\n\n\n\n２０２２－２０２３学年高三年级ＴＯＰ二十名校调研摸底考试高三理科数学参考答案１．【答案】Ｂ【解析】Ａ＝｛ｘ｜（ｘ＋１）（ｘ－２）≤０｝＝｛ｘ｜－１≤ｘ≤２｝，则Ａ∩Ｂ＝｛１，２｝．故选Ｂ．２．【答案】Ａ２【解析】设ｚ＝ｘ＋ｙｉ（ｘ，ｙ∈Ｒ），则ｚ＝ｘ－ｙｉ，（ｚ＋ｉ）（ｚ－ｉ）＝［ｘ＋（ｙ＋１）ｉ］［ｘ－（ｙ＋１）ｉ］＝ｘ＋２（ｙ＋１）＝０，则ｘ＝０，ｙ＝－１，ｚ＝－ｉ，｜ｚ｜＝１．故选Ａ．３．【答案】Ｃ１１１１【解析】由ｘ＋≤－２，或ｘ＋≥２，则｜ｘ＋｜≥２，故命题ｐ为假命题；由｜ｘ｜＋≥２，则｜ｘ｜ｘｘｘｘ１＋≥１，故命题ｑ为真命题．故选Ｃ．ｘ４．【答案】Ｂ【解析】设与ａ＋２ｂ垂直的向量ｃ＝（ｘ，ｙ），由题意可知ａ＋２ｂ＝（－１，２），则－ｘ＋２ｙ＝０，向量（２，１）满足．故选Ｂ．５．【答案】Ｄ【解析】由双曲线的方程及定义可知，｜ＭＦ｜－｜ＭＦ｜＝２，｜ＦＦ｜＝２３，又｜ＭＦ｜＋｜ＭＦ｜＝６，１２１２槡１２则｜ＭＦ１｜＝４，｜ＭＦ２｜＝２，在△ＭＦ１Ｆ２中，∠ＭＦ２Ｆ１＝９０°．故选Ｄ．６．【答案】Ｂ【解析】由题意可知ｆ（ｘ）的定义域为Ｍ＝｛ｘ∈Ｒ｜ｘ≠０｝，且是奇函数，所以ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ）对３－３３－３任意的ｘ∈Ｍ恒成立，即ａ（－ｘ）－（－ｘ）＋ａ＝－（ａｘ－ｘ＋ａ）恒成立，整理得ａ＝－ａ，故ａ＝０．故选Ｂ．７．【答案】Ａ３３３【解析】依题意，每名校长拜访３家企业，共有Ｃ×Ｃ×Ｃ＝６４种方法，其中３名校长拜访的是４４４３同样的３家企业的方法共有Ｃ４＝４种，故每名校长拜访３家企业，每家企业至少接待１名校长的安排方法共有６４－４＝６０种．故选Ａ．８．【答案】Ｃ２５→【解析】如图，在Ｒｔ△ＰＯ１Ｏ２中，ＰＯ１＝槡５，ｃｏｓ∠ＰＯ１Ｏ２＝槡，因为Ｏ１为ＡＢ的中点，则（ＰＡ＋５→→→→→→ＰＢ）·ＯＯ＝２ＰＯ·ＯＯ＝２｜ＰＯ｜·｜ＯＯ｜·ｃｏｓ∠ＰＯＯ＝８．故选Ｃ．２１１２１１２１１２９．【答案】Ｃ【高三理科数学参考答案（第１页共８页）】\n【解析】由题意可知，数列｛ａ｝是首项ａ＝１９６１，公差ｄ＝１的等差数列，则ａ＝１９６１＋（ｎ－１）×ｎ１１ｎ１①．数列｛ｂ｝是首项ｂ＝６０．００，公差ｄ＝０．２５的等差数列，则ｂ＝６０．００＋（ｎ－１）×０．２５②．由ｎ１２ｎ①可得ｎ－１＝ａｎ－１９６１，由②可得ｎ－１＝４ｂｎ－２４０，则有ａｎ－１９６１＝４ｂｎ－２４０，即ａｎ－４ｂｎ＝１７２１．故选Ｃ．１０．【答案】Ｂ２２ｂ２２３－（－１）【解析】ｆ（ｘ）＝｜槡ａ＋ｂｓｉｎ（ωｘ＋φ）＋ｃ｜，ｔａｎφ＝，结合图象，可知槡ａ＋ｂ＝＝２ａ２２２２２Ｔπ５πππ①，且ｃ＝３－槡ａ＋ｂ＝１．