遂宁市高中2023届第四学期期末教学水平监测数学（理科）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3．考试结束后，将答题卡收回。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知p：，那么p的一个充分不必要条件是A．B．C．D．3．下列求导运算正确的是A．B．C．D．4．已知圆与抛物线的准线相切，则学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\nA．B．C．4D．85．下列命题中为真命题的是A．若为假命题，则均为假命题；B．由锐角满足及，推出是合情推理C．命题“存在，使得”的否定是“对任意，均有”；D．命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”.6．已知函数，则的图象在点处的切线的斜率为A．-3B．3C．-5D．57．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是A．B．的图象C．D．8．已知的展开式中二项式系数之和为256，则该展开式中含x项的系数为A．896B．1024C．1792D．20489．从一个装有3个白球，3个红球和3个蓝球的袋中随机抓取3个球，记事件A为“抓取的球中至少有两个球同色”，事件B为“抓取的球学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n中有红色但不全是红色”，则在事件A发生的条件下，事件B发生的概率A．B．C．D．10．已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为A．3B．5C．D．1311．已知定义在R上的函数满足：函数为奇函数，且当时，成立（为的导函数），若，，，则a、b、c的大小关系是A.B.C．D．12．已知双曲线与直线交于A、B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA、PB的斜率分别为，曲线C的左、右焦点分别为．若,则下列说法正确的是A．B．双曲线的渐近线方程为C．若，则的面积为D．曲线的离心率为第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n13．若随机变量，已知，则▲.14．若过点的双曲线的渐近线为，则该双曲线的标准方程是▲.15．已知，若在区间上存在，使得成立，则实数a的取值范围是▲16．已如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，，则第7行第5个数(从左往右数)为▲．三、解答题（17题10分，18至22每小题12分，共计70分）17.（10分）设数列满足，.（1）求，，，并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.▲18.（12分）如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上的一点，且．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C方程；（2）求点M到直线距离的最大值.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n▲19．（12分）已知函数在和处取得极值．（1）求a，b的值；（2）若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求m的取值范围．▲20.（12分）社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书.现在某书店随机抽取40名顾客进行调查，得到了如下列联表：年长者年轻人总计喜欢阅读电子书1620喜欢阅读纸质书8总计40（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关；（2）若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取4人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n附：，其中.0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879▲21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到直线的距离小1，记P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）在直线上任取一点M，过M作曲线C的切线，切点分别为A、B，求证直线AB过定点．▲22.（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）若函数有两个极值点且恒成立，求实数a的取值范围．▲学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n遂宁市高中2023届第四学期期末教学水平监测数学（理科）试题参考答案及评分意见一、选择题（5×12=60分）题号123456789101112答案ACDCDBACCBBD二、填空题（每小题5分，共20分）13．14．15．16．三、解答题（共70分）17.（1）由，，可得：，，………………3分由，，，可猜想：………………………………………5分（2）证明：①当时，成立；…………………………………………6分②假设当时，猜想成立，即.……………………………7分则当时，即当时，猜想成立.由①②可知，对于任意的，都有成立.综上所述，猜想得证……………………………………………………………………10分18.（1）设点,由得即……………………………………………2分又∵点P在圆上得椭圆……………………………………………………………………5分（2）令平行于直线l且与C相切的直线……………………………………………8分当与C相切时.…………………………10分及的方程为…………………12分学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n19．解：（1），由题意，得则解得经检验，此时满足在和处取得极值，符合题意.5分（2）令,则原题意等价于图象与轴有三个交点．∵…………………………………………………7分∴由,解得或；由,解得．∴在时取得极大值；在时取得极小值．…………………………………………………………………………10分依题意得,解得．故的取值范围为．……………………………………………………………12分20.（1）解：根据题意，可得如下的的列联表：年长者年轻人总计电子书41620纸质书81220总计122840……………………………………………………………………………………………2分则所以没有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关………………………………5分（2）解：按照分层抽样的方法在年轻人中抽取7名，则抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为4名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为3名…6分所以随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，可得；；；，……………………………………10分学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n所以的分布列为1234P则期望为…………………………………12分21．（1）解：设曲线C上任意一点P的坐标为，由题意知且有，……………………………………………………………2分解得；所以曲线C的方程为……………………………………………………………5分（2）证明：设，由题意知直线AB的斜率存在，设直线的方程为，联立方程，整理得，所以，且，…………………………………7分又由，即，可得，所以抛物线在点处的切线的方程为，即，同理直线的方程为，联立方程，解得，……………………………………………9分又因为直线与的交点恰好在直线上，所以，即，所以，解得…………………11分故直线的方程为，所以直线恒过定点．…………………………12分22．（1）的定义域为，求导得，……………1分令，得，其．当时，又，故在上单调递增.当时，，故在上单调递增.……3分当时，，由得故在上单调递增.在上单调递增.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n综上，当时，在上单调递增.当时，在上单调递增，在上单调递减.……………………………………………5分（2）的定义域为，求导得，有两个极值点时，等价于方程的有两个不等正根，，……………………………………7分此时不等式恒成立，等价于对恒成立，可化为对恒成立，令，则，令得得或（舍去）…………………………………9分，故………………………………10分在恒成立，在上单调递减，，. 故实数的取值范围是……………………………………………………12分
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