长郡中学2021-2022学年度高一第二学期期末考试数学时量：120分钟满分：150分得分：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．当时，复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知a，b是不共线的向量，且，，，则（）A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生中近视人数分别为（）A．200，20B．100，20C．200，10D．100，104．如图，已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的表面积为，则球的体积为（）A．B．C．D．5．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）A．B．C．D．\n6．四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AA1=3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，，，E是O1A的中点，则点E到平面O1BC的距离为（）A．1B．C．2D．37．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据以下四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2C．中位数为3，方差为2.8D．平均数为2，方差为2.48．已知m，n为异面直线，m⊥平面，n⊥平面．若直线l满足，，，，则（）A．∥，l∥B．，C．与相交，且交线平行于lD．与相交，且交线垂直于l二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．2015年7月，北京成功获得2022年冬奥会举办权．中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，引领相关户外用品行业市场增长．下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万/人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论错误的是（）A．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加B．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降C．2016年与2021年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等D．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次增长率为12.6%10．已知向量a=（1，），b=（x，2），则（）A．B．若，则\nC．若a∥b，则x=2D．11．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=4，BC=2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则下列说法正确的是（）A．平面ADM⊥平面CDD1C1B．A，M，N，B四点共面C．B1M与BN所成角为60°D．BN//平面ADM12．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（）A．角C可以为锐角B．C．的最小值为D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局甲获胜的概率为________．14．某次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东（）方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，则角的余弦值为________．15．骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为________．\n第15题图第16题图16．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点D为棱A1C1上的点，且BC1∥平面AB1D，则________；已知AB=BC=AA1=1，AC=，以D为球心，为半径的球面与侧面AA1B1B的交线长度为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球，和2个白球，的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．（1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（2）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．18．（本小题满分12分）\n设z是虚数，是实数，且．（1）求的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：为纯虚数．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．20．（本小题满分12分）\n某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）[0.6，0.7）频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）频数151310165（1）在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）21．（本小题满分12分）\n记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，点D在边AB上，且CD⊥AB．（1）证明：；（2）若，求∠ACB．22．（本小题满分12分）如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=，F为PA的中点，PD=，AB=AD=CD=1，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N．（1）求证：AC∥平面DEF；（2）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，求出FQ的长；若不存在，请说明理由．\n\n\n\n
