北京市第四中学2022届高三数学三模保温试卷（PDF版带解析）

2021~2022学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷共4页数学试卷（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分x1.若集合Axx20，集合Bx21,则AB（A）2,（B）0,2（C）,2（D）R12i2．在复平面内，复数z对应的点位于iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．如图，向量ab等于b（A）e3e（B）2e4e1212e2e1（D）3eea（C）4e2e12122514.在()x的展开式中，x的系数为xA．10B．10C．20D．205.已知mn,表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（A）若mn//,//，则mn//（B）若m，mn，则n//（C）若m，n，则mn（D）若m//，mn，则n56.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝4A.1B.2C.4D.81\n2021~2022学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷共4页22xy227.已知双曲线1(a0)的一条渐近线与圆（x3)y8相交于M,N2a4两点，且MN4，则此双曲线的离心率为5335（A）5（B）（C）5（D）352*8.已知数列a的通项为ann2，则“0”是“nNaa,”的nnnn1（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件9.京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟.由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为A（A）10分钟（B）12分钟100（C）14分钟（D）16分钟3410.在正方体ABCDABCD中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B11111内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是．．．A．点F的轨迹是一条线段B．A1F与BE是异面直线第10题图C．A1F与D1E不可能平行D．三棱锥F-ABD1的体积为定值2\n2021~2022学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷共4页二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．若点4,tan在函数yxlog的图象上，则sincos=__________．[来源:Z_xx_k.Com]212．已知三点A(1,0),(0,3),(2,3)BC，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为_______．113.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时,f(x)，则x5f()f(0)_______.214．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已（毫克）知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系ta1式为y（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，16（小时）回答下列问题：（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为；（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．215.直线x1与抛物线C：yx4交于MN,两点，点P是抛物线C准线上的一点，记OPaOMbON（ab,R），其中O为抛物线C的顶点.给出下列命题：①a0,使得OP与ON平行；②a0且b0，使得OP与ON垂直；③PMN不可能是等边三角形；④无论点P在准线上如何运动，ab1总成立.其中，所有正确命题的序号是______．3\n2021~2022学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷共4页三、解答题：本大题共6小题，共85分16.（本小题13分）已知如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAADCD2，BC3，PC23，E为PB中点，BC//平面PAD.P（Ⅰ）求证：四边形ABCD是直角梯形；E（Ⅱ）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.ADBC17.（本小题13分）3已知函数fxxx2cossin0，，求函数fx在区间，3266上的值域.①若fx12fx2，则xx12的最小值为；2②函数fx图像的两条相邻对称轴之间的距离为；2③若fx12fx0，则xx12的最小值为；2从以上三个条件中任选一个，补充在横线上并作答.4\n2021~2022学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷共4页18.（本小题14分）某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表．频率/组距成绩分组频数0.060.05[75，80)20.04[80，85)60.03[85，90)160.02[90，95)147580859095100成绩/分[95，100]2高一高二规定成绩不低于90分为“优秀”．（Ⅰ）估计高一年级知识竞赛的优秀率；（Ⅱ）将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率．在高一、高二年级学生中各选出1名学生，记这2名学生中成绩优秀的人数为，求随机变量的分布列；（Ⅲ）在高一、高二年级各随机选取1名学生，用XY,分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数．写出方差DX,DY的大小关系．（只需写出结论）19．（本小题15分）12已知函数fx()xsinxxaxcos，x[0,].2（Ⅰ）当a0时，求fx()的单调区间；（Ⅱ）当a0时，讨论fx()的零点个数.5\n2021~2022学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷共4页20.（本小题15分）1已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1．2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C交于AB,两点的直线l：ykxmk()R，使得OAOB22OAOB成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由.21.（本小题15分）有限数列Aaa:,,,an.(3)同时满足下列两个条件：nn12①对于任意的ij,（1ijn），aa；ij②对于任意的ijk,,（1ijkn），aaij，aajk，aaik三个数中至少有一个数是数列An中的项.（Ⅰ）若n4，且a11，a22，aa3，a46，求a的值；（Ⅱ）证明：2,3,5不可能同时是数列An中的项；（Ⅲ）求n的最大值.6\n2021~2022学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷参考答案共4页参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分BCABCADABC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分1112131415221210,0tt0.1②③④5t0.13y1,0.1t160.6三、解答题：本大题共6小题，共85分（16）证明：（Ⅰ）因为PA平面ABCD，所以PAAD，PACD.………1分因为PAADCD2，所以PD22.222因为PC23，所以CDPDPC.