期中解答题精选50题（提升版）1．（2020·湖北沙市中学）已知函数是定义在上的奇函数，且．（1）确定函数的解析式；（2）用定义证明在上是增函数：（3）解关于x的不等式．【答案】（1）；（2）证明见详解；（3）【分析】（1）由已知条件得到关于的方程组，解方程组即可求出解析式；（2）设；作差法判断，然后根据定义即可判断；（3）利用函数的奇偶性与单调性将不等式转化为一元一次不等式，解不等式即可.【详解】（1）∵函数是定义在上的奇函数∴，即，∴又∵，即，∴∴函数的解析式为（2）由（1）知令，则∵∴∴而∴，即∴在上是增函数（3）∵在上是奇函数∴等价于，即又由（2）知在上是增函数∴，即∴不等式的解集为.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．2．（2021·云南省下关第一中学高一期中）已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用函数奇函数的性质求的值；（2）利用函数是奇函数，求的解析式，即得函数的解析式；（3）利用函数是奇函数，变形为，再利用函数的单调性，解抽象不等式，利用不等式恒成立，求参数的取值范围.【详解】解：（1）因为定义域为的函数是奇函数，所以.（2）因为当时，，所以，又因为函数是奇函数，所以，所以，综上，（3）由，得，因为是奇函数，所以，又在上是减函数，所以，即对任意恒成立，令，则，由，解得，故实数的取值范围为.3．（2020·乐山外国语学校）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）.（1）求，；（2）判断的奇偶性，并证明；（3）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）奇函数，证明见解析；（3）.【分析】（1）令可求出，令可得，再令，可得，再结合，可求出的值；（2）令，对变形可得答案；（3）由题意将转化为在上恒成立，由在上为单调函数，且；所以可得在上是增函数，所以问题转化为在上恒成立，即在上恒成立，构造函数求出其最小值即可【详解】解：（1）取，得，即，，，又，得，可得；（2）取，得，移项得函数是奇函数；（3）是奇函数，且在上恒成立，在上恒成立，且；在上是增函数，在上恒成立，在上恒成立，令.由于，.，，即实数k的取值范围为.4．（2020·广东华南师大附中南海实验高中高一期中）已知函数，且.（1）求实数的值;（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明;（3）求函数在上的最值.【答案】（1）；（2）函数在上单调递增；证明见解析；（3）最大值为，最小值为.【分析】（1）将函数值带入解析式即可求出结果；（2）设，对做差变形判断正负，根据单调性的结论即可求出结果；（3）判断函数在上的单调性，即可求出最值.【详解】（1）因为，且，所以，故；（2）函数在上单调递增证明：由（1）知设，则因为，所以，即，因此函数在上单调递增；（3）由（1）知设，则因为，所以，即，因此函数在上单调递增；所以，，所以函数在上的最大值为，最小值为.5．（2020·广东华南师大附中南海实验高中高一期中）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生校照相关政策投资销售一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量(单位:件)与销售单价(单位:元)之间的关系近似满足一次函数:.（1）设他每月获得的利润为(单位:元)，写出他每月获得的利润与销售单价x的函数关系式，并求出利润的最大值.（2）相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于元.如果他想要每月获得的利润不少于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少?【答案】（1），；（2）.【分析】（1）每件的销售利润乘以每月的销售量即为利润，利用二次函数的性质即可求最值；（2）令可得的范围，设政府每个月为他承担的总差价为元，由一次函数的性质即可求差价的取值范围.【详解】（1）依题意可得：每件的销售利润为元，每月的销售量为件，所以每月获得的利润与销售单价x的函数关系式为：，对称轴为，开口向下，此时最大值为，所以利润与销售单价x的函数关系式，最大利润为元.（2）由每月获得的利润不小于元，得，即，解得：，这种节能灯的销售单价不得高于元，所以，设政府每个月为他承担的总差价为元，则，由可得，所以政府每个月为他承担的总差价的取值范围是元.6．（2020·江苏省西亭高级中学高一期中）已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求实数和的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；（3）若对上，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）函数在上是增函数，证明见解析；（3）.【分析】（1）利用和即可求得和的值；（2）利用用定义证明单调性的步骤，取值、作差、定号、下结论即可证明；（3）由奇函数可得，利用单调性脱掉转化为不等式组即可求解.