内江市高中2023届零模试题数学（文科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上．）1.椭圆的长轴长是A.2B.C.4D.【答案】D【解析】【分析】现将椭圆的方程化为标准方程，由此求得的值，进而求得长轴长.【详解】椭圆方程变形为，，∴，长轴长为.故选D.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质.要注意长轴是而不是.属于基础题.2.在复平面内，设z=1+i（i是虚数单位），则复数+z2对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【详解】试题分析：根据复数四则运算进行化简，结合复数的几何意义即可得到结论．解：∵z=1+i，∴+z2=+（1+i）2==1﹣i+2i=1+i，对应的点为（1，1），位于第一象限，故选A．点评：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算进行化简是解决本题的关键．3.法国数学家费马观察到，,，都是质数，于是他提出猜想：任何形如的数都是质数，这就是著名的费马猜想．半个世纪之后，善于发现的欧拉发现第5个费马数不是质数，从而推翻了费马猜想，这一案例说明\nA.归纳推理，结果一定不正确B.归纳推理，结果不一定正确C.类比推理，结果一定不正确D.类比推理，结果不一定正确【答案】B【解析】【分析】根据归纳推理的概念去理解和判断．【详解】由于费马猜想是由几个数值，根据几个数值的特点得到的结论，是由特殊到一般的推理过程，所以属于归纳推理．由于得出结论的过程没有给出推理证明，所以归纳推理的结果不一定正确，故选：B．【点睛】本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系．4.函数的单调递减区间为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求导，解不等式可得.【详解】的定义域为解不等式，可得，故函数的递减区间为.故选：B．5.“”是“为双曲线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】\n【分析】先求方程表示双曲线的条件，再根据两者相等关系确定充要关系.【详解】因为方程表示双曲线，所以，又当时，方程表示双曲线，因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.故选：C6.下面是两个变量的一组数据：x12345678y1491625364964则这两个变量之间的线性回归方程是（）A.y=－16+9xB.y=31－xC.y=30－xD.y=－15+9x【答案】D【解析】【详解】试题分析：由表格数据可知线性正相关，因此x系数为正，，代入回归方程可知y=－15+9x成立7.函数的最小值为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】函数的定义域为，再根据函数单调求得最小值．【详解】由题得，，令解得\n，则当时f(x)为减函数，当时，f(x)为增函数，所以点处的函数值为最小值，代入函数解得，故选C．【点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值．8.“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品．2021年前三个季度的收人情况如图所示，已知直播间每个季度的总收入都比上一季度的总收入翻一番，则下列说法正确的是（）A.该直播间第三季度服装收入低于前两个季度的服装收入之和．B.该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的．C.该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的．D.该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍．【答案】C【解析】【分析】利用条形统计图求解判断.【详解】设第一季度的总收入为，则第二季度的总收入为，第三季度的总收入为.对于选项A，第一、二季度服装收入和为，第三季度服装收入为，故A错误；对于选项B，第一季度化妆品收入为，第三季度化妆品收入为，第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的，故B错误；对于选项C，第二季度的化妆品收入为，第三季度的化妆品收入为\n，第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的，故C正确；对于选项D，第三季度总收入是第一季度总收入的倍，故D错误.故选：C．9.已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（）A.B.C.D.9【答案】A【解析】分析】由已知可得，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】因为，所以，又记，则，②2-①整理得：，所以故选：A10.已知函数，对于以下3个命题：\n①函数有2个极值点②函数有3个零点③点是函数的对称中心其中正确命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】利用导数研究的单调性确定极值情况，结合零点存在性定理判断零点个数，根据判断对称中心.【详解】令，可得，所以、上，递增；上，递减；所以是的极值点，又，，，所以在上存在一个零点，所以有2个极值点，1个零点，①正确，②错误；，故是函数的对称中心，③正确.故选：C11.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为A.B.C.D.【答案】D【解析】\n【详解】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】函数与的图象上存在关于轴对称的点，即有解，即函数与函数的图象有交点，在同一坐标系内画出函数与函数的图象．由图象，得，即；故选B.\n点睛：函数图象的对称问题主要涉及以下情形：①函数与的图象关于轴对称；②函数与的图象关于轴对称；③函数与的图象关于对称；④函数与的图象关于直线对称.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.随机抽取某产品件，测得其长度分别为，，…，，则下图所示的程序框图输出的表示这组数据的特征数是______．【答案】平均数【解析】【分析】根据流程图可知，该程序的作用是计算依次输入n个数的算术平均数.【详解】由题意知，当时，，当时，，\n当时，，以此类推，，表示样本的平均数.