设ｇ（ｘ）＝槡ａ＋ｂｓｉｎ（ωｘ＋φ）的周期为Ｔ，＝＝－＝，２ω８８２πππ则ω＝２，把点(，３)代入ｙ＝２ｓｉｎ（２ｘ＋φ）＋１，可得２ｓｉｎ(＋φ)＋１＝３，即ｓｉｎ(＋φ)＝１，则８４４πππｂ有＋φ＝＋２ｋπ（ｋ∈Ｚ），则φ＝＋２ｋπ，ｔａｎφ＝＝１②，①②联立解得ａ＝ｂ＝槡２．故选Ｂ．４２４ａ１１．【答案】Ｄ【解析】如图，作ＡＰ的中点Ｆ，连接ＥＦ，ＢＦ．因为ＥＦ∥ＡＤ，ＡＤ∥ＢＣ，所以ＥＦ∥ＢＣ．因为ＥＦ＝１１ＡＤ，ＢＣ＝ＡＤ，所以ＥＦ＝ＢＣ，故四边形ＥＦＢＣ为平行四边形，则有ＣＥ∥ＢＦ，且ＣＥ＝ＢＦ，则有２２点Ｆ的轨迹长度与点Ｅ的轨迹长度相同，作ＦＨ⊥ＡＢ于Ｈ，则点Ｆ的轨迹是以Ｈ为圆心、ＦＨ长３为半径的圆，且ＦＨ＝槡，故点Ｆ的轨迹长度为槡３π．故选Ｄ．２１２．【答案】Ｃ２２１ａｌｎ２．１＋ｌｎ３ｌｎ６．３【解析】ａ＝ｌｎ２．１＞０，ｂ＝ｌｏｇｅ＝＞０，＝ｌｎ２．１ｌｎ３＜＝＝３ｌｎ３ｂ(２)(２)２２ｌｎ４２ｌｎ２ｌｎ２（ｌｎ槡６．３）＜（ｌｎｅ）＝１，则ａ＜ｂ．ｃ＝ｌｏｇ４＝＝＝，因为ｌｎ槡７．５＞７．５ｌｎ７．５ｌｎ７．５ｌｎ槡７．５ｌｎｅ＝１，所以ｃ＜ｌｎ２＜ｌｎ２．１＝ａ，则有ｃ＜ａ＜ｂ．故选Ｃ．１３．【答案】－１－ｘ０－ｘ１１ｅ【解析】设切点的坐标为（ｘ，ｅ０），由题意得ｆ′（ｘ）＝－，则该切线的斜率ｋ＝－＝，０ｘｘ０ｘ－１ｅｅ０解得ｘ０＝０，则切线的斜率ｋ＝－１．１４．【答案】０．９９４，０．０００００１５１×０．９９２＋１×０．９９４＋２×０．９９５【解析】分拣准确率的平均值估计为＝０．９９４，分拣准确率的４２２２（０．９９２－０．９９４）＋（０．９９４－０．９９４）＋２×（０．９９５－０．９９４）方差估计为＝０．０００００１５．４【高三理科数学参考答案（第２页共８页）】\n１７１５．【答案】槡４【解析】不妨设点Ａ，Ｂ在ｘ轴的上方，因为｜ＯＡ｜＝｜ＯＢ｜，且△ＡＯＢ为直角三角形，故∠ＡＯＢ＝９０°．如图，过Ａ，Ｂ分别作ｘ轴的垂线，垂足分别为Ｄ，Ｅ，则有∠ＡＯＤ＋∠ＢＯＥ＝９０°，则∠ＡＯＤ＝∠ＯＢＥ，故Ｒｔ△ＡＯＤ≌Ｒｔ△ＯＢＥ，则｜ＡＤ｜＝｜ＯＥ｜＝１，即点Ａ的纵坐标ｙＡ＝１，由抛物线的方程，２ｙＡ１２２１７可知点Ａ的横坐标ｘＡ＝＝，则⊙Ｏ的半径ｒ＝槡ｘＡ＋ｙＡ＝槡．４４４１６．【答案】槡５ＢＤ【解析】由∠ＡＤＣ－∠Ｂ＝∠ＢＡＤ，可知ｓｉｎ∠ＡＤＣｓｉｎＢ＝ｓｉｎ∠ＢＡＤ，在△ＡＢＤ中，＝ｓｉｎ∠ＢＡＤＡＤ１，则有ＡＤｓｉｎ∠ＡＤＣ＝ＢＤ．在Ｒｔ△ＡＣＤ中，ＡＣ＝ＡＤｓｉｎ∠ＡＤＣ，故ＡＣ＝ＢＤ．由Ｓ＝ＢＤ·ＡＣ△ＡＢＤｓｉｎＢ２２１２ＢＤ＝ＡＢ·ＡＤｓｉｎ∠ＢＡＤ，则有ＢＤ＝ＡＢ·ＡＤｓｉｎ∠ＢＡＤ，即ｓｉｎ∠ＢＡＤ＝．２ＡＢ·ＡＤ２２２２ＡＢ＋ＡＤ－ＢＤ１ＡＢＡＤＢＤ１ＡＢＡＤ在△ＡＢＤ中，ｃｏｓ∠ＢＡＤ＝＝(＋－)＝(＋－ｓｉｎ∠ＢＡＤ)．