唐山市2020~2021学年度高一年级第二学期期末考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试者科目用2B铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一井收回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.设复数，则的虚部为（）A.2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接根据复数的虚部的概念求解即可.【详解】解：复数，故虚部为.故选：B2.已知向量，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设，利用向量的坐标运算列方程组求解.【详解】设，因为，所以，又，所以，\n解得，.故.故选：B.3.某小区约有3000人，需对小区居民身体状况进行分层抽样调查，样本中有幼龄12人，青壮龄34人，老龄14人，则该小区老龄人数的估计值为（）A750B.1700C.600D.700【答案】D【解析】【分析】由题知样本容量为人，进而得抽样比为，再根据抽样比计算该小区老龄人数的估计值即可.【详解】解：根据题意，样本容量为人，所以样本抽样比为，所以该小区老龄人数约为人.故选：D4.为了了解某道口堵车情况，在今后的三天中，假设每一天堵车的概率均为．现采用模拟试验的方法估计这三天中恰有两天堵车的概率：先利用计算器产生到之间的随机整数，用、、、表示堵车，用、、、、、表示不堵车：再以每三个数作为一组，代表这三天的堵车情况．经试验产生了如下组随机数：据此估计，这三天中恰有两天堵车的概率近似为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】找出表示事件“三天中恰有两天堵车”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果.【详解】表示事件“三天中恰有两天堵车”的数组有：、、、、，共组，\n所以，这三天中恰有两天堵车概率近似为.故选：A.5.如图，直角梯形的上、下两底分别为和，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出直角梯形的斜二测直观图，计算出直观图的面积，即可得解.【详解】作出直角梯形的斜二测直观图如下图所示：其中轴，且，，，所以，梯形的高为，因此，直观图的面积为.故选：B.6.同时投掷两个质地均匀的骰子，两个骰子的点数至少有一个是奇数的概率为（）A.B.C.D.【答案】D\n【解析】【分析】根据题意，先考虑两个骰子的点数都是偶数的概率，再根据对立事件的概率求解即可.【详解】解：同时投掷两个质地均匀的骰子，所有的结果有种，其中两个骰子的点数都是偶数有种，所以两个骰子的点数都是偶数的概率为，所以两个骰子的点数至少有一个是奇数的概率为.故选：D7.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，若点P为CD的中点，且，则（）A.3B.C.2D.1【答案】B【解析】【分析】以向量为基底，将分别表示出来，可得到关于的方程，即可求出和.【详解】由题知,,,，,\n,解得，.故选：B.【点睛】本题考查向量线性运算、向量的基本定理，属于基础题.8.在中，角，，所对的边分别为，，，，是边上一点，，且，则的最小值为（）A.B.12C.D.20【答案】A【解析】【分析】由题知，进而得，即，再根据基本不等式求解即可.【详解】解：如图，因为，是边上一点，，且，所以在中，，因为，所以，即，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为故选：A\n二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知两条直线，，两个平面，．下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则【答案】AD【解析】【分析】根据空间线面位置关系依次分析各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，由于两条平行线中的一条平行于已知平面，则另一条也平行于该平面，故A选项正确；对于B选项，若，，，则或异面，故B选项错误；对于C选项，若，，则或，故C选项错误；对于D选项，若，，，根据线面垂直的性质与判定定理易知，故D选项正确.故选：AD10.在中，，则可以是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】\n【分析】由正弦定理得，进而根据余弦定理得，再根据各选项即可得答案．【详解】解：因为，所以由正弦定理得，所以，因为，所以所以可以是中的任意角.故选：AB11.一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（）A.2个小球不全为红球B.2个小球恰有1个红球C.2个小球至少有1个红球D.2个小球都为绿球【答案】BD【解析】【分析】根据互斥事件与对立事件的定义可得答案.【详解】从口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，这两个球可能为2个红色球、2个绿色球、2个蓝色球、1个红色1个蓝色、1个红色1个绿色、1个蓝色1个绿色共6种情况，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有B，2个小球恰有1个红球；C，2个小球都为绿球，而2个小球不全为红球与事件2个小球都为红色是对立事件；2个小球至少有1个红球包括2个红色球、1个红色1个蓝色、1个红色1个绿色.\n故选：BD.12.如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成，若为是的中点，则在的翻折过程中，下列命题正确的是（）A.线段的长为定值B.异面直线与所成角为C.直线与平面所成角为定值D.二面角可以为直二面角【答案】ACD【解析】【分析】对于A，取的中点，连接，然后证明四边形为平行四边形即可；对于B，假设异面直线与所成角为，然后进行推理得出矛盾；对于C，由A可知直线与平面平行，所以所成角为定值；对于D，当时，计算为钝角，从而可得答案【详解】解：对于A，取的中点，连接，因为为是的中点，所以∥,，因为为边的中点，所以,因为∥，，所以∥，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平行四边形中，，，所以为等边三角形，所以为定值，所以线段的长为定值，所以A正确，对于B，若异面直线与所成角为，则，因为行四边形中，\n，，所以为等边三角形，是顶角为的等腰三角形，所以，所以，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，这与相矛盾，所以B错误，对于C，由A可知，四边形为平行四边形，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，所以直线与平面所成角为定值，对于D，设，则，因为，所以，取的中点，连接，当向上折时，时，，所以此时，所以是二面角的平面角，因为，，所以，所以为钝角，而当沿直线开始折时，为锐角，所以二面角可以为直二面角，所以D正确，故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用0.5mm黑色签字笔直接答在试题卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚，\n三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横线上．