【详解】（1）因为，函数是定义在上的奇函数，所以得，又因为，所以，（2）由（1）可知，设所以=因为，所以，所以，，即，所以，函数在上是增函数（3）由（2）可知函数在上是增函数，且是奇函数要使“对上，都有成立”即则不等式组对恒成立，所以对恒成立，所以因为，所以，，所以，，所以，所以，所以实数的取值范围是.7．（2020·广东华侨中学）已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）在定义域R上单调性并证明（3）若对于任意，不等式恒成立，求k的范围．【答案】（1），；（2）减函数，证明见解析；（3）．【分析】（1）利用奇函数的性质可得，（1），据此可求得，；（2）是上的减函数，利用定义加以证明；（3）由于是上的减函数且为奇函数，故不等式可化为所以即恒成立，即可求的取值范围．【详解】解（1）为上的奇函数，，，又（1），得，经检验，符合题意．所以，；（2）是上的减函数．证明：任取，且，因为，所以，故所以是上的减函数；（3），不等式恒成立，，又为奇函数，，为减函数，，即恒成立，而，．8．（2020·内蒙古杭锦后旗奋斗中学高一期中）已知函数（）是定义在上的奇函数，且.（1）求，的值；（2）判断函数在的单调性，并证明.【答案】(1)，；(2)单调递增，证明见解析.【分析】(1)由奇函数的性质及所给的值列式即可得解；(2)利用函数单调性定义通过“取值，作差，判断符号”的步骤即可作答.【详解】(1)因函数是上的奇函数，于是有，解得，即有，，解得，此时是上的奇函数，所以，；(2)函数在上单调递增，，，而，，，于是得，即，所以函数在上单调递增.9．（2020·兰州市外国语高级中学高一期中）已知函数是定义域为的单调减函数，且是奇函数，当时，（1）求的解析式；（2）解关于的不等式【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由是定义域为的奇函数，得，，设，利用，代入可得的解析式可得答案；（2）利用奇偶性得，再利用单调性可得，解不等式可得答案.【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，所以，，设时，则，所以，所以，所以.（2）因为是定义域为的奇函数，所以，由得，因为函数是定义域为的单调减函数，所以，解得或，所以不等式的解集为或.10．（2020·江苏泰州·）已知函数，且．（1）求的值；（2）判定的奇偶性；（3）判断在上的单调性，并给予证明．【答案】（1）；（2）是奇函数；（3）在上为单调增函数，证明见解析．【分析】（1）由可求得实数的值；（2）判断出函数为奇函数，利用函数奇偶性的定义可证得结论成立；（3）判断出函数在上为增函数，任取，作差，因式分解并判断的符号，由此可证明出函数在上为增函数.【详解】解：（1）因为，所以；（2）由（1）可得，因为的定义域为，又，所以是奇函数；（3）函数在上为增函数，理由如下：任取，则，因为，所以，，所以，所以在上为单调增函数．11．（2020·杭州之江高级中学高一期中）已知函数．（1）判断的奇偶性；（2）当时，用函数单调性定义证明在上单调递减．【答案】（1）函数为奇函数；（2）证明见解析.【分析】（1）利用函数的奇偶性定义判断；（2）利用函数的单调性的定义证明.【详解】（1）函数的定义域为，∵，∴函数为奇函数．（2）证明：任取，则，，∵，∴，即，∴，即，故当时，在上单调递减．12．（2019·罗平县第二中学高一期中）设函数.（1）用函数单调性定义证明：函数在区间上是单调递减函数；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）证明见解析;（2）最大值为,最小值为.【分析】（1）根据定义法步骤完成证明;（2）根据（1）的单调性可得在区间上的最大值和最小值.【详解】（1）证明：设,由题有,∵,∴,,,∴,即,∴函数在区间上是单调递减函数.（2）由（1）可知在区间上单调递减,∴的最大值为,最小值为.∴函数在区间上的最大值为,最小值为.13．（2020·三亚华侨学校高一期中）函数，（1）求证：在区间上单调递增；（2）你还能得到函数的哪些性质？【答案】(1)证明见解析（2）奇函数，值域为【分析】（1）根据函数的单调性定义求证即可；（2）可分析函数的值域，奇偶性等性质.【详解】(1)设且，则因为时，，所以，即在区间上单调递增.（2）因为，，定义域关于原点对称，且所以函数为奇函数.当时，，当时，，当且仅当时，等号成立，所以，当时，，当且仅当时等号成立，所以，当时，，综上，函数的值域为.14．（2021·四川省绵阳南山中学高一期中）已知函数(，)（1）若关于的不等式的解集是，求实数，的值；（2）若，函数，，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围.【答案】（1），；（2）；（3）.【分析】（1）由的解集知，的两根为和，根据韦达定理求得参数值.（2）由题意得，，，所以，不等式恒成立等价于在恒成立.通过讨论x的值，分离参数在恒成立，根据函数单调性，求得最值，从而求得k的取值范围.（3）方程在区间有两个不同的实根，应满足条件，把条件中的b用和a表示，从而解得的取值范围.