长郡中学2022届高三月考试卷(三)数学得分:本试卷共8页。时量120分钟。满分150分。一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U={,,0,1,2,3},A={,0,1},B={1,2},则()A.{,3}В.{,2,3}C.{,,0,3}D.{,,0,2,3}2.命题“,”的否定是()A.,B.,C.,D.,3.函数的图像如图所示,则()A.,B.,C.,D.,4.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数;1637年笛卡尔开始使用指数运算;1770年,欧拉发现了指数与对数的互逆关系,指出:对数源于指数,对数的发明先于指数,称为数学史上的珍闻.若,,则x的值约为()A.1.322B.1.410C.1.507D.1.6695.设m,n表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,下列命题为真命题的是()A.若,,则B.若,,则C.若,,则D.若,,,则6.T1,T2,T3三个元件正常工作的概率分别为,,,且是相互独立的.如图,将T2,T3两个元件并联后再与T1元件串联接入电路,则电路不发生故障的概率是()A.В.C.D.7.已知,,当时,不等式恒成立,则m的取值范围是()A.B.C.D.8.已知ABCD是边长为2的正方形,P为平面ABCD内一点,则的最小值是()A.В.C.D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.已知函数(,,,)的部分图像如图所示,则下列说法正确的是()A.的最小正周期为2B.的图像关于点(,0)对称C.的图像关于直线对称D.把的图像向右平移个单位长度,得到一个奇函数的图像10.下列命题为真命题的是()A.若,互为共轭复数,则为实数B.若,则C.复数的共轭复数为D.关于复数的方程()有实数根,则11.如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法正确的是()A.在棱AD上存在点M,使AD⊥平面PMBB.异面直线AD与PB所成的角为90°C.二面角P—BC—A的大小为45°D.BD⊥平面PAC12.已知a为常数,函数有两个极值点,(),则()A.В.C.D.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.我市开展的“魅力教师”学生原创网文大赛,各校上传文章的时间为3月1日至30日,评委会把各校上传的文章数按5天一组分组统计,绘制了频率分布直方图(如图).已知从左至右各长方形的高的比为2:3:4:6:4:1,第二组的频数为180.那么本次活动收到的文章数是.14.对任意实数,,min{,}表示,中较小的那个数,若,,,则的最大值是.15.记n项正项数列为,,…,其前n项积为,定义为“相对叠乘积”,如果有2020项的正项数列,,,…,的“相对叠乘积”为2020,则有2021项的数列10,,,,…,的“相对叠乘积”为.16.如图,在一个底面边长为2,侧棱长为的正四棱锥P—ABCD中,球O1内切于该四棱锥,球O2与球O1及四棱锥的四个侧面相切,球O3与球O2及四棱锥的四个侧面相切,…依次作球On+1与球On及四棱锥的四个侧面相切,则球O1的表面积为.球O1,球O2,…球On的表面积之和为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)设正项数列为等比数列,它的前n项和为,,且.(1)求数列的通项公式;(2)已知是首项为1,公差为2的等差数列,求数列的前n项和.18.(12分)如图,在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知b=3,c=6,,且AD为BC边上的中线,AE为∠BAC的角平分线.(1)求及线段BC的长;(2)求△ADE的面积.19.(12分)如图①,在菱形ABCD中,∠A=60°且AB=2,E为AD的中点.将△ABE沿BE折起至△A1BE使,得到如图②所示的四棱锥A1—BCDE.(1)求证:平面A1BE⊥平面A1BC;(2)若P为A1C的中点,求二面角P—BD—C的余弦值.20.(12分)已知函数().(1)讨论函数的单调性;(2)若,求证:.21.(12分)教育是阻断贫困代际传递的根本之策.补齐贫困地区义务教育发展的短板,让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育,是夯实脱贫攻坚根基之所在.治贫先治愚,扶贫先扶智.为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题,某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共分3批次进行,每次支教需要同时派送2名教师,且每次派送人员均从这5人中随机抽选.已知这5名优秀教师中,2人有支教经验,3人没有支教经验.(1)求5名优秀教师中的“甲”,在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率;(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数X的分布列.(3)求第二次抽选时,选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人?请说明理由;22.(12分)已知函数,.(1)若函数在定义域上单调递增,求实数a的取值范围;(2)当时,若,存在公切线l,求的范围(表示不大于x的最大的整数).