13.已知复数满足，则______．【答案】【解析】【分析】利用复数的模长公式和复数的除法法则化简可得复数.【详解】由题意可得.故答案为：.14.在中，，，，则______．【答案】或【解析】【分析】根据正弦定理求解即可.【详解】解：因为，，，所以由正弦定理得，因为，所以或故答案为：或15.甲、乙两人进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛胜负情况知道，每一局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果比赛采用“三局二胜”制（先胜二局者获胜），则前两局打平且甲获胜的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据条件，利用独立事件求概率.【详解】前两局打平，第三局甲获胜的概率.\n故答案为：16.已知圆锥底面半径为1，母线长为3，该圆锥内接正方体的体积为______．【答案】【解析】【分析】作出该几何体的轴截面，并设正方体的边长为，进而根据几何关系得，进而计算体积即可.【详解】解：作出该几何体的轴截面，如图所示，因为圆锥的底面半径为1，母线长为3，所以圆锥的高为，即，设正方体的边长为，由轴截面的性质得，即，解得,所以圆锥内接正方体的体积为故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70\n分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量，．（1）若与平行，求实数的值；（2）若与垂直，求实数的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题知，进而根据向量共线的坐标表示计算即可；（2）由题知，，再根据向量垂直的坐标表示计算即可.【详解】解：（1），．因为与平行，所以，解得．（2），，因为与垂直，所以，即，解得．18.某学校6月份定为安全教育宣传月，6月底进行安全教育测试，试卷满分为120分，随机抽取了100名学生的试卷进行研究，得到成绩的范围是（单位：分），根据统计数据得到如下频率分布直方图：\n（1）求的值；（2）估计该校安全教育测试成绩的中位数（精确到小数点后两位）；（3）若成绩在赋给1颗星，赋给2颗星，赋给3颗星，将频率视作概率，若甲乙两位同学参赛且相互不影响，求两个一共得4颗星的概率．【答案】（1）；（2）中位数为86.43分；（3）0.0436.【解析】【分析】（1）根据频率和为1，求的值；（2）利用中位数公式，列式求中位数；（3）设甲得到“星”的颗数为，乙得到“星”的颗数为，分别求和，再求.【详解】解：（1）由得．（2）第一、二、三组的频率分别为0.16，0.16，0.28，设中位数为，则．解得．所以估计该校安全教育测试成绩的中位数为86.43分．（3）设甲得到“星”的颗数为，乙得到“星”的颗数为．，，；且且且甲乙两位同学一共得4颗星的概率为0.0436．19.中，内角，，所对的边分别为，，，已知\n，．（1）求角；（2）若的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理将转化为，而代入化简可得，再结合，可得，从而可求出角；（2）由的面积为，可求得，再由，求出的值，然后利用余弦定理可求出的值【详解】解：（1）由正弦定理得，即．所以．因为，所以，．（2）因为，所以．因为，所以，．由余弦定理得，所以．20.在长方体中，底面是边长为2的正方形．\n（1）若为的中点，试在上确定一点，使得平面；（2）直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积．【答案】（1）当为的中点时，平面；（2）.【解析】【分析】（1）由于，只要取为的中点，可得线线平行，从而得线面平行．（2）过点作于点，连结．由线面角大小证明是中点，从而有，然后易得棱锥体积．【详解】解：（1）当为的中点时，平面．如图，取的中点为，连结，，，．因为，所以四边形为平行四边形，所以．因为，分别为，的中点，所以．所以．又平面，平面，所以平面．\n（2）如图，过点作于点，连结．因为平面，平面，所以，又，平面．所以平面．所以直线与平面所成的角为，在中，，由已知长方体的四个侧面为全等的矩形，所以．所以点为的中点．所以，，，四棱锥的体积．21.某研究所对两块试验田水稻的株高进行调研，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道第一块试验田抽取了水稻株，其平均数和方差分别为（单位：）和，另一块试验田抽取了水稻株，其平均数和方差分别为（单位：）和，你能由这些数据计算出总样本的方差，并对这种水稻的方差作出估计吗？\n【答案】估计这种水稻的总体方差为．【解析】【分析】计算出总体的平均数为，然后代入总体的方差公式可得结果.【详解】把第一块试验田样本记为、、、、，其平均数为，方差为，把第二块试验田样本记为、、、、，其平均数为，方差为，把总样本数据的平均数记为，方差为．根据方差的定义，总样本方差为．由，可得．同理可得．因此，．①由，，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为．把已知两块试验田样本平均数和方差的取值代入①，可得所以总样本的方差为，并据此估计这种水稻的总体方差为．22.在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，为等边三\n角形，，，点在上，．（1）求证：；（2）求二面角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）如图，取的中点，连接，由侧面底面得底面，故，再根据几何关系证明，进而证明平面，故；（2）取的中点为，连结，，故，再证明平面得，进而得即为二面角的平面角，再根据几何关系求解即可.【详解】解：（1）如图，取的中点，连接．因为，所以．因为侧面底面，侧面底面，所以底面，平面，所以．，，．在中，；\n在中，．所以．因为，所以，即．又因为，所以平面，平面，所以．（2）取的中点为，连结，，则．因为侧面底面，侧面底面，因为，所以平面．又因为平面，所以，，所以平面．又因为平面，所以．所以即为二面角的平面角．在中，，\n所以二面角平面角的正切值为．