【详解】（1）因为的解集为，所以的两根为和，由韦达定理得，所以，.（2）由题意得，，，所以，因为在恒成立，所以在恒成立.①当时，满足题意，②当时，在恒成立，即，因为在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以；（3）因为方程在区间有两个不同的实根，所以，所以，所以，由，由得，得，综上所述：.所以的取值范围是.15．（2021·四川雅安中学高一期中）（1）解这个关于x的不等式.（2）若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】(1)按实数a与1的大小关系分类讨论求解即得；(2)时，求出的最小值得关系a的不等式，求解即可作答.【详解】（1）原不等式可化为，时，解不等式得或，时，不等式恒成立，即，时，解不等式得或，综上：时解集为或，时解集为R，时解集为或；（2）因时，，当且仅当时取“=”，又不等式对任意实数x恒成立，即有，解得，所以实数a的取值范围.16．（2020·广东华南师大附中南海实验高中高一期中）已如命题："恒成立"是真命题，（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用二次函数的图像列不等式，即可求得；（2）比较3a和a+2的大小，分类讨论，根据列不等式，求出a的范围.【详解】（1）因为命题："恒成立"是真命题，所以解得.故.（2）因为，所以解方程可得或①若时，则.若,则，解得；②若，即a=1，则，显然，符合题意；③若,则若，则，无解.综上,或a=1，即实数的取值范围17．（2020·云南昭通市第一中学）已知，，求的取值范围.【答案】【分析】先把转化为，利用不等式的可乘性和同向不等式相加即可求得.【详解】设，则有：，解得：，所以.因为，所以，因为，所以，所以，即，18．（2020·江苏省板浦高级中学高一期中）（1）若，求的最小值及对应的值；（2）若，求的最小值及对应的值．【答案】（1）最小值为5，；（2）最小值为，．【分析】（1）化简，再利用基本不等式求解；（2）化简，再利用基本不等式求解.【详解】（1）因为，所以，当且仅当即时等号成立，函数取最小值5；（2）当且仅当即时等号成立，函数取最小值.19．（2019·贵阳市清镇养正学校高一期中）若不等式的解集是.（1）解不等式；（2）当的解集为R时，求b的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）先利用不等式的解集判断符号和的二根，求得参数a，再解一元二次不等式即可；（2）先根据题意判断不等式恒成立，再利用二次函数图象特征可知判别式，即解得结果.【详解】解：（1）因为不等式的解集是，所以，且和是方程的两根，由根与系数关系得，解得，则不等式，即为，所以，解得或，所以不等式的解集为或；（2）由（1）知，不等式，即，因为不等式的解集为，则不等式恒成立，所以，解得，所以的取值范围为.20．（2020·大连市第一中学）已知命题，命题（）（1）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；（2）若，且命题与有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】(1)先解不等式，再利用逆否命题的等价性将“是的必要不充分条件”转化为“是的必要不充分条件”，由此列不等式组，解不等式组即可；(2)根据命题与有且只有一个为真命题，分真假和假真求解.【详解】解不等式，得，命题：；解不等式，得，命题：；(1)若是的必要不充分条件，则由逆否命题知，是的必要不充分条件，有，解得或.所以实数的取值范围为.(2)当时，：因为命题与有且只有一个为真命题当真假时，由得，；当假真时，由得，或.综上可知，实数的取值范围为21．（2020·扬州市邗江区蒋王中学高一期中）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调査，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.【答案】（1）40；（2）a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.【分析】（1）设每件定价为x元,可得提高价格后的销售量，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（2）依题意，x>25时，不等式有解，等价于x>25时,有解,利用基本不等式,可以求得a.【详解】（1）设每件定价为t元,依题意得,整理得,解得：25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.（2）依题意知：当x>25时,不等式有解，等价于x>25时,有解.由于,当且仅当,即x=30时等号成立,所以a≥10.2.当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.22．（2020·玉龙纳西族自治县田家炳民族中学高一期中）已知二次函数.（1）若关于的不等式的解集是.求实数的值；（2）若，解关于的不等式.【答案】（1），；（2）答案见解析.