２ＡＢ·ＡＤ２ＡＤＡＢＡＢ·ＡＤ２ＡＤＡＢＡＢＡＤＡＢＡＤ则有＋＝ｓｉｎ∠ＢＡＤ＋２ｃｏｓ∠ＢＡＤ＝槡５ｓｉｎ（∠ＢＡＤ＋φ）（ｔａｎφ＝２），故＋的最大值为ＡＤＡＢＡＤＡＢ槡５．１７．【答案】见解析【解析】（１）设数列｛ａ｝的公比为ｑ，ｎ３２由ａ２＋ａ４＝１０，ａ３＝４，可得ａ１ｑ＋ａ１ｑ＝１０，ａ１ｑ＝４，２１两式联立可得２ｑ－５ｑ＋２＝０，解得ｑ＝２或ｑ＝（舍去），２ｎ－３ｎ－１故ａｎ＝ａ３ｑ＝２．…………………………………………………………………………（３分）ｎ４－１由｛ｂｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ＝，可得：６ｎｎ－１４－４２ｎ－３当ｎ≥２时，ｂｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝＝２，６１２ｎ－３当ｎ＝１时，ｂ１＝Ｓ１＝，满足ｂｎ＝２，２２ｎ－３故ｂｎ＝２．…………………………………………………………………………………（６分）（２）若ａ＝ｂ，则有２ｐｎ－１＝２２ｑｎ－３，ｐｎｑｎ【高三理科数学参考答案（第３页共８页）】\n则ｐｎ－１＝２ｑｎ－３，即２ｑｎ－ｐｎ＝２．…………………………………………………………（１０分）故数列｛２ｑｎ－ｐｎ｝为常数列，所以数列｛２ｑｎ－ｐｎ｝的前ｎ项和Ｔｎ＝２ｎ．…………………………………………………（１２分）１８．【答案】见解析【解析】（１）作ＢＣ中点Ｏ，连接ＯＤ，ＯＰ．因为Ｄ，Ｏ分别为ＡＢ，ＢＣ的中点，所以ＤＯ∥ＡＣ．由题意可知，∠ＡＣＢ＝９０°，则ＤＯ⊥ＢＣ．……………………………………………………（２分）因为ＰＢ＝ＰＣ，所以ＰＯ⊥ＢＣ．又因为ＤＯ∩ＯＰ＝Ｏ，所以ＢＣ⊥平面ＰＤＯ．因为ＰＤ平面ＰＤＯ，所以ＢＣ⊥ＰＤ．………………………………………………………（４分）（２）因为ＡＣ⊥ＰＢ，ＡＣ⊥ＢＣ，ＡＣ∩ＢＣ＝Ｃ，所以ＡＣ⊥平面ＰＢＣ，又ＡＣ平面ＡＢＣ，所以平面ＰＢＣ⊥平面ＡＢＣ．因为ＤＯ⊥ＢＣ，所以ＤＯ⊥平面ＰＢＣ．连接ＡＯ，在Ｒｔ△ＡＯＰ中，ＡＯ＝槡５，ＰＡ＝３，则ＰＯ＝２．……………………………………（８分）→→→以Ｏ为坐标原点，ＯＤ，ＯＢ，ＯＰ的方向分别为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，→→则Ａ（２，－１，０），Ｐ（０，０，２），ＡＰ＝（－２，１，２），平面ＰＢＣ的一个法向量ＯＤ＝（１，０，０），设直线ＰＡ与平面ＰＢＣ所成的角为α，→→→→｜ＯＤ·ＡＰ｜２２则ｓｉｎα＝｜ｃｏｓ〈ＯＤ·ＡＰ〉｜＝→→＝＝，｜ＯＤ｜·｜ＡＰ｜３槡１×槡９２所以直线ＰＡ与平面ＰＢＣ所成的角的正弦值为．………………………………………（１２分）３１９．