福建省南平市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题答案及评分标准

南平市2021—2022学年第一学期高二年级期末质量检测数学参考答案及评分标准说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．1．C2．B3．B4．A5．A6．D7．A8．D二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．BD10．BCD11．AB12．ABD三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．514．215．916．189四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）解:（1）∵圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，故可设圆C的圆心坐标为Ca(,0)，………………………………………………………1分其中a0，且半径ra=．………………………………………………………………2分又∵圆C与直线34xy2−0+=相切，|3a02|−+=a，………………………………………………………………………4分2234+1解得a=1或a=−（舍去），422故圆C的标准方程为(xy−1)+=1．…………………………………………………5分（2）∵直线l过点(12，)，∴设直线l方程为ykx−=21−()，………………………6分即kx−+−=y20k2∵直线l与圆C有公共点，∴圆心到直线的距离d=1，…………………8分2k+1解得：kk33或−．…………………………………………………………………10分高二期末数学参考答案第1页（共8页）\n18.（本小题满分12分）2解（1）方案一：选条件①：Sn=n.当n=1时，as1=1=1.…………………………………………………………………1分22当n2时，ansnsn=−=−−−1=−nnn(1)21．……………………………4分又当n=1时,a1=1符合上式，………………………………………………………5分an=−21n．…………………………………………………………………………6分方案二：选条件②：点(aann,+1)在直线yx=+2上，且a3=5，+aa=2，nn+1即aann+1−=2，………………………………………………………………………2分an为等差数列，公差d=2，……………………………………………………4分aan=+−3(3)2nn2−1=.………………………………………………………6分方案三：选条件③．公差为正数的等差数列an中，a3=5且a1，a2，a4+2成等比数列.2设等差数列an的公差为d(0)d，依题意，得a3a2a1=4a5且＝（+2）2(5-)ddd(5-2)(7+＝),解得d=2或d=5（舍去），=d2，……………………………………………………………………………4分aa=+(nn−3)2−=21.……………………………………………………6分n3（2）an=−21n，2211bn===−.…………………………………7分aa(2n−1)(2n+1)2n−12n+1nn+1T=bb+b++n12n高二期末数学参考答案第2页（共8页）\n1111111=−()(+−++)()1−=−，…………………………9分1335212121nn−n++10，21n+111−.……………………………………………………………………………10分21n+数列bn的前n项和Tnm对任意的正整数n恒成立，m1，……………………………………………………………………………………11分m的最小值为1．…………………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）32解：（1）因为a=3，所以f(x)=3x−9x+1，f(x)=9x−9，····················1分所以，当x−1或x1时，fx'()0；当−11x时，fx'()0；所以fx()在(,1)−−和(1,)+单调递增，在(−1,1)单调递减，································································································3分所以fx()的极大值为f(−1)=7，fx()的极小值为f(1)=−5.···············5分22（2）f(x)=3ax−9=3(ax−3)，·························································6分2当a0时，f(x)=3(ax−3)0恒成立，fx()在R上单调递减，fx()至多一个零点，不合题意；··················································7分3当a0时，令fx'()=0，则x=，·········································8分a3333所以，当x−或x时，fx'()0；当−x时，aaaafx'()0；3333所以fx()在（−，−）和（，+）单调递增，在（−，）单调递减，aaaa···························································································9分高二期末数学参考答案第3页（共8页）\n33所以fx()的极大值为f(−)=6+1，aa33fx()的极小值为f()=−6+1.··········································10分aa3610+，又fx()恰有三个零点，所以a··························11分3−6+10，a解得0a108．综上，a的取值范围为0a108．·············································12分20．