2020~2021学年第二学期高一期末考试数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则的虚部为A.5B.C.D.-5【答案】C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由（1+i）z＝|3+4i|，得z，∴z的虚部为．故选C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都没中靶”的相互对立事件是（）A.至多有一次中靶B.至少有一次中靶C.两次都中靶D.只有一次中靶【答案】B【解析】【分析】直接根据对立事件的定义，可得事件“至少有一次中靶”的对立事件，从而得出结论．【详解】解：根据对立事件的定义可得，事件“两次都没中靶”的对立事件是：至少有一次中靶，故选：．3.已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件\nC.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】当“直线a和直线b相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；当“平面α和平面β相交”，则“直线a和直线b可以没有公共点”，即必要性不成立.故选A.4.从长度为2，4，6，8，95条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求得基本事件总数，以及利用列举法求得构成一个三角形所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】从5条线段中任取3条，共有种不同的取法，其中能构成一个三角形的有：，共有5种，所以这3条线段能构成一个三角形的概率为.故选：B.5.已知是所在平面外一点，分别是的中点，若，则异面直线与所成角的大小是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】连接AC，取中点Q，连接QM、QN，则∠QNM即为异面直线PA与MN夹角，根据数据关系即可求得夹角大小．【详解】根据题意，画出图形如下图所示\n连接AC，取中点Q，连接QM、QN则，则在中，由余弦定理可得所以所以选A【点睛】本题考查了空间异面直线夹角的求法，三角形中位线定理及余弦定理的应用，关键是通过平移得到异面直线的夹角，属于中档题．6.已知的三个顶点､､及平面内一点满足，则与的面积比为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先将变形为，即可得，从而可确定点是边上靠近点的三等分点，进而可求得答案【详解】解：因为，所以，即，所以点是边上靠近点的三等分点，所以，因为的边与的边上的高相等，\n所以，故选：B7.袋中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球､2个黄球，从中不放回的依次摸出两个球，设事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由于表示的是事件A与事件B至少发生一个的概率，所以求出其对立事件的概率，可求得所求的概率【详解】解：设A，B事件一个都不发生的概率为，即表示两次均摸到黄球的概率，由题意可知，所以，故选：A8.圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点(，，三点共线)处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是15°和60°，在楼顶处测得塔顶的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】\n【分析】求得，再在三角形中，运用正弦定理可得，再解直角三角形，计算可得所求值．【详解】解：在直角三角形中，．在中，，，故，由正弦定理，，故．在直角三角形中，．故选：D．二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.下列关于事件和事件的结论正确的是（）A.若，则事件与事件互为对立事件B.若，则事件与事件相互独立C.若事件与事件互为互斥事件，则事件与事件也互为互斥事件D.若事件与事件相互独立，则事件与事件也相互独立【答案】BD【解析】【分析】根据对立事件，互斥事件，相互独立事件的定义逐一判断即可【详解】对于A：例如四个球，选中每个球的概率都一样，为选中两个球的概率：0.5，为选中两个球的概率：0.5，，但事件与事件不是对立事件，故A错误；对于B：若，则事件与事件相互独立，故B正确；对于C：假设一个随机事件由这四个彼此互斥的基本事件构成，则事件中含有事件，事件中含有，则事件与事件不是互斥事件，故C错误；\n对于D：若事件与事件相互独立，与，与，与也相互独立，故D正确综上，正确的有BD故选：BD10.已知复数，，则（）A.在复平面内对应的点位于第四象限B.为纯虚数C.D.满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线【答案】ABCD【解析】【分析】由复数的坐标表示，可判定A正确；由，可判定B正确；由共轭复数的定义，可判定C正确；设，根据，得到，可判定D正确.【详解】由复数在复平面内对应的点的坐标为位于第四象限，所以A正确；由为纯虚数，所以B正确；由，可得，所以C正确；设，可得，，可得，整理得，即满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线，所以D正确.