【分析】（1）根据题意可知和是方程的两根，结合韦达定理列方程组即可求解；（2）时，原不等式即，可化为，讨论相应方程的两根和的大小即可得不等式的解集.【详解】（1）因为关于的不等式的解集是所以和是方程的两根，所以解得：，（2）当时，即可化为，因为，所以所以方程的两根为和，当即时，不等式的解集为或，当即时，不等式的解集为，当即时，不等式的解集为或，综上所述：当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或.23．（2021·全国）已知关于x的不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．（1）求a，b的值；（2）解关于x的不等式：ax2－(ac＋b)x＋bx<0.【答案】（1）a＝1，b＝2；（2）答案见解析.【分析】（1）根据不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，由a>0，且方程ax2－3x＋2＝0的两个根是1和b求解；（2）根据a＝1，b＝2，得到不等式为x2－(c＋2)x＋2x<0，即x(x－c)<0，再分.c>0，c＝0，c<0讨论求解.【详解】（1）∵不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，∴a>0，且方程ax2－3x＋2＝0的两个根是1和b.由根与系数的关系，得解得a＝1，b＝2.（2）∵a＝1，b＝2，∴ax2－(ac＋b)x＋bx<0，即x2－(c＋2)x＋2x<0，即x(x－c)<0.∴当c>0时，解得0<x<c；当c＝0时，不等式无解；当c<0时，解得c<x<0.综上，当c>0时，不等式的解集是(0，c)；当c＝0时，不等式的解集是∅；当c<0时，不等式的解集是(c，0)．24．（2020·深圳科学高中高一期中）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【答案】（1）该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.【分析】（1）由题意列出该单位每月每吨的平均处理成本的函数表达式，利用基本不等式求解即得；（2）写出该单位每月的获利f(x)关于x的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答.【详解】（1）由题意可知：，于是得每吨二氧化碳的平均处理成本为，由基本不等式可得：(元)，当且仅当，即x=400时，等号成立，所以该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）该单位每月的获利f(x)=100xx2+300x-80000，因300≤x≤600，函数f(x)在区间[300，600]上单调递减，从而得当x=300时，函数f(x)取得最大值，即=f(300)=-35000，所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.25．（2020·上海闵行·古美高中）迎进博，要设计的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000，四周空白的宽度为10，栏与栏之间的中缝空白的宽度按为5.（1）试用栏目高与宽（）表示整个矩形广告面积；（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值.【答案】（1）；（2）当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为.【分析】（1）由题意知，所以，表示出广告的面积；（2）由（1）可得，利用基本不等式可得出广告面积的最小值．【详解】（1）由栏目高与宽（），可知，广告的高为，宽为(其中)广告的面积（2）由，所以当且仅当，即时取等号，此时.故当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.26．（2020·三亚华侨学校高一期中）（1）已知，均为正实数，且，求的最小值.（2）已知，，均为正实数，且，求证：.【答案】（1）；（2）证明见详解.【分析】（1）利用基本不等式即可证明，注意取得等号的条件；（2）注意到，故只要证明即可.【详解】（1），两边同时除以，得到，于是，当且仅当，且取等号，即时，的最小值是.（2）注意到，故下只需证即可，当且仅当，且时，，于是得证.27．（2020·江苏高一期中）已知不等式的解集是，不等式的解集是.（1）求；（2）若关于的不等式的解集是，求的解集.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先解不等式求出集合，，再进行交集运算即可求解；（2）由一元二次方程的实数根与不等式解集的关系可得的值，再解一元二次不等式即可求得答案.【详解】（1）由可得：，解得，所以，由可得：，解得：，所以，所以（2），所以关于的不等式的解集是，所以和是方程的两个根，由根与系数的关系可得：，解得：，所以不等式即为，所以，解得：，所以原不等式的解集为.28．（2018·北京市十一学校高一期中）已知，命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得成立．