【答案】见解析【解析】设选择甲方案且测试合格的样品个数为Ｘ，选择乙方案且测试合格的样品个数为Ｙ．３２２１２（１）（ｉ）５个样品全部测试合格的概率Ｐ（Ｘ＝３且Ｙ＝２）＝(３)×(２)＝２７．…………（２分）２２２２１１１（ｉｉ）Ｐ（Ｘ＝２且Ｙ＝２）＝Ｃ××＝，３(３)３(２)９【高三理科数学参考答案（第４页共８页）】\n３２１１１４Ｐ（Ｘ＝３且Ｙ＝１）＝×Ｃ××＝，(３)２２２２７１４７故４个样品测试合格的概率Ｐ＝Ｐ（Ｘ＝２且Ｙ＝２）＋Ｐ（Ｘ＝３且Ｙ＝１）＝＋＝．９２７２７…………………………………………………………………………………………………（６分）（２）设选择甲方案测试的样品个数为ｎ，则选择乙方案测试的样品个数为５－ｎ．２２则Ｘ～Ｂ(ｎ，３)，Ｅ（Ｘ）＝３ｎ，１１则Ｙ～Ｂ(５－ｎ，２)，Ｅ（Ｙ）＝２（５－ｎ），２ｎ５－ｎｎ５故合格样品个数的期望Ｅ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｅ（Ｘ）＋Ｅ（Ｙ）＝＋＝＋．……………（１０分）３２６２ｎ５若测试合格的样品个数的期望不小于３，则有＋≥３，即ｎ≥３，６２故选择甲方案进行测试的样品个数为３个，４个或５个．………………………………（１２分）２０．【答案】见解析【解析】（１）因为｜ＭＦ｜＋｜ＭＦ｜＝２２＞｜ＦＦ｜＝２，１２槡１２所以点Ｍ的轨迹Ｃ是以Ｆ１，Ｆ２分别为左、右焦点的椭圆．………………………………（２分）２２ｘｙ设椭圆的方程为＋＝１（ａ＞ｂ＞０），半焦距为ｃ，２２ａｂ２２２则２ａ＝２槡２，ｃ＝１，得ａ＝槡２，ｂ＝ａ－ｃ＝１，２ｘ２所以点Ｍ的轨迹Ｃ的方程为＋ｙ＝１．…………………………………………………（４分）２（２）设ＡＢ的中点为Ｈ，连接ＰＨ，由｜ＰＡ｜＝｜ＰＢ｜，可得ＡＢ⊥ＨＰ，故直线ＨＰ为线段ＡＢ的垂直平分线．２２设直线ｌ：ｘ＝ｍｙ－１（ｍ≠０），代入到椭圆方程ｘ＋２ｙ＝２，２２整理得：（ｍ＋２）ｙ－２ｍｙ－１＝０，设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｈ（ｘ３，ｙ３），Ｐ（ｘ４，０），２ｍ－１ｙ＋ｙ＝，ｙｙ＝．………………………………………………………………（６分）１２２１２２ｍ＋２ｍ＋２２２２｜ＡＢ｜＝｜ｙ－ｙ｜ｍ－４ｙｙｍ１２槡＋１＝槡（ｙ１＋ｙ２）１２槡＋１２２２２ｍ－１２２（ｍ＋１）＝槡ｍ＋１(２)－４×(２)＝槡２．……………………………………（８分）槡ｍ＋２ｍ＋２ｍ＋２ｙ＋ｙ２１２ｍｍ－２ｙ＝＝，ｘ＝－１＝，３２３２２２ｍ＋２ｍ＋２ｍ＋２ｍ２因为ＡＢ⊥ＨＰ，则有直线ＨＰ的方程ｌＨＰ：ｙ－２＝－ｍ(ｘ＋２)．ｍ＋２ｍ＋２－１令ｙ＝０，ｘ４＝２，ｍ＋２２－１ｍ＋１即｜Ｆ１Ｐ｜＝２＋１＝２．