2022年学业水平测试数学理科试题一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。）1.抛物线的准线方程为（）ABCD2.下列方程中表示相同曲线的是（）A，B，C，D，3.已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（）ABCD4.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（）ABCD5.与圆及圆都外切的圆的圆心在（）A一个椭圆上B双曲线的一支上C一条抛物线D一个圆上6.点在双曲线上，且的焦距为4，则它的离心率为A2B4CD7.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到抛物线准线的距离为（）A1B2C3D48．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）A1条B2条C3条D无数条9．设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为（）-6-\nAB3CD10．以下四个关于圆锥曲线的命题中正确的个数为（）①曲线与曲线有相同的焦点；②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③过椭圆的右焦点作动直线与椭圆交于两点，是椭圆的左焦点，则的周长不为定值。④过抛物线的焦点作直线与抛物线交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条。A1个B2个C3个D4个11．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A18B24C28D3212．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，则的最大值，是（）ABCD二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．已知点在抛物线的准线上，抛物线的焦点为，则直线的斜率为。14．过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于两点，为其右焦点，则的值为15．直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为。16．设点是曲线上任意一点，其坐标均满足-6-\n，则的取值范围为。三、解答题17．（10分）在极坐标系中，求圆的圆心到直线的距离。18．（12分）如图（1），在中，点分别是的中点，将沿折起到的位置，使如图（2）所示，M为的中点，(1)(2)求与面所成角的正弦值。()19．（12分）经过椭圆的左焦点作直线，与椭圆交于两点，且，求直线的方程。20．（12分）如图，在长方体中，，点E在棱上移动。（1）证明：；（2）等于何值时，二面角的余弦值为。21.（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆C的长轴长为4．-6-\n（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为，（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于两点，若直线分别与直线交于两点，求的取值范围。-6-\n牡一中2022-2022上学期高二理科数学期中试题参考答案123456789101112CDBDBABCCBCB1314151616三、解答题：17.（10分）解：圆的方程为，圆心为；直线为，距离18.（12分）与面所成角的正弦值为19.（12分）解：当直线斜率不存在时，不符合题意；当直线斜率存在时，设直线，与椭圆方程联立得，由弦长公式得，直线方程为或。20、（12分）（2）当时，二面角的余弦值为。21、（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得，解得，所以，故所求椭圆C的方程为．（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点，，将直线的方程代入，并整理，得．（*）则，．因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，-6-\n所以，即．又于是，解得，经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．22、解：(1)(2)设，直线AB的方程为代入得，，由得，同理，所以＝，令，则，则，范围为-6-