（1）若为真命题，求的取值范围；（2）当时，若为真，为假，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由为真命题，若，只需恒成立，即可求的取值范围；（2）若为真时，结合已知条件：讨论真假、假真，分别求得的范围，取并集即可.【详解】解：（1）对任意，不等式恒成立，令，则，当时，，即，解得．因此，当为真命题时，的取值范围是．（2）当时，若为真命题，则存在，使得成立，所以；故当命题为真时，．又∵，中一个是真命题，一个是假命题．当真假时，由，得；当假真时，有或，且，得．综上所述，的取值范围为．【点睛】关键点点睛：（1）函数不等式在闭区间内恒成立，有求参数范围.（2）由复合命题的真假讨论简单命题的真假组合，并求对应参数范围取并集即可.29．（2020·天津河西·高一期中）已知，且．（1）求的取值范围；（2）求的最小值，并求取得最小值时的值．【答案】（1）；（2），时，取得最小值9．【分析】（1）由已知结合基本不等式即可求解；（2）由已知可利用表示，代入所求式子后进行分离，然后结合基本不等式可求．【详解】（1），当且仅当时取等号，，解得或（舍），故.（2）∵，且，∴，∴，∴，当且仅当即时取等号，此时取得最小值9．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.30．（2020·南京市第十四中学高一期中）已知集合，.（1）求集合；（2）请在：①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.若是成立的___________条件，判断实数是否存在？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【答案】（1），；（2）答案见解析.【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可得答案；（2）选：①充分不必要条件，则集合是集合的真子集，再根据集合关系求解即可；选：②必要不充分条件，则集合是集合的真子集，再根据集合关系求解即可；选：③充要条件，则，再根据集合关系求解即可；【详解】解：（1）不等式，故，不等式，由于，故（2）选：①充分不必要条件由（1）知，，因为若是成立的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集；所以，解得，所以实数的取值范围为：选：②必要不充分条件由（1）知，，因为若是成立的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集；所以，解得，又因为，故所以实数的取值范围为：；选：③充要条件由（1）知，，因为若是成立的充要条件，所以，所以，方程组无解.所以不存在实数使得是成立的充要条件；【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是qq的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）若是qq的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）若是qq的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是qq的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．31．（2018·北京一零一中学双榆树校区高一期中）设集合.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围【答案】（1）或；（2）【分析】（1）根据，可知B中有元素2，带入求解即可；（2）根据得，然后分和两种情况进行分析可得实数的取值范围．【详解】（1）集合，若，则是方程的实数根，可得：，解得或，当时，满足题意；当时，满足题意；所以实数的值为或；（2）∵，∴，当时，方程无实数根，即解得：或；当时，方程有实数根，若只有一个实数根，或；当时，满足题意；当时，不满足题意；所以．若只有两个实数根，则，故，无解.综上可得实数的取值范围是：.【点睛】关键点睛：本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，将条件转化为是解决本题的关键.32．（2019·河北师范大学附属中学）已知集合，集合.（1）若，求实数的取值范围；（2）若不存在实数使，同时成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）分和两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；（2）由题意可得，分和两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1）当，即时，，故符合题意；当且时，有，解得.综上可知，的取值范围是；（2）因为不存在实数使得且，所以.当时，有；当且时，有或，解得.故实数的取值范围是或.