（本小题满分12分）证明：（1）如图，取AC中点D，连接OD、BD，因为OAOC==2，所以ODAC⊥，…………………………………………1分又OAOC⊥，O1所以AC=2，ODAC==1E2因为ABBC==2，所以BD⊥AD．ACD1又因为AD==AC1，又OB=2，所以BD=3，2B222所以OD+=BDOB，所以OD⊥BD.………………………………………………………………………3分又ACBDD=，所以OD⊥平面ABC，……………………………………………………………5分又因为OD平面OAC，所以平面OAC⊥平面ABC.………………………………………………………6分高二期末数学参考答案第4页（共8页）\n（2）由（1）可得DO、DA、DB两两垂直，以D为原点，分别以DA、DB、DO为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz-，如图.11则A(1,0,0)，B(0,3,0)，C(−1,0,0)，O(0,0,1)，E−,0,，……………8分2211z所以AB=−(1,3,0)，EB=−,3,，22OE设nxyz=,,()为平面EAB的法向量，xA−+xy=30，DC则11xy+z−=30.22By令y=1，则x=3，z=33所以n=3,1,33()是平面EAB的一个法向量，………………………………………10分由（1）知DO=0,0,1()为平面ABC的一个法向量，…………………………………11分33393设平面ABC与平面EAB所成角为，则cos=cosnDO,==3131393故平面ABC与平面EAB夹角的余弦值为．………………………………12分3121．（本小题满分12分）22（1）证明：由圆x+y+2x−150=可得，∴圆心为，半径为4，∵EQ//PC，∴PCD=EQD，又∵|PD||=CP|，∴PCD=PDC，高二期末数学参考答案第5页（共8页）\n∴EQD=PCD=PDC，∴|||EQ|ED=，…………………………………………………………………………2分∴|||EP||EQ+||=EP+||=ED=|4PD，则|||EP|4EQ+=，…………………3分∴点E的轨迹是以P(1,0)−，Q(1,0)为焦点，4为长轴长的椭圆，………………4分22xy故点E的轨迹的方程为+=1(0)y；………………………………………5分43（2）解：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x=1.33此时点M的坐标是1,，点N的坐标是1,−.2213所以直线AM的方程是yx=+(2)，直线BN的方程是yx=−(2).22所以直线AM，BN的交点K的坐标是(4,3).所以点K在直线x=4上.…………………………………………………………………6分②当直线l的斜率存在时，设斜率为k.所以直线l的方程为ykx=−(1).ykx=−(1)，联立方程组xy22+=1，43222消去y，整理得(34+k)x−8kx+4k−12=0.显然0.不妨设Mxy(11,)，Nxy(22,)，228k4k−12所以xx12+=2，xx12=2.…………………………………………7分34+k34+ky1因为直线AM的方程是yx=+(2)，x+21高二期末数学参考答案第6页（共8页）\ny16y1yx=+(2,)y=,由x1+2得x1+2x=4.x=4.6y1即AM与x=4的交点K1=4,，…………………………………………………8分x+212y2同理可得BN与x=4的交点K2=4,，…………………………………………9分x−2262yy1261kx2(112kx−−)()因为−=−xx+xx−2+2−22121261kx2(212x2−kx112−)−(x+−)()()=，……………………10分(xx12+−22)()因为61kx2(212x2−kx112−)−(x+−)()()=−2−3k+xx2−2−2x(2+x12xx−2x1x1212)()=2k2xx12−5(x1+x2)+824(12k2−)58k2=−28+k=−+288k(=0)，…………………………………11分2234++34kk所以K1与K2重合，即直线AM、BN的交点K在直线x=4上．…………………12分22．（本小题满分12分）【解析】x（1）fx()xe=2cos−+………………………………………………………………1分x令h(x)=f(x)，则h(00)=且hx()xe=−sin，………………………………2分xx(0，+)，hx()xex=sin−−1sin0，所以hx()=h(0)0，即fx()0，所以f(x)在(0，+)的单调递增，………………………………………………3分高二期末数学参考答案第7页（共8页）\nxx(−，0)，fx()xex=2cos−+cos−10，所以f(x)在(−，0)单调递减.……………………………………………………4分所以f(x)的单调递减区间为(−，0)，f(x)的单调递增区间为(0，+)………5分x2（2）设Fx()fx()=−gx()=−e+x2x−axsin−21，且F(0)=0，………………6分xxFx()=e+cosx−4ax−2，令G(x)=F(x)，Gx()=e−sinx−4a，x令H(x)=G(x)，Hx()exx=−−cos1cos0，所以G(x)在0，+)上单调递增，…………………………………………………………8分1①若a，G(x)G(0)=1−4a0，所以F(x)在0，+)上单调递增，4所以F(x)F(0)=0，所以F(x)F(0)=0恒成立.…………………………9分1②若a，G(0)=1−4a0，4G(ln(4a+2))=4a+2−sin(4a+2)−4a=2−sin(4a+2)0，……………10分所以存在x0(0，ln(4a+2))，使G(x0)=0，且xx(0，0)，G(x)0，所以Gx()在(0，)x0单调递减，即F(x)在(0，)x0单调递减，所以xx(0，)0时，F(x)F(0)=0，所以F(x)F(0)=0，不合题意.1综上，a.…………………………………………………………………………12分4高二期末数学参考答案第8页（共8页）