黑龙江省牡丹江市第一高级中学2022-2022学年高二数学上学期期中试题文一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的）1.抛物线的准线方程是（）2.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（）3.双曲线的渐近线方程是（）4.若动点P到定点F(－4,0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是( )抛物线线段直线射线5.过点与抛物线只有一个公共点的直线共有几条( )12346.点在椭圆的内部，则的取值范围是（）7.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则（）8.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为( )1-6-\n9.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（）2110．若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为()11．椭圆与双曲线有相同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个交点，则的面积是（）42112.双曲线的左右焦点分别为,过作圆的切线分别交双曲线的左右两支于点、，且,则（）二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率14.抛物线的准线方程是，则________15．已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，，则____16．已知椭圆E:（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于A、B两点；若，点到直线的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(10分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线-6-\n，求曲线的标准方程及参数方程.18．(12分)若圆与轴相切于点,与轴的正半轴交于两点,且,求圆的标准方程19.(12分)在极坐标系中，极点为，已知曲线与曲线交于不同的两点(1)求的值；(2)求过点且与直线平行的直线的极坐标方程．20.（12分）已知点是椭圆与直线的交点，点是的中点，且点的横坐标为.若椭圆的焦距为8，求椭圆的方程．21．(12分)在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数,）．在以坐标原点为极点轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线(1)说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；(2)直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在-6-\n上，求.22.（12分）已知抛物线C的一个焦点为，对应于这个焦点的准线方程为（1）写出抛物线的方程；（2）过点的直线与曲线交于两点，点为坐标原点，求重心的轨迹方程；（3）点是抛物线上的动点，过点作圆的切线，切点分别是.当点在何处时，的值最小？求出的最小值.-6-\n数学（文）试题选择1—6BDCABA7—12ACABCD13.14.215.216.17.设M(x，y)是曲线C上任意一点，变换后的点为M′(x′，y′)．由且M′(x′，y′)在曲线＋4y′2＝1上，得＋＝1，∴x2＋y2＝4.因此曲线C的方程为x2＋y2＝4，（为参数）18．设AB的中点P(x，y)，B(x1，y1)，则有x＋y＝4，且x＝，y＝.∴x1＝2x－2，y1＝2y.∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1.当A、B重合时，P与A点重合，不合题意，∴所求轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)．19.(1)∵＝2，∴x2＋y2＝4.又∵ρsin＝，∴y＝x＋2，∴|AB|＝2＝2＝2.(2)∵曲线C2的斜率为1，∴过点(1,0)且与曲线C2平行的直线的直角坐标方程为y＝x－1，∴直线的极坐标为，即.20．点为由题意知:点,满足:∴∴∴又∵∴,经检验,,符合题意∴椭圆的方程为.21.(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.-6-\n(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．所以a＝1.22．解：（1）抛物线方程为：.（2）①当直线不垂直于x轴时，设方程为，代入，得：设，则，设△AOB的重心为则，消去k得为所求，②当直线垂直于x轴时，△AOB的重心也满足上述方程.综合①②得，所求的轨迹方程为（3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径，根据圆的性质有：当最小时，|MN|取最小值，设P点坐标为，则∴当，时，取最小值5，故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值.-6-