【点睛】易错点点睛：在利用集合的包含关系以及集合运算求参数时，不能忽略对含参数的集合为空集的情况的讨论，从而导致解题不完整.33．（2020·龙海市程溪中学）已知，，.（1）若是的充分条件，求实数的取值范围；（2）若，命题、其中一个是真命题，一个是假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由是的充分条件，可得出，可得出关于正实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；（2）求出，分真假和假真两种情况讨论，求出两种不同情况下的取值范围，综合可求得结果.【详解】解：解不等式，解得，即.（1）是的充分条件，是的子集，故，解得：，所以的取值范围是；（2）当时，，由于命题、其中一个是真命题，一个是假命题，分以下两种情况讨论：①真假时，，解得；②假真时，，解得或.所以实数的取值范围为．【点睛】结论点睛：本题考查利用充分条件求参数，一般可根据如下规则求解：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含．34．（2020·北京海淀·清华附中高一期中）已知集合A为数集，定义．若，定义：．（1）已知集合，，，求，的值；（2）若．求证：；求的最大值．【答案】（1），；（2）①证明见解析；②16【分析】（1）根据定义直接计算即可；（2）①可得，根据，可证；②由可得.【详解】（1），，，，；（2）①由题可得，，，，，即，，即，得证；②，当且仅当时等号成立，当且时，有最大值为16.【点睛】关键点睛：本题考查集合的基本运算，新定义的应用，解题的关键是能根据定义得出，进而根据集合的关系可求解.35．（2019·上海市嘉定区封浜高级中学高一期中）设集合，且，求实数的取值范围.【答案】【分析】由题意，可得是集合的子集，按集合中元素的个数，结合根与系数之间的关系，分类讨论即可求解.【详解】由题意，可得是集合的子集，又，当是空集时，即方程无解，则满足，解得，即，此时显然符合题意；当中只有一个元素时，即方程只有一个实数根，此时，解得，则方程的解为或，并不是集合的子集中的元素，不符合题意，舍去；当中有两个元素时，则，此时方程的解为，，由根与系数之间的关系，可得两根之和为5，故；当时，可解得，符合题意.综上的取值范围为.36．（2019·上海市金山中学高一期中）设数集由实数构成，且满足：若（且），则．（1）若，则中至少还有几个元素？（2）集合是否为双元素集合？请说明理由．（3）若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．【答案】（1）中至少还有两个元素；（2）不是双元素集合，答案见解析；（3）．【分析】（1）由（且），则，结合可计算得出集合中的元素；（2）由，逐项可推导出，，结合集合元素满足互异性可得出结论；（3）由（2）中有三个元素为、、（且），设中还有一个元素，可得出，，由已知条件列方程求出、的值，即可求得集合中的所有元素.【详解】（1），．，．，．中至少还有两个元素为，；（2）不是双元素集合．理由如下：，，，由于且，，则，则，可得，由，即，可得，故集合中至少有个元素，所以，集合不是双元素集合．（3）由（2）知中有三个元素为、、（且），且，设中有一个元素为，则，，且，所以，，且集合中所有元素之积为.由于中有一个元素的平方等于所有元素的积，设或，解得（舍去）或或．此时，，，，由题意得，整理得，即，解得或或，所以，．【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素相关的问题，解题时要结合题中集合满足的定义推导出其它的元素，以及结合已知条件列方程求解，同时注意集合中元素满足互异性.37．（2020·上海市南洋模范中学高一期中）已知集合，，.（1）若，求实数a的值；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）先求解出方程的根，则集合可知，再求解出的根，则可确定出集合，根据得到，从而可求解出的可取值，则的值可求；（2）根据得到，分别考虑当为空集、单元素集、双元素集的情况，由此确定出的取值.【详解】（1）由得或，所以，由得或，所以，因为，所以，所以或，所以或；（2）因为，所以，当的时，，解得，当时，，无解，当时，，解得，当时，，无解，综上，实数m的取值范围是.【点睛】结论点睛：根据集合的交、并集运算结果判断集合间的关系：（1）若，则有；（2）若，则有.38．（2020·湖南邵阳市·新宁崀山实验学校）已知集合，集合（1）若，求a的取值范围.（2）若命题“”为真命题，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据，讨论，然后计算即可.（2）根据题意讨论，计算即可.【详解】（1）由题可知：当时，符合，则当时，由，则故（2）由命题“”为真命题当时，，符合题意当时，则或所以【点睛】易错点点睛：这道题两问都需要注意，是任意集合的子集.39．（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）已知集合，.（1）当a=2时，求；（2）若___________，求实数a的取值范围.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在（2）问中的横线上，并求解.