故答案为：平均数14.抛物线与过焦点的直线交于两点，为原点，则________.【答案】【解析】【详解】(1)当直线AB轴时,在中,令,有,则,得.(2)当直线AB与轴不互相垂直时,设AB的方程为:由消去,整理得,显然.设,则,得=+=+===.综(1),(2)所述,有．15.若函数有两个零点，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】分离常数，将问题转化为y＝与y＝的图象有两个交点，令\n（x∈R），利用导数求出的最值，再给合的正负分析即可得答案．【详解】解：因为有两个零点，即有两个零点⇒有两个解，即y＝与y＝的图象有两个交点，令（x∈R），则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，又因当时，＝＜0，当时，＝＞0，当时，＝＝0，要使y＝与y＝的图象有两个交点，所以0＜＜，即故的取值范围为．故答案为：．16.若双曲线上存在两个点关于直线：对称，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】设对称的两点为，，直线的方程为与双曲线联立可得利用根与系数的关系以及中点坐标公式可求的中点，利用判别式\n以及在直线上即可求解.【详解】设双曲线存在关于直线对称的两点为，，根据对称性可知线段被直线垂直平分，且的中点在直线上，且，故可设直线的方程为，联立方程，整理可得，∴，，由，可得，∴，，∵的中点在直线上，∴，可得，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用直线与直线垂直可得直线的斜率为，可设直线的方程为，代入双曲线可得关于的一元二次方程，利用判别式，可以求出的范围，利用韦达定理可得的中点再代入即可与的关系，即可求解.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演\n算步骤．）17.年北京冬奥会即第届冬季奥林匹克运动会在年月日至月日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有人对冰壶运动没有兴趣．（1）按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中，抽取人作为冰壶运动的宣传员，求男生、女生各选多少人?（2）完成下面列联表，并判断是否有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关?有兴趣没有兴趣合计男女合计附：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）男生选人，女生选人.（2）有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关.【解析】【分析】对于小问1，由题意计算对冰壶感兴趣的男女生人数，根据其比例，再分别计算抽取的人中男女生人数；对于小问2，完成列联表，代入，计算其近似值，与比较大小，进行判断.\n【小问1详解】对冰壶运动感兴趣的人数为人，女生中有人对冰壶运动没有兴趣，所以女生中有人对冰壶运动有兴趣，所以男生中有人对冰壶运动有兴趣，按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中，抽取人作为冰壶运动的宣传员，其中抽取的男生为人，女生为人，即男生选人，女生选人.【小问2详解】由题意，完成下面列联表如下有兴趣没有兴趣合计男15050200女12080200合计270130400，所以有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关.18.在中，，，与BC斜率的积是．（1）求点的轨迹方程；（2），求PC的中点的轨迹方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设点C坐标，根据题意直接列方程可得；（2）由相关点法可得.\n【小问1详解】设点C坐标为，由题知整理得点的轨迹方程为【小问2详解】设点M坐标为，点C坐标为由中点坐标公式得，即将代入得点的轨迹方程为：19.已知函数．（1）若在上是单调函数，求a的取值范围；（2）证明：当时，．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）求导，，判断其导函数取得正负的区间，从而得出函数的单调性，继而建立关于a的不等式组，可得答案．（2）由（1）知．设，求导，分析得出函数的的单调性，求得其最大值，从而有，可得证．【详解】（1）解：，，当时，；当时，．\n∴在上递减，在上递增．又在上是单调函数，∴或，即或，∴．（2）证明：由（1）知．设，则，令得；令得．∴．∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.20.已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.\n试题解析：（Ⅰ）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.21.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意设直线的方程为\n，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系结合抛物线的定义，由列方程可求出的值，从而可求出抛物线的方程，（2）结合（1）解方程求出两点的坐标，从而可求出三角形的面积【详解】解：（1）抛物线的焦点为，所以直线的方程为，由消去得，所以，由抛物线定义得，即，所以.所以抛物线的方程为.（2）由知，方程，可化为，解得，，故，.所以，.则面积22.已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若不等式对任意恒成立，求的最大值．【答案】（1）单调性见解析；（2）【解析】\n【分析】（1）求出导函数，通过，时，求解导函数的正负，判断导函数的符号，求解函数的单调区间即可．（2）对任意恒成立，等价于恒成立.构造函数求出导数，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后转化求解即可．【小问1详解】解：，当时，恒成立，在上单调递增；当时，令得，令得，在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】依题意得：对任意恒成立，等价于恒成立.令，则，则当时，，当时，，又，在上单调递减，在上单调递增，，，即的最大值为.【点睛】思路点睛：函数中恒成立或有解问题，可分离变量，转化为或来求.
