内江市高中2023届零模试题数学（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上.）1.椭圆的长轴长是A.2B.C.4D.【答案】D【解析】【分析】现将椭圆的方程化为标准方程，由此求得的值，进而求得长轴长.【详解】椭圆方程变形为，，∴，长轴长为.故选D.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质.要注意长轴是而不是.属于基础题.2.在复平面内，设z=1+i（i是虚数单位），则复数+z2对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【详解】试题分析：根据复数的四则运算进行化简，结合复数的几何意义即可得到结论．解：∵z=1+i，∴+z2=+（1+i）2==1﹣i+2i=1+i，对应的点为（1，1），位于第一象限，故选A．点评：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算进行化简是解决本题的关键．3.已知，，则（）A.B.C.0D.1【答案】B\n【解析】【分析】利用空间向量的夹角余弦值公式即可求得.【详解】解：，，.故选：B.4.函数的单调递减区间为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求导，解不等式可得.【详解】的定义域为解不等式，可得，故函数的递减区间为.故选：B．5.“”是“为双曲线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先求方程表示双曲线的条件，再根据两者相等关系确定充要关系.【详解】因为方程表示双曲线，所以，又当时，方程表示双曲线，因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.\n故选：C6.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有A.6种B.12种C.30种D.36种【答案】C【解析】【详解】由=30选C.7.如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】连接交于，若是的中点，连接，易得，即直线与直线夹角为或补角，进而求其余弦值.【详解】连接交于，若是的中点，连接，\n由为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知：是的中点，所以，故直线与直线夹角，即为与的夹角或补角，若，则，，面，面，则，而，又，面，故面，又面，所以.所以，，△中.故选：C8.点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先由导数的几何意义，求出切线的斜率的范围，再求出倾斜角的范围即可.【详解】解：由，\n则，则，又，所以，故选：D.【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题.9.已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（）A.B.C.D.9【答案】A【解析】【分析】由已知可得，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】因为，所以，又记，则，②2-①整理得：，所以故选：A\n10.随机变量的分布列如表所示，若，则（）01A.B.C.5D.7【答案】C【解析】【分析】由，利用随机变量X的分布列列出方程组，求出，，由此能求出，再由，能求出结果．【详解】由随机变量X的分布列得：，解得，，故选：C．【点睛】本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，\n考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围（）A.B.C.D.【答案】B\n【解析】【分析】根据条件转化为在时，有解即可，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点问题，可以数形结合进行求解即可．【详解】解：与图象上存在关于轴对称的点，等价为在时，有解即可，则，即，在上有解即可，设，，作出两个函数的图象如图：当时，，当，将的图象向右平移，此时一定与有交点，满足条件，当时，则，得，综上，即实数的取值范围是故选：B．【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数与方程的应用，结合条件进行转化为在时，有解即可，利用函数与方程之间的关系利用数形结合是解决本题的关键，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）\n13.的展开式中的系数为______（用数字作答）.【答案】9【解析】【分析】根据二项式定理求出含的项，即可得其系数.【详解】由的展开式通项为，当时，当时，所以含的项为.故的系数为9.故答案为：914.抛物线与过焦点的直线交于两点，为原点，则________.【答案】【解析】【详解】(1)当直线AB轴时,在中,令,有,则得.(2)当直线AB与轴不互相垂直时,设AB的方程为:由,消去,整理得,显然.设,则,得=+=+===.\n综(1),(2)所述,有．15.已知函数有两个零点，a的取值范围是_____；【答案】【解析】【分析】首先求出函数导函数，再对参数分类讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【详解】解：因为所以．（i）设，则，只有一个零点．（ii）设，则当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．又，，取满足且，则，故存在两个零点．（iii）设，由得或．若，则，故当时，，因此在上单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．若，则，故当时，；当时，．因此在上单调递减，在上单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．综上可得的取值范围为．故答案为：\n16.