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【答案】（1）；（2）若选择①；若选择②；若选择③．【分析】（1）当a=2时，得出集合，求得集合，根据集合的并集运算可得答案；（2）若选择①，则，分集合A是空集和不是空集两种情况讨论得实数a的取值范围；若选择②，则A是的子集，分集合A是空集和不是空集两种情况讨论得实数a的取值范围；若选择③，分集合A是空集和不是空集两种情况讨论得实数a的取值范围．【详解】（1）当a=2时，集合，，所以；（2）若选择①，则，当，即时，，满足题意；当时，应满足，解得；综上知：实数a的取值范围；若选择②，则A是的子集，，当，即时，，满足题意；当时，应满足，或，解得或，综上知：实数a的取值范围；若选择③，当，即时，，满足题意；当时，应满足，或，解得或，综上知：实数a的取值范围；【点睛】易错点睛：本题容易忽略集合A是空集的情况，导致出错：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.40．（2020·上海财经大学附属中学高一期中）已知集合（为实数）.（1）求；（2）若，求的值；（3）若，实数的取值范围.【答案】（1），（2），；（3）【分析】（1）依题意，再解一元二次不等式即可得解；（2）依题意与为方程的两根，根据根与系数的关系得到方程组，解得即可；（3）依题意任取，，所以，参变分离可知对任意的成立，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：（1）因为，所以，因为，即，解得或，即；（2）因为，且，所以与为方程的两根，所以，解得（3）因为，所以任取，，所以，即对任意的成立，又因为，当且仅当，即时取等号，所以，，所以，即41．（2020·吉林江城中学）设a，b为正实数，且.（1）求的最小值；（2）若，求ab的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据条件利用均值不等式求出，从而可以再次利用均值不等式求的最小值；（2）根据条件得到；把等式变形为，两式结合即可求出的值.【详解】（1）因为a，b为正实数，所以，即，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.（2）因为，所以，因为，所以，即，因为，所以，即，所以.42．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知，，．（1）当时，求的最小值；（2）当时，求的最小值．【答案】（1）（2）【分析】（1）由解得，得到，变形后利用基本不等式可求得结果；（2）利用将化为积为定值的形式后，再用基本不等式可求得结果.【详解】（1）当时，，，显然，所以，由，得，所以，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为.（2）当时，由得，得，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.43．（2020·泰州市第二中学）设函数.（1）若，且关于的不等式的解集是，解不等式；（2）若，解关于的不等式；（3）若在区间上的最大值是，且，求的取值范围.【答案】(1)(2)当时，不等式，解集为空集.当时，不等式，解集为,当时，不等式，解集为;(3)【分析】（1）根据条件可得是方程的两个实数根，由韦达定理可求出的值，再解不等式得出答案.(2)将条件代入可得，比较与1的大小进行分类讨论得出答案.(3)由条件可得，即，则，由，可得，从而可得出的范围，即可得出答案.【详解】（1）当时，不等式的解集是，则是方程的两个实数根.所以，所以所以不等式化为，即也即，解得故不等式的解集为（2）若时，当时，，解集为空集.当时，，则，即所以不等式的解集为：当时，，则，即所以不等式的解集为：综上：当时，不等式，解集为空集.当时，不等式，解集为当时，不等式，解集为（3）由在区间上的最大值是，且所以，即，则，由，可得，即又，由，可得所以，则，所以所以，所以的范围是【点睛】关键点睛：本题考查根据二次不等式的解集求参数和解二次不等式即求范围，解答本题的关键是由在区间上的最大值是，得到，即，则，由，可得，即，从而得出，属于中档题.44．（2020·泰州市第二中学）（1）已知正数满足，求的最小值；（2）已知，求函数的最大值．【答案】（1）8；（2）－1【分析】（1）运用基本不等式由，可求得的最小值；（2）原式可变形为，运用基本不等式可求得的最大值．【详解】（1）因为正数，满足，所以，得，当且仅当时，即时取等号，则的最小值为8；（2）因为，所以，所以当且仅当，即时取等号，所以的最大值为－1．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．45．（2020·上海市嘉定区第一中学高一期中）已知.（1）试比较与的大小；（2）当时，证明：，并指出等号成立的条件；（3）判断“”是“”的什么条件？并说明理由.