长郡中学2022届高三月考试卷(三)数学参考答案一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ACDABABB1.A【解析】由题意可得,则.故选A.2.C【解析】∵命题“,”是一个全称量词命题.∴其命题的否定为:,,故选C.3.D【解析】函数图像关于直线对称,故,又当趋向正无穷大时,向0,可得,故选D.4.A【解析】由题意可知,则,故选A.5.B【解析】对于A,m可以在内,故A错;对于C,n可以在内,故C错误;对于D,m与n可以平行,故D错.6.A【解析】记正常工作为事件A,正常工作为事件B,正常工作为事件C,则,,.电路不发生故障,即正常工作,且,至少有一个正常工作.,至少有一个正常工作的概率,所以整个电路不发生故障的概率.故选A7.B【解析】,,,,当且仅当时取等号不等式恒成立,,整理得,解得,即,的取值范围为.故选:B8.B【解析】设AB的中点为E,EC的中点为F,则,故选B.也可以建系来做.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.题号9101112答案ABCABDABCACD9.ABC【解析】由图像得,,,A正确;且.又,且,,.,的图像关于点对称,B正确;,的图像关于直线对称,C正确;是偶函数,D不正确。故选ABC.10.ABD【解析】设,,则为实数,A选项正确.设,,则,正确.,其共轭复数是,C选项错误.设是方程的实根,则,,.D选项正确.故选:ABD.11.ABC【解析】如图,对于A,取AD的中点M,连接PM,BM.∵侧面PAD为正三角形,,又底面ABCD是菱形,,是等边三角形,,又,PM,平面PMB,平面PBM,故A正确.对于B,平面,,即异面直线AD与PB所成的角为90°,故B正确.对于C,,平面PBM,,,是二面角的平面角,设,则,,∵平面平面ABCD,平面平面,平面PAD,,平面ABCD,在中,,即,故二面角的大小为45°,故C正确.对于D,因为BD与PA不垂直,所以BD与平面PAC不垂直,故D错误.故选ABC.12.ACD【解析】,,令,则,令,则,在上单调递增,在上单调递减.作出,的大致图像,当时,有两个根,,且,当时,.函数在区间上递减,在区间上递增,在区间上递减.,.故选:ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.1200【解析】由题设中提供的直方图可得本次活动收到的文章数14.1【解析】作出函数,的图象,令,即,解得,,由题意得,由图象知,.所以的最大值是1.故答案为:1.15.4041【解析】由题意得2021项的数列10,,,…,的“相对叠乘积”为故答案为:4041.16.【解析】设O为正方形ABCD的中心,AB的中点为M,连接PM,OM,PO,则,,设球的半径为,表面积为,如图,在截面PMO中,设N为球与平面PAB的切点,则N在PM上,且,设球的半径为,则,因为,所以,则,,所以,设球与球相切于点Q,则,设球的半径为,同理可得,所以,同理可得,.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】(1)正项数列为等比数列,,.,即,,故(2),.,①,②由②-①式得:,.18.【解析】(1)根据题意,,由正弦定理知:.又,,;又由,解得,即.(2)根据题意,因为AD为BC边上的中线,所以,因为AE平分,所以,故,变性可得,,则,所以.19.【解析】证明:(1)在图①中,连接BD.四边形ABCD为菱形,,是等边三角形.为AD的中点,,.又,.在图②中,,..,,又,,平面.平面.平面,∴平面平面.解:(2)由(1),知,.,BE,平面BCDE.平面BCDE.以E为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.则,,,,.为的中点,.,.设平面PBD的一个法向量为由得令,得.又平面BCD的一个法向量为.设二面角的大小为,由题意知该二面角的平面角为锐角.则.∴二面角的余弦值为.20.【解析】(1)解:函数的定义域是,当时,在上恒成立,故函数在上单调递增,当时,令,得;令,得,综上,当时,函数在上单调递增,当时,函数在上单调递减,在上单调递增;(2)证明:要证明,即证,即证设,则.当时,;当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以是极小值点,也是最小值点,且令,则.当时,;当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以是的极大值点,也是最大值点,且,所以,故成立.21.【解析】(1)5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中,被抽取到的概率为,则三次抽取中,“甲”恰有两次被抽取到的概率为;(2)X表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数,X的可能取值有0,1,2.;;.所以分布列为:X012P0.10.60.3(3)设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数,可能的取值有0,1,2,则有:,,,因为,故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人.22.【解析】(1)由题意,在上恒成立.即在上恒成立.令,则,所以在上单调递增.于是,所以.(2)当时,设公切线在上的切点为,则切线方程为:.设公切线在上的切点为,则切线方程为:,,又,.令..在上单调递减,而,,满足,在区间上单调递增,在区间上单调递减.,.