故选：ABCD.11.已知有6个电器元件，其中有2个次品和4个正品，每次随机抽取1个测试，不放回，直到2个次品都找到为止，设随机试验“直到2个次品都找到为止需要测试的次数”的样本空间为，设事件“测试次刚好找到所有的次品”，以下结论正确的是（）A.\nB.事件和事件互为互斥事件C.事件“前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”D.事件“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”【答案】BD【解析】【分析】根据题意逐项分析即可判断出结果.【详解】A：由题意可知，直到2个次品都找到为止需要测试的次数，最少是测试2次，即前2次均测试出次品，最多测试5次，即前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品，所以，故A错误；B：事件为前两次均测试出次品，事件为前2次有1次测试出次品，第3次测试出次品，符合对立事件的条件，故B正确；C：事件“前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”或“前4次测试到全是正品”，故C错误；D：事件“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”，故D正确.故选：BD.12.已知正四棱柱的底面边长为，，设，是的中点，过作直线平面，与平面交于点，则下列结论正确的是（）A.平面B.C.点为线段上靠近点的三等分点D.二面角平面角的正切值为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用三角形中位线定理和线面平行的判定定理判断即可；对于B，由于\n平面，再结合A选项中的平行关系可得结论；对于C，利用三角形相似求出的长可判其位置；对于D，由于平面，所以可得为二面角平面角，然后在中求解即可【详解】解：对于A，连接，因为四边形为正方形，所以为，的中点，，因为是的中点，所以∥,,因为平面，平面，所以平面，所以A正确；对于B，因为平面，平面，所以，因为∥,所以，所以B正确；对于C，因为四边形为正方形，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，所以，则当时，平面，因为点在平面内，所以点在上，在矩形中，∽，所以，因为，，所以，所以，所以点不是线段上靠近点的三等分点，所以C错误；对于D，因为平面，平面,平面，所以，所以为二面角平面角，所以，所以D正确，故选：ABD\n三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．【答案】0.38【解析】【分析】利用相互独立事件及对立事件的概率公式求得结果.【详解】设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.故答案为：0.38.14.已知向量，不平行，向量与平行，则实数___________.【答案】【解析】【分析】根据与平行即可得出，根据平面向量基本定理即可得出，解出即可．【详解】解：因为向量，不平行，向量与平行，\n所以，所以，解得：.故答案为：.15.已知，，，是某球面上不共面的四点，，，与垂直，则此球的体积为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意知，三棱锥可以放入正方体中,故求三棱锥的外接球即求正方体的外接球，因此求出正方体的对角线即为球直径，结合球的体积公式即可求出结果.【详解】根据题意知，三棱锥可以放入正方体中，如图所示，故求三棱锥的外接球即求正方体的外接球，而正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线，由图可知为球直径，所以球半径为，所以球的体积为，\n故答案为：.16.在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，若只知道抽取了男生24人，其平均数和方差分别为170.5和12.96，抽取了女生26人，其平均数和方差分别为160.5和36.96，则据此可得高一年级全体学生的身高方差的估计值为___________.【答案】50.4【解析】【分析】分别计算男生平均身高、女生平均身高、50人平均身高，结合方差公式即可求解.【详解】设24名男生的身高分别为，平均数为，26名女生的身高分别为，平均数为，样本中人的身高平均为，，可得，可得，可得：，可得故答案为：50.4.\n四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系中，已知点，，.（1）求；（2）设实数满足，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算求得向量的坐标，继而求得其模；（2）由向量垂直的坐标表示可求得答案.【详解】解：（1）因为，，，所以，所以，；（2）因为，所以，又，∴，即，；18.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图估计分数的样本数据的70%分位数；（2）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中女生的人数.【答案】（1）77.5；（2）(人).