…………………………………………………………（１０分）ｍ＋２ｍ＋２【高三理科数学参考答案（第５页共８页）】\n２２２（ｍ＋１）则有｜ＡＢ｜＝槡２＝２槡２｜Ｆ１Ｐ｜，ｍ＋２｜ＡＢ｜所以＝２槡２．……………………………………………………………………………（１２分）｜ＦＰ｜１２１．【答案】见解析ｘ【解析】（１）当ａ＝１时，ｆ（ｘ）＝ｅ－ｌｎ（ｘ＋１）－１，ｘ１ｆ′（ｘ）＝ｅ－（ｘ＞－１），ｘ＋１已知ｆ′（ｘ）在（－１，＋∞）上单调递增，且ｆ′（０）＝０．………………………………………（２分）所以当ｘ∈（－１，０）时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减，当ｘ∈（０，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增．……………………………………………（４分）（２）方法一：ｘｘ１ａｅ（ｘ＋１）－１ｘｆ′（ｘ）＝ａｅ－＝，令ｇ（ｘ）＝ａｅ（ｘ＋１）－１．ｘ＋１ｘ＋１２（ｉ）若－ｅ＜ａ＜０，则ｘ∈（－∞，－１），ｘｇ′（ｘ）＝ａｅ（ｘ＋２），当ｘ∈（－∞，－２）时，ｇ′（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）单调递增；当ｘ∈（－２，－１）时，ｇ′（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）单调递减．ａ故ｇ（ｘ）≤ｇ（－２）＝－－１＜０，２ｅ则ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）在（－∞，－１）上单调递增．当ｘ趋向于－１时，ｆ（ｘ）趋向于正无穷大，当ｘ趋向于负无穷大时，ｆ（ｘ）趋向于负无穷大，故此时ｆ（ｘ）在（－∞，－１）上有一个零点．…………………………………………………（６分）（ｉｉ）若ａ＞０，ｘ∈（－１，＋∞）．易知ｇ（ｘ）在（－１，＋∞）上单调递增，ｇ（－１）＝－１＜０，１１１１１１ｇ()＝ａｅａ(＋１)－１＝ｅａ(１＋ａ)－１，ｅａ＞１，１＋ａ＞１，则ｇ()＞０，ａａａ１故存在ｘ０∈(－１，ａ)，使得ｇ（ｘ）＝０．………………………………………………………（８分）当ｘ∈（－１，ｘ０）时，ｇ（ｘ）＜０，当ｘ∈（ｘ０，＋∞）时，ｇ（ｘ）＞０．１因为当ｘ＞－１时，＞０，ｘ＋１所以当ｘ∈（－１，ｘ０）时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减，当ｘ∈（ｘ０，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增，当ｘ＝ｘ０，ｆ（ｘ）取极小值．