PK游戏结束后，若双方的积分不等，则积分较大的一方视为获胜方，将获得“购书劵”奖励；若双方的积分相等，则均不能获得奖励.(1)设PK游戏结束后，甲的积分为随机变量，求的分布列；(2)以(1)中的随机变量的数学期望为决策依据，当游戏规则对甲获得“购书劵”奖参考答案与评分细则第4页（共10页）\n励更为有利时，记正整数n的最小值为n.0(i)求n的值，并说明理由；0(ii)当nn时，求在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书劵”奖励的0概率.解：(1)记“一局游戏后甲被扣除2个积分”为事件A，“一局游戏后乙被扣除n个积分”为32事件B，由题可知P(A)，P(B)，…………………………………………………2分55当三局均为甲被扣除2个积分时，6，当两局为甲被扣除2个积分，一局为乙被扣除n个积分时，n4，当一局为甲被扣除2个积分，两局为乙被扣除n个积分时，2n2，当三局均为乙被扣除n个积分时，3n，3327232254∴P(6)()，P(n4)C()，3512555125132236238P(2n2)C()，P(3n)()，3551255125∴的分布列为6n42n23n2754368P125125125125………………………6分27543686n18(2)(i)由(1)易知E()(6)+(n4)+(2n2)3n，1251251251255显然甲、乙双方的积分之和恒为零，6n18当游戏规则对甲获得“购书劵”奖励更为有利时，则需E()0，…………8分5∴n3，即正整数n的最小值n4.……………………………………………………9分0(ii)当n4时，记“甲至少有一局被扣除积分”为事件C，23117则P(C)1()，………………………………………………………………10分5125由题设可知，若甲获得“购书劵”奖励，则甲被扣除积分的局数至多为1，记“甲获得“购书劵”奖励”为事件D，易知事件CD为“甲恰好有一局被扣除积分”，132236∴P(CD)C()，……………………………………………………………11分355125参考答案与评分细则第5页（共10页）\n36P(CD)1254∴P(DC)，即在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书P(C)117131254劵”奖励的概率为.……………………………………………………………………12分1320．（12分）如图，平面ABCD平面ABE，点E为半圆弧AB上异于A，B的点，在矩形ABCD中，AB2BC，设平面ABE与平面CDE的交线为l.(1)证明：l∥平面ABCD；(2)当l与半圆弧AB相切时，求二面角ADEC的余弦值.解：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，………1分∵AB平面ABE，CD平面ABE，∴CD∥平面ABE，………………………………………………2分(第20题图)又CD平面CDE，平面ABE平面CDEl，………………3分∴l∥CD，………………………………………………………………………………………4分∵CD平面ABCD，l平面ABCD，∴l∥平面ABCD.………………………………5分(2)（法一）取AB，CD的中点分别为O，F，连接OE，OF，则OFAB，∵平面ABCD平面ABE，且交线为AB，∴OF平面ABE，又OE平面ABE，OFOE，当l与半圆弧AB相切时，OEl，即OEAB，…………………………………………7分以OE，OB，OF所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC2，易得A(0,1,0)，C(0,1,2)，D(0,1,2)，E(1,0,0)，则DE(1,1,2)，AD(0,0,2)，DC(0,2,0)，……………………………………8分设m(x,y,z)为平面DAE的一个法向量，111ADm0，2z0，1则即DEm0，xy2z0，111z0，1∴令x1=1，则m(1,1,0)，…………………9分xy，11DCn0，设n(x2,y2,z2)为平面DCE的一个法向量，则DEn0，参考答案与评分细则第6页（共10页）\n2y0，y0，22即∴令z2=1，则n(2,0,1)，…………………10分xy2z0，x2z，22222mn23∴cosm,n，………………………………………………11分|m||n|233易知二面角ADEC的平面角大小即为m,n，3∴二面角ADEC的余弦值为.……………………………………………………12分3（法二）当l与半圆弧AB相切时，AEEB，AEEB，∴AB2AE，…………6分∵平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，且DAAB，DA平面ABCD，∴DA平面ABE，又AE平面ABE，∴DAAE，同理，CBBE，……………………………………………7分不妨设BC2，则BEAEAD2，ABDC2，∴由勾股定理得DECE2，……………………………8分取DE的中点F，连接AF，FC，AC，则DEAF，DECF，∴AFC是二面角ADEC的平面角，…………………………………………………9分1322易知AFDE1，CFDE3，且ACABBC6，……………10分222221(3)(6)3∴在△AFC中，有cosAFC，…………………………11分21333∴二面角ADEC的余弦值为.