【解析】\n【分析】（1）根据分位数概念，结合题给频率分布直方图计算得出结果即可；（2）根据频率分布直方图计算出样本中分数不小于70的人数，进而计算出样本中男生及女生的人数，最后求出总体中女生的人数.【详解】（1）由频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为，从而有：样本中分数小于70的频率为，又由频率分布直方图可得：样本中分数小于80的频率为0.8，所以样本数据的70%分位数必定位于之间.计算为：所以其分数的样本数据的70%分位数估计值为77.5.（2）由题知，样本中分数不小于70的学生人数为，从而有，样本中分数不小于70男生人数为，进而得，样本中的男生人数为，女生人数为，所以总体中女生人数为(人).19.如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．（1）求证：平面；（2）设，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】\n【分析】（1）连接，交于，利用三角形中位线性质可证得，由线面平行的判定定理可证得结论；（2）作，利用面面垂直的性质可知即为所求四棱锥的高，由棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）证明：连接，设与相交于点，连接，四边是平行四边形，点为的中点，又为的中点，为的中位线，，又平面，平面，平面．（2）平面，平面，平面平面．连接，作，垂足为，平面平面，平面．，，，\n在中，，．四棱锥的体积．20.在中，内角A，，的对边分别为，，，的面积S满足.（1）求；（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用面积和余弦定理化简已知式，得到，再结合范围即得；（2）先利用正弦定理解得，结合代入化简求得，再根据锐角三角形得到，即求得的取值范围.【详解】解：（1）由题得，，，而，故；（2）由正弦定理得，，，故，\n∵为锐角三角形，∴，，∴，∴，，故，即的取值范围是.21.某公司计划购买1种机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.该公司搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，表示购机的同时购买的易损零件数.（1）若，求与的函数解析式；（2）假设这100台机器在购机的同时每台都购买18个易损零件，或每台都购买19个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买18个还是19个易损零件？（3）若该公司计划购买2台该机器，以上面柱状图中100台机器在三年使用期内更换的易损零件数的频率代替1台机器在三年使用期内更换的易损零件数发生的概率，求两台机器三年内共需更换的易损零件数为36的概率.【答案】（1）；（2）购买1台机器的同时应购买19个易损零件；（3）0.1584.\n【解析】【分析】（1）由题意与柱状图，即可用分段函数的形式表示与的函数解析式；（2）分别求出买18个和19个零件所需要的平均数，比较平均数的大小即可；（3）用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的乘法公式求解即可【详解】（1）（2）若每台都购买18个易损零件，则购买易损零件费用的平均数(元)若每台都购买19个易损零件，则购买易损零件费用的平均数(元)所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件.（3）将两台机器编号为1号､2号，设事件“1号机器需要更换的易损零件为个”，事件“2号机器需要更换的易损零件为个”，设事件“两台机器三年内共需更换的易损零件数为36”，，两台机器三年内共需更换的易损零件数为36的概率为0.1584.22.如图，四棱锥P－ABCD中，AD＝2，AB＝BC＝CD＝1，AD∥BC，且PA＝PC，PB＝PD．（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求直线PA与平面PBD所成角的正弦值的最大值．\n【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）取AD中点O，连PO，AC，BO，CO，证明PO⊥平面ABCD即可得平面PAD⊥平面ABCD；（2）过O作OH⊥PF交PF于H，求出点A到平面PBD的距离，利用求解即可.【详解】（1）取AD中点O，连PO，AC，BO，CO，设AC与BO交于E，CO与BD交于F，连PE，PF．在等腰梯形ABCD中，由AO∥BC且AO＝BC＝AB，故四边形AOCB为菱形，∴AC⊥BO．又PA＝PC，且E为AC中点，∴AC⊥PE，又PE∩BO＝E，∴AC⊥平面PBO．又∵POÌ平面PBO，∴AC⊥PO；同理，由四边形DOBC为菱形，且PB＝PD，∴BD⊥PO．又直线AC与BD相交，∴PO⊥平面ABCD，又∵POÌ平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．（2）设，过O作OH⊥PF交PF于H，由BD⊥平面POC，故BD⊥OH．又PF∩BD＝F，∴OH⊥平面PBD，，故．又AD＝2OD，故点A到平面PBD的距离．设直线PA与平面PBD所成角的大小为．则．当且仅当，即时取等号，\n故直线PA与面PBD所成角的正弦值的最大值为．【点睛】关键点点睛：根据线面角的正弦值，即斜线端点到平面距离与斜线段长的比值得到关于变量的函数关系，利用均值不等式求最值是关键，属于中档题.
