2022—2022学年度高二上学期期中考试数学试题（理科）本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线的准线方程是，则的值为（）A.B.C.D.2.在极坐标系中，若点，则的面积为（）A.B.C.D.3.如图，空间四边形中，.点在上，且，点为的中点，则等于（）A.B.C.D.4.设点，的周长为，则的顶点的轨迹方程为（）A.B.C.D.5.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的焦距为（）A.B.C.D.6.若动点在曲线上运动，则的最大值为（）-10-\nA.B.C.D.7.设是棱长为的正方体，则有（）A.B.C.D.8.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于两点，若的中点坐标为，则的方程为（）A.B.C.D.9.已知分别是双曲线的左、右焦点，过点作垂直于轴的直线交双曲线于两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.10.已知两点均在焦点为的抛物线上，若，线段的中点到直线的距离为1，则的值为（）A.1B.1或3C.2D.2或611.已知是椭圆上的点，分别是椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差一定是（）A.B.C.D.12.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.-10-\n二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）13.在极坐标系中，以点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是14.如图，平行六面体中，，则的长为15.已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是16.若等轴双曲线的左、右顶点分别为椭圆的左、右焦点，点是双曲线上异于的点，直线的斜率分别为，则三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，分别为与轴、轴的交点.（Ⅰ）写出的直角坐标方程，并求的极坐标；（Ⅱ）设的中点为，求直线的极坐标方程.18.（本小题满分12分）在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（Ⅰ）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与圆相交于两点，点的坐标为，试求的值.-10-\n19.（本小题满分12分）在直四棱柱中，，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，侧面是正三角形且与底面垂直，底面是矩形，是的中点，与平面所成的角为.（Ⅰ）求二面角的大小；（Ⅱ）当为多长时，点到平面的距离为2？21.（本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为.（Ⅰ）若为等边三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.-10-\n22.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切.、是椭圆的左、右顶点，直线过点且与轴垂直.（1）求椭圆的标准方程；（2）设是椭圆上异于、的任意一点，作轴于点，延长到点使得，连接并延长交直线于点，为线段的中点，判断直线与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论.-10-\n齐齐哈尔市实验中学2022～2022学年度高二上学期期中考试数学试题评分标准（理）本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案BCBBCACDABDA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）13.14.根号下1115.16.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）解析：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为……3分当时，，所以……4分当时，，所以……5分（Ⅱ）点的直角坐标分别为点P的直角坐标为则P点的极坐标为直线的极坐标方程为……10分18.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）圆C的方程可化为，即圆C的直角坐标方程为……4分（Ⅱ）把直线的参数方程与圆C的直角坐标方程联立，可得：……6分设点A、B对应的参数分别为，则……8分-10-\n……12分19.（本小题满分12分）解析：以方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.则（Ⅰ）……4分（Ⅱ）设平面的法向量为，则……8分设直线与平面所成角为直线与平面所成角的正弦值为……12分20.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）取AD的中点O，连接PO.是正三角形又面面面.……1分以O为原点，过且平行于AB的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接，则为与面所成的角，.设，则……2分-10-\n设平面的一个法向量为则……5分连接DE，易知平面DEC的一个法向量为……6分二面角的大小为……8分（Ⅱ），则到面的距离当，即时，所以当时，点D到平面PCE的距离为.……12分21.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为由题意知解得故椭圆C的方程为……4分（2）由题意知椭圆C的方程为当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；……5分当直线的斜率存在时，设直线的方程为-10-\n由得……7分设，则即解得：，即……11分故直线的方程为或……12分22.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）由题意：到直线的距离为，则椭圆C的标准方程为……4分（Ⅱ）设，则直线的方程为……6分与联立得：则直线的方程为……8分即方程可化为……10分到直线的距离为-10-\n故直线与以AB为直径的圆O相切.……12分-10-