若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】设双曲线上两点，，，，直线的方程是，代入双曲线方程化简得，的中点是，，利用判别式大于0，韦达定理结合的中点在直线上，转化求解的范围即可．【详解】解：依题意，双曲线上两点，，，，若点A、B关于直线对称，则设直线的方程是，代入双曲线方程化简得：，则，且，解得，且又，设的中点是，，所以，．因为的中点在直线上，所以，所以，又所以，即，所以所以，整理得，解得：，实数的取值范围为：\n故答案为：三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各200人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣.有兴趣没有兴趣合计男女80合计（1）完成上面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？（2）按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，若从这9人中随机选出2人作为冰壶运动的宣传员，设X表示选出的2人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.附：.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据题干所给数据求出冰壶运动有兴趣的男女人数，即可得到列联表，再计算出卡方，即可判断；\n（2）首先利用分层抽样求出男、女抽取的人数，依题意的所有可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；【小问1详解】解：依题意对冰壶运动有兴趣的人数为人，则女生中对冰壶运动有兴趣的有人，男生中对冰壶运动有兴趣的有人，所以男生中对冰壶运动无兴趣的有人，所以列联表：有兴趣没有兴趣合计男女合计，有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．【小问2详解】解：从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取人，抽到的男生人数、女生人数分别为：（人，（人，则的所有可能取值为，，，所以，，，故的分布列是：012\n故．18.在中，，，与BC斜率的积是．（1）求点轨迹方程；（2），求PC的中点的轨迹方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设点C坐标，根据题意直接列方程可得；（2）由相关点法可得.【小问1详解】设点C坐标为，由题知整理得点的轨迹方程为【小问2详解】设点M坐标为，点C坐标为由中点坐标公式得，即将代入得点的轨迹方程为：19.四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面底面，，，是BC的中点，点在侧棱PC上.\n（1）若Q是PC的中点，求二面角的余弦值；（2）是否存在，使平面DEQ?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）时，平面.【解析】【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系利用向量法能求出二面角的余弦值．（2）设，，，，推导出，利用向量法能求出当时，平面．【小问1详解】解：取中点，连接，，．因为，所以．因为侧面底面，且平面底面，所以底面．可知，，，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系．\n则，因为为中点，所以．所以，所以平面的法向量为．因为，设平面的法向量为，则，即．令，则，即．所以．由图可知，二面角为锐角，所以余弦值为．【小问2详解】解：设由（1）可知．设，，，则，又因为，\n所以，即．所以在平面中，，所以平面的法向量为，又因为平面，所以，即，解得．所以当时，即，平面．20.已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【解析】公众号：高中试卷君【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.\n所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.21.已知椭圆的左，右焦点分别为、，上下顶点分别为M、N，点的坐标为，在下列两个条件中任选一个：①离心率；②四边形的面积为4，解答下列各题.（1）求椭圆的方程；（2）设直线交椭圆于A、B两点，判断点与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.【答案】（1）；（2）G在以AB为直径的圆外，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据所选条件及，结合椭圆参数关系求出椭圆方程.（2）联立直线与椭圆方程，应用韦达定理求、，利用向量的数量积的坐标运算判断符号，即可判断点圆的位置关系.\n【小问1详解】选①：由上顶点，即，由，且，可得，所以椭圆的方程为.选②：由题设，，即，而，所以，故，所以椭圆的方程为.【小问2详解】联立与，并整理可得：，则，，所以，，由，，所以，故，故且不共线，故为锐角，所以G在以AB为直径的圆外.\n22.已知函数（1）讨论g(x)的单调性；（2）若，对任意恒成立，求a的最大值；【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）对求导，然后分及讨论得出单调性情况；（2）原不等式可转化为，设，求出的单调性，可知当时，，设，求出的最小值即可得解．【详解】解：（1），当时，，在上单调递增；当时，令，解得，令，解得，在上单调递减，在上单调递增；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）即为，即，设，则，易知函数在上单调递增，而，所以，即，当时，即为，设，则，易知函数在上单调递减，在上单调递增，（e），，即的最大值为．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的恒成立问题，考查构造函数思想，考查运算求解能力，属于难题．
