1.1探索勾股定理(第2课时)北师大版数学八年级上册,1.上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？2.如何验证勾股定理呢？据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？导入新知,1.掌握用面积法如何验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题．2.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.素养目标,问题思考分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.知识点1勾股定理的证明探究新知,割小明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对大正方形进行割补的？你能将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来吗？探究新知ABCD补,a+b大正方形ABCD的面积可以表示为：或者___________可得等式方法一探究新知(a+b)24×ab+c24×ab+c2=(a+b)2,你能用右图验证勾股定理吗？验证了勾股定理探究新知=c2S正方形C所以a2+b2=c2.S正方形C=(a+b)2-ab×4=a2+b2+2ab-2ab=a2+b2,小正方形ABCD的面积可以表示为：或者_______可得等式方法二探究新知c2ABCD4×ab+（b-a）24×ab+（b-a）2=c2,你能用右图验证勾股定理吗？也验证了勾股定理探究新知=c2S正方形ABCD所以a2+b2=c2.=ab×4+（b-a）2S正方形ABCDABCD=2ab+a2+b2-2ab=a2+b2,所以a2+b2=c2方法三c2abca2b2探究新知,abc①②③④⑤所以c2=b2+a2方法四探究新知,毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.探究新知,aaaabbbbcccc所以a2+b2+2ab=c2+2ab，证明：因为S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形=4×ab+c2=c2+2ab，探究新知所以a2+b2=c2.,aabbcc美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2=c2.探究新知所以a2+b2=c2.证明：因为S梯形=(a+b)(a+b)S梯形=ab+ab+c2=(a2+b2+2ab)=(2ab+c2),abcABCDEFO意大利文艺复兴时代的著名画家达·芬奇的证法探究新知,ⅠⅡAaBCbDEFOⅠⅡA′B′C′D′E′F′请同学们自己写一下证明过程，相信你能行的！证明：探究新知所以a2+b2=c2.S多边形ABCDEF=a2+b2+×abS多边形A′B′C′D′E′F′=c2+×ab,归纳总结勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要求无重叠，叠合是要求无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的．探究新知,用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如图所示的图形，则下列结论中正确的是()A．c2=a2+b2B．c2=a2+2ab+b2C．c2=a2-2ab+b2D．c2=(a+b)2A巩固练习,例我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400m,10s后,汽车与他相距500m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?分析：勾股定理的应用知识点2探究新知点A表示小王的位置点C表示汽车开始位置点B表示10s后汽车距小王500m小王距离公路400m，所以∠C是直角点A、B、C构成直角三角形AC公路400mB500m例,即它行驶的速度为108km/h.总结：在实际问题中，可以根据问题中的条件构造直角三角形，从而利用勾股定理来解答.解：由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为300×6×60=108000(m),探究新知,飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4km处，过了20s，飞机距离这个男孩子头顶5km，飞机每小时飞行多少千米？4km20秒后5kmABC在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2.解：因为AB=5，AC=4,所以BC2=52-42.所以BC2=9,所以BC=3，因为20s=h,所以3÷=540km.答：飞机每小时飞行540km.巩固练习,例等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm，求这个三角形的面积.8x16-xDABC解：设这个三角形为ABC，高为AD，设BD为xcm，则AB为（16-x）cm，由勾股定理得：x2+82=(16-x)2即x2+64=256-32x+x2所以x=6素养考点2利用勾股定理解答面积问题探究新知方法点拨：利用勾股定理解答几何问题，经常用到设未知数列方程的思想答：这个三角形的面积为48cm2.S△ABC=BC•AD=×2×6×8=48（cm2）,下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积.15厘米17厘米解：设正方形的边长为x厘米,则x2=172-152=64答：正方形的面积是64平方厘米.变式训练巩固练习,议一议判断图中三角形的三边是否满足a2+b2=c2.锐角三角形：a2+b2＞c2钝角三角形：a2+b2＜c2直角三角形：a2+b2=c2提示：用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.探究新知,勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）A．B．C．D．B连接中考,1．如图，一个长为2.5m的梯子，一端放在离墙脚1.5m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚()A．0.2mB．0.4mC．2mD．4mC基础巩固题课堂检测,2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为()A．5B．6C．7D．25A基础巩固题课堂检测,3．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为()A．16B．12C．9D．7D课堂检测基础巩固题,4．两棵树之间的距离为8m，两棵树的高度分别是8m，2m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？思路：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直角三角形，再利用勾股定理解答．课堂检测基础巩固题,解：根据题意画出示意图，如图所示，两棵树的高度分别为AB=8m，CD=2m，两棵树之间的距离BD=8m，过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC.则BE=CD=2m，EC=BD=8m，AE=AB-BE=8-2=6(m)．在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2=AE2+EC2，即AC2=62+82=100，所以AC=10m.答：这只小鸟至少要飞10m．课堂检测基础巩固题,知识点如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1=π，S2=2π，试求出S3的面积.能力提升题课堂检测,解：如图，由圆的面积公式得S1=π2=π,S2=π2=2π所以c2=25，a2=16.根据勾股定理，得b2=c2-a2=9.所以S3=π2=πb2=π.能力提升题课堂检测,一艘快艇以每小时12海里的速度离开A地，向西北方向航行，另一小船以每小时5海里的速度离开A地，同时出发向西南方向航行，求1小时后快艇与小船之间的距离.思路提示：解题的关键是要能够根据题意，将实际问题抽象成数学问题（数形结合），运用所学新知识解决问题.或者说：画出图形，运用勾股定理.拓广探索题课堂检测,解：根据题意，如图，1小时后快艇在B处，小船在C处.且有AB=12海里，AC=5海里，∠BAC=90°ACB由勾股定理，可以得到AB2+AC2=BC2即122+52=BC2所以BC=13（海里）答：1小时后快艇与小船之间的距离为13海里.拓广探索题课堂检测,验证勾股定理及应用拼图验证首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理．应用拼出图形写出图形面积的表达式找出相等关系步骤恒等变形导出勾股定理思路课堂小结,作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业
