绝密★启用前2021-2022学年下学期期末测评试卷高二数学一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知复数，则（）．A．0B．C．D．2．已知随机变量X的分布列如下所示，则（）．X012PAA．B．C．D．3．的展开式中所有奇数项的二项式系数和为（）．A．128B．256C．512D．10244．已知函数，则（）．A．B．5C．D．15．由曲线，，，所围成图形的面积为（）．A．B．C．2D．16．下列说法中正确的是（）．A．对于独立性检验，随机变量的观测值越小，判定“两个分类变量有关系”犯错误的概率越小B．若事件A与B相互独立，且，，则C．若随机变量X服从正态分布且，则D．在回归分析中，对一组给定的样本数据，，…，，样本数据的线性相关程度越强，则r越接近17．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则k的最小值为（）．\nA．1B．2C．3D．48．2022年4月，某地区加强了对“一盔一带”安全守护行动的执法管理，交警对某路口不戴头盔的骑行者进行了统计，得到如下数据（其中y表示第x天不戴头盔的人数）：x1248y11549325若y关于x的回归方程为，则（）．A．B．4C．6D．9．“霍姆斯马车理论”是指各种资源都得到最合理配置和使用的一种理论．一个富有效率的团队不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的使用和发挥．某科研团队共有10名研究人员，编号分别为1，2，…，9，10，要均分成甲、乙两个科研小组，其中1，2号研究员组合在一起，3，4号研究员组合在一起，其余研究员随意搭配就能达到最佳效果，那么达到最佳效果的不同的分组方式共有（）．A．26种B．46种C．52种．D．126种10．2022年北京冬奥会开幕式中，当《构建一朵雪花》这个节目开始后，一朵巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一朵雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科克曲线”，是瑞典数学家科克在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．若第1个图形中的三角形的周长为1，则第10个图形的周长为（）．A．B．C．D．11．已知点P在函数的图象上，点Q在直线上，记，则（）．A．M的最小值为B．当M最小时，点Q的横坐标为C．M的最小值为D．当M最小时，点Q的横坐标为12．已知，，，其中，，，则a，\nb，c的大小关系为（）．A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知复数满足，则复平面内由点形成的区域的面积为______．14．某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动，现有甲、乙、丙、丁四人，兵乓球、篮球、羽毛球、网球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能从中选择一项活动，则四人中恰有两人选择同一活动的情况有______种．15．在的展开式中，除项之外其余所有项的系数之和为______．16．已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256．在的展开式中，______．（1）求n的值；（2）展开式中系数最大的项是第几项？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分．18．（本小题满分12分）（1）已知a，，，求证：；（2）已知a，b，，，求证：．19．（本小题满分12分）小明大学毕业后准备自主创业，他计划在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x（单位：）和日均客流量y（单位：百人）的数据，初步判断x与y线性相关，并计算得，\n，，．（1）求y关于x的回归直线方程；（2）已知服装店每天的经济效益，该商场现有的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小明应该租多大面积的商铺？参考公式：回归直线方程中，，．20．（本小题满分12分）冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，一时成为火爆的商品．某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如下表：年龄/岁抽取人数102025151875有意向购买的人数10182291042（1）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.9％的把握认为是否有意向购买冰墩墩与人的年龄有关；年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计有意向购买冰墩墩的人数无意向购买冰墩墩的人数总计（2）若从年龄在的被调查人群中随机选出3人进行调查，设这3人中有意向购买集个冰墩墩的人数为X，求X的分布列和数学期望．