所以CDPD……………2分因为PAPDP，所以CD平面PAD.所以CDAD.……………4分因为BC//平面PAD，BC平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，所以BCAD//.……………5分又BCAD3,BC2,AD.所以四边形ABCD是直角梯形.……………6分z（Ⅱ）在平面ABCD内，过A作AD的垂线交BC于点M.P因为PA平面ABCD，所以PAAMPA,AD.E所以APADAM,,三条直线两两垂直.……………7分ADyMBC如图建立空间直角坐标系Axyz.……………8分x则A(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)CDP，B(2,1,0)1因为E为PB中点，所以E(1,,1).21\n2021~2022学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷参考答案共4页1所以AE(1,,1),PC(2,2,2),PD(0,2,2).……………9分2设平面PCD的法向量为nxyz(,,)，则nPC0,2x2y2z0,即……………10分nPD0.2yz20.令y1,则zx1,0.于是n(0,1,1).……………11分设直线AE与平面PCD所成的角为，1nAE11122所以sin|cos,nAE|……………12分|||nAE|36222所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为.……………13分6（17）（本小题14分）3解：fxxx2cossin321332cossinxcosxx……………1分22223sincosx3cosxx213sin2xxcos2……………3分22sin2x.……………4分3若选条件①：因为fxxsin21,1，为使得fx12fx2，当且仅当fx12fx，一个3是函数的最大值，一个是函数的最小值；T又xx12的最小值为，即函数fx相邻两个最值点之间距离为，即=，所以函2222数fx的最小正周期T=.……………5分2\n2021~2022学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷参考答案共4页若选条件②：T函数fx图像的两条相邻对称轴之间的距离为，故=，222所以函数fx的最小正周期T=.……………5分若选条件③：若fx1fx212xx0，的最小值为，即函数fx相邻的两个零点间距离为，故22T=，所以函数fx的最小正周期T=.……………5分22又T=1，所以.……………7分222所以fxsin2x.……………8分32当x时，20x，……………10分6633所以1sin2x0，……………12分3fx1,0即的值域为.……………13分（18）解：（Ⅰ）高一年级知识竞赛的优秀率为(0.040.02)50.3.………………4分所以高一年级知识竞赛的优秀率为30%.（Ⅱ）在高一年级学生中选中成绩优秀学生的概率为0.3，选中成绩不优秀学生的概率为0.7；在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为0.4，选中成绩不优秀学生的概率为0.6.的所有可能取值为0，1，2；………………6分P(0)0.70.60.42；P(1)0.30.60.70.40.46；P(2)0.30.40.12.………………9分所以随机变量的分布列为：3\n2021~2022学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷参考答案共4页P0120.420.460.12………………10分（Ⅲ）DXDY.………………13分（19）（共15分）解：（I）当a0时，fx()xsinxxcos，x[0,].fx'()sinxxxxcosxxsincos.当x在区间[0,]上变化时，fx'()，fx()的变化如下表x0(0,)(,)22200fx'()极小值11fx()极大值2所以fx()的单调增区间为(0,)；fx()的单调减区间为(,).………………………5分22（II）fx'()axxcosxxa(cos)x.当a1时，axcos0在[0,)上恒成立，所以x[0,)时，fx'()0.所以fx()在[0,]上单调递增.又因为f(0)1，所以fx()在[0,]上有0个零点.当01a时，令fx'()0，得cosxa.由10a可知存在唯一x0(,)使得cosxa0.2所以当xx[0,)时，fx'()0，fx()单调递增；04\n2021~2022学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷参考答案共4页当xx(,)时，fx'()0，fx()单调递减.012因为f(0)1，fx()10，fa()1.2122①当a10，即a1时，fx()在[0,]上有0个零点.22122②当a10，即0a时，fx()在[0,]上有1个零点.2222综上，当0a时，fx()有2个零点；当a时，fx()有0个零点.2222xy（20）（Ⅰ）设椭圆C的方程为1ab0，半焦距为c.22abc1依题意e，由右焦点到右顶点的距离为1，得ac1．a2解得c1，a2．222所以bac3．22xy所以椭圆C的标准方程是1．……………4分43（Ⅱ）解：存在直线l，使得OAOB22OAOB成立.理由如下：ykxm,222由xy22得(34)kx84kmx120m．1,4322222(8km)4(34)(4km12)0，化简得34km．设Axy(,),(,Bxy)，则112228km412mxx，xx．12212234k34k若OAOB22OAOB成立，22即OAOB22OAOB，等价于OAOB0．所以xxyy0．1212xxkxmkx()()0m，121222(1kxx)kmx(x)m0，12125\n2021~2022学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷参考答案共4页2224m12km8(1)0kkmm,2234kk3422化简得，7mk1212．22722722将km1代入34km中，34(1)mm，121223解得，m．422212又由71212mk12，m，721222从而m，m21或m21．77722所以实数m的取值范围是(,21][21,)．77（21）解：（Ⅰ）由①，得26a.由②，当i2，j3，k4时.2a,6a,12中至少有一个是数列1，2，a，6中的项，但66a，126，故26a，解得a3.经检验，当a3时，符合题意.………………3分（Ⅱ）假设2,3,5是数列A中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列A中的项，nn则有限数列A的最后一项a5，且n4.nn由①，aaaa1.………………4分nnnn123对于数aaa,,，由②可知：aaa；对于数aaa,,，由②可知：nnn21nnn21nnn31aaa.………………6分nnn31所以aa，这与①矛盾.nn23所以2,3,5不可能是数列A中的项.………………7分n（Ⅲ）n的最大值为9，证明如下：………………8分111（1）令A9:4,2,1,,,0,,1,2，则A9符合①、②.………………11分242（2）设Aaann:,12,,an(3)符合①、②，则：（ⅰ）A中至多有三项，其绝对值大于1.n6\n2021~2022学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷参考答案共4页假设A中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设a，a，a，a是A中绝对值最大的nijkln四项，其中1|||aa||aa|||.ijkl则对a，a，a有|||aa|a，|||aa|a，故aa，aa均不是数列A中的项，即aaiklillkllilklnik是数列A中的项.n同理：aa也是数列A中的项.jkn但|||aa|a，|aa||a|.ikkjkk所以aaaaa.ikjkl所以aa，这与①矛盾.ij（ⅱ）A中至多有三项，其绝对值大于0且小于1.n假设A中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（ⅰ）得出矛盾.n（ⅲ）A中至多有两项绝对值等于1.n（ⅳ）A中至多有一项等于0.n综合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知A中至多有9项.n………………14分由（1），（2）可得，n的最大值为9.7