……………………………………………………12分321．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,0)，B(1,0)，设△ABC的内切圆与AC相切于点D，且|CD|1，记动点C的轨迹为曲线T.(1)求T的方程；11(2)设过点R(,)的直线l与T交于M，N两点，已知动点P满足PMMR，且132PN2NR，若120，且动点Q在T上，求|PQ|的最小值.解：(1)不妨设△ABC的内切圆与BC，BA分别相切于点E，F，由切线长相等可知，|CD||CE|1，|AD||AF|，|BE||BF|，……………………1分∴|AD||BE||AF||BF|2，参考答案与评分细则第7页（共10页）\n∴|CA||CB||CD||AD||CE||BE|4|AB|，…………………………………2分∴动点C的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（且C不在直线AB上），22xy设动点C的轨迹方程为：1(y0)，22ab222易知a2，且ab1，解得b3，22xy∴T的方程为：1(y0).………………………………………………………4分43(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，P(x0,y0)，11∵PM1MR，∴(x1x0,y1y0)1(x1,y1)，32若11，则21，PMMR，即P与R重合，与PNNR矛盾，∴11，11111x01y01x01y0∴x3，y12，∴M(3,2)，…………………………6分11111111122xy222代入1，化简得321(6x012y072)19x012y0360，…………7分43222同理可得，32(6x12y72)9x12y360，…………………………8分200200222∴1，2为方程32x(6x012y072)x9x012y0360的两根，∵120，∴6x012y0720，即x02y0120，即动点P在定直线l1:x2y120上，…………………………………………………9分显然直线l1与T没有交点，令直线l2:x2ym0(m0)，当l2与T相切时，记l1，l2的距离为d，则|PQ|d，x2ym0,联立22可得22xy4x2mxm120，1,4322由(2m)16(m12)0，解得m4，又m0，∴m4，………………10分33此时，解得x1，y，即切点为(1,)，22|124|8585且直线l1,l2的距离为d，∴|PQ|，145531347当Q点坐标为(1,)，且PQl1时，经计算，得P(,)，251085此时，|PQ|=，且不难知道直线PR即直线l不过点(2,0)和(2,0)，符合题设条件，5参考答案与评分细则第8页（共10页）\n85∴|PQ|的最小值为.…………………………………………………………………12分5（注：本题未说明点P，Q的存在性及未论证直线l不过点(2,0)和(2,0)总共扣1分.）22．（12分）ax已知函数f(x)ln(x1)(aR).x1(1)若f(x)在区间(0,)上单调递增，求a的取值范围；1111(2)证明：nN*，(1)(1)(1)<.222212421ennnn1ax(a1)解：(1)f(x)，………………………………………………1分22x1(x1)(x1)当a1时，x(0,)，x(a1)0，∴当x0时，f(x)0，f(x)在区间(0,)上单调递增，……………………………2分当a1时，x(0,a1)，x(a1)0，∴当0xa1时，f(x)0，……………………………………………………………3分∴f(x)在区间(0,a1)上单调递减，不合题意，∴若f(x)在区间(0,)上单调递增，则实数a的取值范围为(,1].…………………4分1111(2)欲证(1)(1)(1)<，222212421ennnn222n2n2n124n1只需证e，………………………………5分2222n12n1124n11n111即证e(1)(1)(1)，…………………………6分2222n12n1124n11111只需证n<ln(1)ln(1)ln(1)，……………7分2222n12n1124n11由(1)可知当a1时，f(x)在区间(0,)上单调递增，∴f(x)f(0)0，xx∴当x0时，不等式ln(x1)0恒成立，即ln(x1)恒成立，…………8分x1x111221111n∴ln(1+)，即ln(1+)，…………………9分212222n112n2n12n22n1参考答案与评分细则第9页（共10页）\n1111同理ln(1+)，…，ln(1+)，22222n112n124n1124n1将上述不等式累加得：111111ln(1)ln(1)ln(1)，2222222n12n1124n112n2n124n1………………………………………………………………………10分111111又2222222222n2n124n1nn1n1n24n14n22222222(n1n)(n2n1)(4n4n1)4nnn，111∴不等式n<ln(1)ln(1)ln(1)得证，2222n12n1124n111111∴不等式(1)(1)(1)<n得证.………………………12分2n22n2124n21e参考答案与评分细则第10页（共10页）