【答案】（1）；（2）证明见解析，等号成立的条件；（3）分非必要条件，理由见解析【分析】（1）作差、分解因式、然后判断差的符号，进而可得结论；（2）由，可得，展开后利用基本即可得答案；（3）根据基本不等式等号成立的条件可得充分性成立，根据基本不等式等号成立的条件可得必要性不成立.【详解】(1)()=因为，所以；大于等于；(2)因为，所以=，当时等号成立;时等号成立，因为所以.所以，当且仅当时等号成立.(3)因为，所以，时等号成立；，时等号成立.因为，所以，，把，代入式中，等号成立，所以“”是“”充分条件；化简得，所以，把带入后得.所以“”是“”充分非必要条件.46．（2021·江苏高一期中）已知定义域为的函数是奇函数，且指数函数的图象过点．（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）若方程，恰有个互异的实数根，求实数的取值集合；（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）先利用已知条件得到的值，再利用奇函数得到，进而得到的值，经检验即可得出结果；（Ⅱ）先利用指数函数的单调性判断的单调性，再利用奇偶性和单调性得到，把在恰有个互异的实数根转化为在恰与轴有两个交点，求解即可；（Ⅲ）先利用函数为上的减函数且为奇函数，得到，把问题转化为对任意的恒成立，令，利用二次函数的图像特点求解即可.【详解】（Ⅰ）由指数函数的图象过点，得，所以，又为上的奇函数，所以，得，经检验，当时，符合，所以；（Ⅱ），因为在定义域内单调递增，则在定义域内单调递减，所以在定义域内单调递增减，由于为上的奇函数，所以由，可得，则在恰有个互异的实数根，即在恰与轴有两个交点，则，所以实数的取值集合为.（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数为上的减函数且为奇函数，由，得，所以，即对任意的恒成立，令，由题意，得，所以实数的取值范围为：.【点睛】关键点睛：利用函数的奇偶性求解析式，（Ⅱ）把问题转化为在恰与轴有两个交点的问题；（Ⅲ）把问题转化为对任意的恒成立是解决本题的关键.47．（2020·安徽省宣城市第二中学高一期中）已知函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，（1）当时，求；（2）设命题，命题，的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）或【分析】（1）分别求两个集合，再求；（2）根据的充分不必要条件可知Ü，转化为子集问题，根据端点值列不等式求的取值范围.【详解】（1），得，解得：，所以，当时，，当，解得：或，所以或所以或.（2），即，解得：或，所以或，由题意可知Ü，所以或，得或.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．48．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数，且的解集为．（1）求的解析式；（2）设，在定义域范围内若对于任意的，使得恒成立，求M的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值.【详解】解：（1）由题意解得（2）由题意当当令，当，当取等号，当当取等号，综上，【点睛】关键点点睛：利用函数单调性研究函数带参最值问题.49．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知函数．（1）判断的奇偶性，并给出理由；（2）当时，①用定义证明函数在区间上是单调增函数；②若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数，理由见解析，（2）①证明见解析，②或【分析】（1）分和两种情况讨论，利用奇偶函数的定义判断可得结果；（2）①按照取值、作差、变形、判号、下结论5个步骤证明即可；②利用定义判断出函数在区间上的单调性，利用单调性求出函数在上的最小值，再将不等式能成立转化为最值成立，解不等式即可得解.【详解】（1）当时，为偶函数，理由如下：因为的定义域为，且，所以为偶函数；当时，为非奇非偶函数，理由如下：因为，即，所以不是奇函数，因为，即，所以不是偶函数，所以为非奇非偶函数.（2）当时，，①任取，则，因为，所以，，，，所以，即，所以函数在区间上是单调增函数；②任取，则，因为，，，，所以，即，所以函数在区间上为单调递减函数，又由①知函数在区间上是单调增函数，所以函数在上的最小值为，若存在，使得不等式成立，则，即，得，得或.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若在上恒成立，则；②若在上恒成立，则；③若在上有解，则；④若在上有解，则.50．（2020·河北英才国际学校高一期中）已知函数.(1)证明函数在上是增函数；(2)求在上的最值.【答案】(1)证明见解析；(2)最大值，最小值.【分析】(1)用定义法证明函数在某区间上的单调性.(2)利用函数在某区间上为增函数求最值.【详解】(1)证明：任取，且，，因为，所以，，，所以，.所以函数在上是增函数.(2)由(1)知，在上是增函数，又，所以在上是增函数，的最大值为，最小值为.</x<c；当c＝0时，不等式无解；当c<0时，解得c<x<0.综上，当c>