（3）某校为了使更多学生了解冰雪运动，特在全校进行了冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：竞赛得分频率0.10.10.30.30.2如果规定竞赛得分在为优秀，现用频率估计概率，从该校学生中随机抽取3人，记竞赛成绩优秀的人数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望．\n附：，．0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（本小题满分12分）已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若不等式恒成立，求实数a的值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）若点P的坐标为，直线l与圆C相交于A，B两点，求的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）函数的最小值为m，正实数a，b满足，求的最小值．参考答案2021-2022学年下学期期末测评试卷高二数学\n1．C，∴，故选C．2．D由分布列的性质得，∴，故选D．3．C的展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故选C．4．D，∴，即，∴，则，故选D．5．C所围成图形的面积，故选C．6．B对于独立性检验，随机变量的观测值越小，判定“两个分类变量有关系”犯错误的概率越大，故A错；若随机变量X服从正态分布且，则，故C错；样本相关系数r的绝对值越接近1，样本数据的线性相关程度越强，故D错；由事件独立性的概念知B对，故选B．7．B可以检验当时，不等式才成立，则k的最小值为2，故选B．8．D令，由表格数据得，，代入回归方程得，解得，故选D．9．C\n当1，2，3，4号研究员在一组时，有种情况；当1，2号研究员在一组，3，4号研究员在另一组时，有种情况，共52种情况，故选C．10．B用数列表示第n个图形的周长，由，，，…，得数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以，故选B．11．B直线l的斜率为，令，得，∴当M最小时，点P的坐标为，此时点P到直线的距离为，所以M的最小值为，选项A，C都不正确．过点P且垂直于l的直线方程为，联立两直线的方程，得点Q的横坐标为，故选B．12．A将题目中等式整理，得，，，构造函数，，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，函数的大致图象如图所示．\n因为，，，且，，，所以由图可知．故选A．13．，所以，所以复平面内由点形成的区域是以为圆心，1为半径的圆及其内部，所以所求面积为．14．144四人中恰有两人选择同一活动的情况有种．15．240令，得的展开式中所有项的系数之和为0，只有当与相乘时才会出现项，故项的系数为，所以除项之外其余所有项的系数之和为240．16．，∵，∴在上单调递增，且x从右侧趋向于0时，趋向于，x趋向于时，趋向于，∴，使得，即，两边同时取对数，得．\n当时，，单调递减；当时，，单调递增．∴（当且仅当，即时取等号），∴，得，∴实数a的取值范围为．17．（1）若选①，则，∴．若选②，则，∴．若选③，则，∴．（2）的展开式的通项为．设第项的系数最大，则，解得，∴或3．∴展开式中系数最大的项为第3项和第4项．18．（1）要证，只需证，只需证．∵，当且仅当时，等号成立，∴，即，∴，从而得证．（2）∵，∴，当且仅当时，等号成立，即．\n19．（1）∵，，∴，．∴y关于x的回归直线方程为．（2）单位面积的经济效益，令，则．由二次函数的性质知，当时，Z最大，∴小明应该租的商铺．20．（1）列联表如下所示，年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计有意向购买冰墩墩的人数502575无意向购买冰墩墩的人数52025总计5545100则的观测值，∴有99.9％的把握认为是否有意向购买冰墩墩与人的年龄有关．（2）由题意，X的可能取值为0，1，2，3，，，，，∴X的分布列为X0123P∴．\n（3）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取1人，竞赛成绩优秀的概率为0.2，∴随机变量．∴Y的可能取值为0，1，2，3，，，，，∴Y的分布列为Y0123P0.5120.3840.0960.008．21．（1）当时，，．∴，令，得中．x0＋0－0＋∴的极大值为，的极小值为．（2）由题意，，即在时恒成立．令，易知在上单调递增，且x从右侧趋向于0时，趋向于，x趋向于时，趋向于，∴，从而问题转化为在时恒成立．不妨令，，则，当时，在R上恒成立，在R上单调递增，且，∴当时，，不符合题意，舍掉．当时，令，得，令，得，\n∴在上单调递减，在上单调递增，∴．从而问题转化为，即．令，，则，∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴，∴要使，则．综上，a的值为1．22．（1）由消去t，得，即直线l的普通方程为．由，得，∴圆C的直角坐标方程为．（2）∵点在直线l上，且直线l的斜率，∴直线l的参数方程为（为参数），将其代入圆C的直角坐标方程，得，，设A，B对应的参数分别为，，则，，，均大于0，∴．23．（1）不等式等价于，即，解得；\n或，解得；或，解得．综上，不等式的解集为．（2）∵，∴函数的最小值为1，即，∴．∴，当且仅当时，等号成立，∴的最小值是16．
