7.5三角形的内角和定理（第1课时）北师大版数学八年级上册,我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的内角和最大.不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.情境引入导入新知,1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°．2.会运用三角形内角和定理进行计算.素养目标,我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.思考除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?折叠还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？探究新知知识点1三角形的内角和定理,剪拼ABC21（小组合作，讨论剪拼方法.各小组代表演式剪拼过程）探究新知,三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？还有其他的拼接方法吗？三角形的内角和定理的证明在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.探究新知,验证结论三角形三个内角的和等于180°.求证：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.证法1：过点A作l∥BC，∴∠B=∠1.(两直线平行,内错角相等)∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12探究新知,证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，∴∠A=∠1.(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12探究新知,CBAEDF证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.想一想同学们还有其他的方法吗？探究新知,思考多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.CAB12345lACB12345lP6mABCDE探究新知,C24AB3EQDFPGH1BGC24A3EDFH1试一试同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？探究新知,知识要点在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.思路总结为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.作辅助线探究新知,如图所示，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.ABCD探究新知三角形内角和的应用知识点2例,ABCD解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）.∵∠B=38°，∠C=62°（已知），∴∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性质）.∵AD平分∠BAC（已知）∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=在△ADB中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三角形内角和定理）.∵∠B=38°（已知）,∠BAD=40°（已证）,∴∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性质）.×80°=40°（角平分线的定义）探究新知,如图，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.ABCD解：由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.巩固练习,例1如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.探究新知素养考点1利用三角形的内角和定理求角的度数,直线l1∥l2，把一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°，则∠2＝________．40°变式训练巩固练习,例2在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解:设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋15)°，从而有3x＋x＋(x＋15)＝180.解得x＝33.所以3x＝99，x＋15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.几何问题借助方程来解.这是一个重要的数学思想.探究新知素养考点2方程的思想与三角形内角和相结合的题目,②在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是_________三角形；①在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，则∠C=；③在△ABC中，∠A=∠B+10°,∠C=∠A+10°,则∠A=，∠B=，∠C=.102°直角60°50°70°巩固练习完成下列各题：变式训练,北.AD北.CB.东E例3如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？探究新知素养考点3利用三角形的内角和定理解决实际问题,解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.由AD//BE,得∠BAD+∠ABE=180°.所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°,答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.北.AD北.CB.东E探究新知,如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？变式训练巩固练习,解：因为在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向,所以∠ABD＝60°.又因为∠DBE＝90°，所以∠ABE＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°.因为在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，所以∠ACE＝90°－40°＝50°.所以∠BAC＝∠ACE－∠ABE＝50°－30°＝20°.即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°.巩固练习,1.在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ）A．必有一个内角等于30°B．必有一个内角等于45°C．必有一个内角等于60°D．必有一个内角等于90°D2.三角形的内角和等于（ ）A．90°B．180°C．270°D．360°B连接中考,1.求出下列各图中的x值．x=70x=60x=30x=50基础巩固题课堂检测,3.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________.BACD4132E40°（280°课堂检测2.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=．基础巩固题100°,如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE.∴∠CED=∠B=78°.又∵∠C=60°,∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）=180°-（78°+60°）=42°．能力提升题课堂检测,如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．解：∵△ABC中，∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°.∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=60°.∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°,∴∠BPC=180°-60°=120°.拓广探索题课堂检测,通过本课时的学习，需要我们掌握：求角度证法应用转化为一个平角或同旁内角互补辅助线三角形的内角和等于180°作平行线转化思想课堂小结,课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
