宁波市2021学年第二学期期末试题高二数学试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，则（）A.B.C.D.【答案】C2.若（，i为虚数单位），则（）A.2B.0C.D.1【答案】B3.甲、乙、丙、丁四位大学生将作为志愿者对A、B两个场馆进行志愿服务，每个场馆安排两名志愿者，每名志愿者只去一个场馆，则不同的安排方法种数为（）A.6B.12C.18D.24【答案】A4.在“2022年北京冬季奥运会”闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下：观看场数01234567观看人数占调查人数的百分比从表中可以得出正确的结论为（）A.表中m的数值为8B.估计观看比赛场数的中位数为3C.估计观看比赛场数的众数为2D.估计观看比赛不低于4场的学生约为720人\n【答案】B5.已知，则的值为（）A.3B.C.4D.【答案】A6.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）A.B.C.的图象关于直线对称D.的图象向右平移个单位长度后的图象关于原点对称【答案】D7.已知平面向量满足，，，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D8.已知函数有两个极值点，且，则下列选项正确的是（）A.，B.，\nC.，D.，【答案】C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在二项式的展开式中，下列说法正确的是（）A.每项系数之和为1B.二项式系数之和为729C.含有常数项D.含有x的一次幂项【答案】AC10.已知函数，若存在实数，有，则下列选项一定正确的是（）A.B.C.在内有两个零点D.若，则在区间内有零点【答案】BD11.甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球.以分别表示从甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以分别表示从乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，则下列结论正确的是（）A.事件与事件互斥B.事件与事件相互独立C.D.【答案】AD12.已知实数，且，则下列选项正确的是（）A.B.\nC.D.【答案】ABD第Ⅱ卷（非选择题共0分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则_______．【答案】14.已知，则_______．【答案】##15.已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_______．【答案】16.如图，D，E，F分别是边长为4的正三角形三边的中点，将，，分别沿向上翻折至与平面均成直二面角，得到几何体．则二面角的余弦值为_____；几何体的外接球表面积为_____．【答案】①②.##四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.为助力新冠肺炎疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场．为了\n对该产品进行合理定价，采用不同的单价在平台试销，得到的数据如下表所示：单价元销量万件（1）求单价的平均值；（2）根据以上数据计算得与具有较强的线性相关程度，并由最小二乘估计求得关于的经验回归方程为，求的值．附：【答案】（1）（2）18.在①；②．这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在中，角的对边分别为，的面积为，______．（1）求角的大小；（2）若，求角的取值范围．【答案】（1）（2）19.为了解学校学生的睡眠情况，决定抽取20名学生对其睡眠时间进行调查，统计如下：性别/睡眠时间足8小时不足8小时足7小时不足7小时\n男生351女生173（1）记“足8小时”为睡眠充足，“不足8小时”为睡眠不充足，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“睡眠充足与否”与性别有关；睡眠情况性别合计男生女生睡眠充足睡眠不充足合计（2）现从抽出的11位女生中再随机抽取3人，记X为睡眠时间“不足8小时足7小时”的女生人数，求X的分布列和均值．附：；0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）表格见解析，没有90%的把握认为“睡眠充足与否”与性别有关（2）分布列见解析，【小问1详解】由题意，填表如下：睡眠情况性别合计男生女生\n睡眠充足314睡眠不充足61016合计91120由表得．因为，所以没有90%的把握认为“睡眠充足与否”与性别有关【小问2详解】由题意，睡眠时间“不足8小时足7小时”的女生人数共7人，X可取0，1，2，3，且X服从超几何分布，，，即X0123P．20.如图，在三棱锥中，底面．\n（1）证明：平面平面；（2）若，直线与平面所成角的大小为，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）【小问1详解】证明：因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．【小问2详解】解：过点A作，垂足为H，连接．由（1）知平面平面，又，平面平面，平面，所以平面，所以就是直线与平面所成角，即．在中，，故．在中，．在中，因为，所以，即，\n所以为等腰直角三角形，所以．21.己知函数，其中．（1）当时，解关于的不等式；（2）若，，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）22.已知函数．（1）求证：；（2）若为函数的极值点，①求实数a的取值范围；②求证：．【答案】（1）证明见解析（2）①；②证明见解析【小问1详解】要证，只需证，即证．\n设，因为，所以，即成立．小问2详解】①，当时，令，则∴在上单调递减，在上单调递增，则只有一个极小值点，符合题意当时，设，则．∴在上单调递增．又因为，对，取满足为，则所以有唯一实根∴在上单调递减，在上单调递增，则只有一个极小值点，符合题意当时，令，解得．在上单调递增，在上单调递减当时，∵，则当时，\n所以要使函数存在极值点，只需，即，解得．综上所述：当时，函数存在极值点．②由①得，所以，要证，只需证．由，则．当时，因为，所以．当时，因为，所以，要证，只需证，即证，即证对成立．令，因为，所以，即时，成立．综上所述，成立．