……………………………………………………………………（１０分）ｘ１由ｇ（ｘ）＝０得ａｅ０＝，则ｌｎａ＋ｘ＝－ｌｎ（ｘ＋１）．０００ｘ＋１０２ｘ１ｘ０－１ｆ（ｘ）＝ａｅ０－ｌｎ（ｘ＋１）－ｌｎａ－１＝＋ｘ－１＝≥０，０００ｘ＋１ｘ＋１００当ｘ０＝０，等号成立，由ｆ（０）＝０，可得ａ＝１，结合（１）可知，当ａ＝１时，ｆ（ｘ）只有一个零点．【高三理科数学参考答案（第６页共８页）】\n２综上，若ｆ（ｘ）只有一个零点，则ａ的取值范围为｛ａ｜－ｅ＜ａ＜０或ａ＝１｝．……………（１２分）２２．【答案】见解析２２【解析】（１）曲线Ｃ１的直角坐标方程为（ｘ－１）＋（ｙ－１）＝２，２２即ｘ＋ｙ－２ｘ－２ｙ＝０，２故Ｃ１的极坐标方程为ρ－２ρｃｏｓθ－２ρｓｉｎθ＝０，整理得ρ＝２ｃｏｓθ＋２ｓｉｎθ．…………………………………………………………………（２分）２由Ｃ２的极坐标方程，可得ρ＝２槡２ρｃｏｓθ，２２化为直角坐标方程为ｘ＋ｙ＝２槡２ｘ，２２整理得（ｘ－槡２）＋ｙ＝２．｜ＣＣ｜＝４－２２∈（０，２槡２），１２槡槡故Ｃ１与Ｃ２相交．……………………………………………………………………………（５分）（２）如图所示，曲线Ｃ１，Ｃ２交点为Ｏ，Ａ两点．联立曲线Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程得２槡２ｃｏｓθ＝２ｃｏｓθ＋２ｓｉｎθ，即（槡２－１）ｃｏｓθ＝ｓｉｎθ，则由ｔａｎθ＝槡２－１，所以经过曲线Ｃ１，Ｃ２交点的直线的斜率为槡２－１．………………………………………（１０分）２３．【答案】见解析【解析】（１）由ｘ＋ｙ＝１，则有｜ｘ－１｜＋｜ｙ－３｜＝｜ｘ－１｜＋｜ｘ＋２｜≥｜（ｘ－１）－（ｘ＋２）｜＝３，所以｜ｘ－１｜＋｜ｙ－３｜≥３．……………………………………………………………………（４分）（２）方法一：ｙｘ要证明ｘ＋＋ｙ＋≤槡３，槡２槡２２ｙｘ也就是证明(ｘ＋＋ｙ＋)≤３，槡２槡２３ｙｘ整理得（ｘ＋ｙ）＋２槡(ｘ＋)(ｙ＋)≤３，２２２２３５（ｘ＋ｙ）－２ｘｙ即（ｘ＋ｙ）＋２ｘｙ＋≤３，２槡４２由ｘ＋ｙ＝１，３１１可得＋２ｘｙ＋≤３．…………………………………………………………………（７分）２槡４２【高三理科数学参考答案（第７页共８页）】\n２（ｘ＋ｙ）１因为ｘｙ≤＝，４４３１１３１１１所以＋２ｘｙ＋≤＋２×＋＝３，２槡４２２槡４４２ｙｘ所以ｘ＋＋ｙ＋≤槡３．……………………………………………………………（１０分）槡２槡２方法二：由柯西不等式得２ｙｘ２２ｘｙ(１×ｘ＋＋１×ｙ＋)≤（１＋１）·(ｘ＋ｙ＋＋)槡２槡２２２３＝２×＝３．………………………………………………（７分）２ｙｘｘ＋＋ｙ＋≤槡３．…………………………………………………………………（１０分）槡２槡２【高三理科数学参考答案（第８页共８页）】
