长郡中学2022届考前冲刺卷（一）数学本试卷共6页，22小题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则集合中元素的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知i是虚数单位，若复数z满足，则（）A.1B.C.2D.3.已知函数，则“”是“函数为偶函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知，，则角所在象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.已知函数，则函数零点个数是（）A.2B.3C.4D.56.如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看\n到后四块标语牌的底部，则（）A.40.5米B.54米C.81米D.121.5米7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限的交点为A，直线与C的左支交于点B，且．设C的离心率为e，则（）A.B.C.D.8.已知函数，若不相等的实数，，成等比数列，，，，则、、的大小关系为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则（）A.B.\nC.D.10.中国正在从电影大国迈向电影强国.下面是至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片（含合拍片）与进口影片数量统计图，则下列说法中正确的是（）A.至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比不低于B.至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比逐年提高C.至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的平均数大于进口影片数量的平均数D.至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差等于进口影片数量的方差11.若存在正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是（）A.B.C.D.212.已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（）A.时，B.时，的最小值为9C.时，\nD.时，的最小值为8三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知展开式的二项式系数之和为，则展开式中系数为有理数的项的个数是________．14.在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在曲线附近波动.经计算，，，则实数的值为_________.15.将字母a，A，b，B，c，C排成一列，则仅有一组相同字母的大小写相邻的排法种数为__________．16.如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形（顶点A与P重合）沿圆周逆时针滚动.若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了________轮，此时点A走过的路径的长度为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）若数列是公差为1的等差数列，其中，求数列的前项和．19.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求：（1）；（2）的取值范围．\n21.如图，在四棱锥中，，，，，，.（1）证明：平面（2）若为的中点，求二面角的大小.23.某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：（1）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制．规定：消费金额为2000元、2700元和3200元的消费者分别为普通会员、银卡会员和金卡会员．预计去年消费金额在、、内的消费者今年都将会分别申请办理普通会员、银卡会员和金卡会员．消费者在申请办理会员时，需一次性预先缴清相应等级的消费金额．该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励．其中，普通会员、银卡会员和金卡会员中的“幸运之星”每人分别奖励500元、600元和800元．方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励\n金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励．如果每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）．以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由．25.已知椭圆C：的上顶点为A，右焦点为F，原点O到直线AF的距离为，△AOF的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l与C交于M，N两点，过点M作轴于点E，过点N作轴于点Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．27.设a，b实数，且，函数（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同零点，满足.(注：是自然对数的底数)\n长郡中学2022届考前冲刺卷（一）数学本试卷共6页，22小题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.【9题答案】\n【答案】ABC【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】ACD【12题答案】【答案】BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】4【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】288【16题答案】【答案】①.3②.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1）；（2）【18题答案】【答案】（1）（2）【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）【20题答案】\n【答案】（1）（2）方案2投资较少，理由见解析【21题答案】【答案】（1）（2）存在；或【22题答案】【答案】(1)时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为，单调增区间为；(2)；(3)证明见解析.
