2022年全国初中数学联合竞赛试题一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1、设a2+1=3a，b2+1=3b，且a≠b，则代数式+的值为（）（A）5（B）7（C）9（D）112、如图，设AD，BE，CF为△ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为（）（A）（B）4（C）（D）3、从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（）（A）（B）（C）（D）4、在△ABC中，∠ABC=12°，∠ACB=132°，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M，N分别在直线AC和直线AB上，则（）（A）BM>CN（B）BM=CN（C）BM<cn（d）bm和cn的大小关系不确定5、现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为（）（a）()3（b）()4（c）()5（d）6、已知实数x，y满足(x–)(y–)=2022，则3x2–2y2+3x–3y–2022的值为（）（a）–2022（b）2022（c）–1（d）1二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7、设a=，则=。8、如图，正方形abcd的边长为1，m，n为bd所在直线上的两点，且am=，∠man=135°，则四边形amcn的面积为。9、已知二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且|m11|+|n|≤1.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则|p|+|q|=。10、依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2022个位置的数字是。第二试（a）一、（本题满分20分）已知a2+b2=1，对于满足条件0≤x≤1的一切实数x，不等式a(1–x)(1–x–ax)–bx(b–x–bx)≥0（1）恒成立，当乘积ab取最小值时，求a，b的值。二、（本题满分25分）如图，圆o与圆d相交于a，b两点，bc为圆d的切线，点c在圆o上，且ab=bc。（1）证明：点o在圆d的圆周上；（2）设△abc的面积为s，求圆d的的半径r的最小值。三、（本题满分25分）设a为质数，b为正整数，且9(2a+b)2=509(4a+511b)（1）求a，b的值。第二试（b）一、（本题满分20分）已知a2+b2=1，对于满足条件x+y=1，xy≥0的一切实数对(x，y)，不等式ay2–xy+bx2≥0（1）恒成立，当乘积ab取最小值时，求a，b的值。二、（本题满分25分）题目和解答与（a）卷第二题相同。三、（本题满分25分）题目和解答与（a）卷第三题相同。第二试（c）11一、（本题满分25分）题目和解答与（b）卷第一题相同。二、（本题满分25分）题目和解答与（a）卷第二题相同。三、（本题满分25分）设a为质数，b，c为正整数，且满足，求a(b+c)的值。一、选择题：1、设a2+1=3a，b2+1=3b，且a≠b，则代数式+的值为（）11（a）5（b）7（c）9（d）112、如图，设ad，be，cf为△abc的三条高，若ab=6，bc=5，ef=3，则线段be的长为（）（a）（b）4（c）（d）3、从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（）（a）（b）（c）（d）4、在△abc中，∠abc=12°，∠acb=132°，bm和cn分别是这两个角的外角平分线，且点m，n分别在直线ac和直线ab上，则（）（a）bm>CN（B）BM=CN（C）BM</cn（d）bm和cn的大小关系不确定5、现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为（）（a）()3（b）()4（c）()5（d）6、已知实数x，y满足(x–)(y–)=2022，则3x2–2y2+3x–3y–2022的值为（）（a）–2022（b）2022（c）–1（d）1二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7、设a=，则=。8、如图，正方形abcd的边长为1，m，n为bd所在直线上的两点，且am=，∠man=135°，则四边形amcn的面积为。9、已知二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且|m11|+|n|≤1.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则|p|+|q|=。10、依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2022个位置的数字是。第二试（a）一、（本题满分20分）已知a2+b2=1，对于满足条件0≤x≤1的一切实数x，不等式a(1–x)(1–x–ax)–bx(b–x–bx)≥0（1）恒成立，当乘积ab取最小值时，求a，b的值。二、（本题满分25分）如图，圆o与圆d相交于a，b两点，bc为圆d的切线，点c在圆o上，且ab=bc。（1）证明：点o在圆d的圆周上；（2）设△abc的面积为s，求圆d的的半径r的最小值。三、（本题满分25分）设a为质数，b为正整数，且9(2a+b)2=509(4a+511b)（1）求a，b的值。第二试（b）一、（本题满分20分）已知a2+b2=1，对于满足条件x+y=1，xy≥0的一切实数对(x，y)，不等式ay2–xy+bx2≥0（1）恒成立，当乘积ab取最小值时，求a，b的值。二、（本题满分25分）题目和解答与（a）卷第二题相同。三、（本题满分25分）题目和解答与（a）卷第三题相同。第二试（c）11一、（本题满分25分）题目和解答与（b）卷第一题相同。二、（本题满分25分）题目和解答与（a）卷第二题相同。三、（本题满分25分）设a为质数，b，c为正整数，且满足，求a(b+c)的值。一、选择题：1、设a2+1=3a，b2+1=3b，且a≠b，则代数式+的值为（）11（a）5（b）7（c）9（d）112、如图，设ad，be，cf为△abc的三条高，若ab=6，bc=5，ef=3，则线段be的长为（）（a）（b）4（c）（d）3、从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（）（a）（b）（c）（d）4、在△abc中，∠abc=12°，∠acb=132°，bm和cn分别是这两个角的外角平分线，且点m，n分别在直线ac和直线ab上，则（）（a）bm>
