2022年学业水平测试数学文科试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、双曲线的实轴长为（）A、2B、C、D、2、已知中心在原点的椭圆的右焦点，离心率为，则椭圆的方程是（）A、B、C、D、3、已知抛物线的准线经过点，则该抛物线焦点的坐标为（）A．B．C．D．4、坐标系中，圆的圆心的极坐标是（）....5、已知双曲线的焦点与抛物线的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截的线段长度为（）A．4B．5C．D．6、双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（）A．2B．C．D．47、设抛物线的准线与轴交于,若过点的直线与抛物线有公共点，则直线斜率的取值范围是（）A、B、C、D、8、已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（）A．B．C．D．9、图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为，其大小关系为（）A.B.C.D.-7-\n10、双曲线的虚轴长为4,离心率,、分别是它的左、右焦点,若过的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且是与的等差中项,则等于( )A. B. C. D.811、已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（）．A．B．C．D．12、如图分别是椭圆的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为（）A、B、C、D、二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上）13、右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.14、参数方程（为参数）化为普通方程为．15、已知曲线的极坐标方程分别为，则曲线交点的极坐标为________．16、我们把离心率的双曲线称为黄金双曲线．如图是双曲线的图象，给出以下几个说法：①双曲线是黄金双曲线；②若，则该双曲线是黄金双曲线；③若为左右焦点，为左右顶点，，且，则该双曲线是黄金双曲线；④若经过右焦点且，，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为．三、解答题：17、（本题满分10分）已知抛物线方程为，-7-\n（1）直线过抛物线的焦点，且垂直于轴，与抛物线交于两点，求的长度。（2）直线过抛物线的焦点，且倾斜角为，直线与抛物线相交于两点，为原点。求△的面积。翰林汇18、（本题满分12分）已知曲线（为参数）在同一直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，（1）求曲线的普通方程；（2）若点在曲线上，点，当在曲线上运动时，求中点的轨迹方程。19、（本题满分12分）在直角坐标系中，圆的参数方程（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设直线极坐标方程是射线与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长.20、（本题满分12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为,抛物线上一点的横坐标为，且.（1）求此抛物线的方程；（2）过点做直线交抛物线于两点,求证：.21、（本题满分12分）如图，是椭圆上的三点，其中点是椭圆的右顶点，-7-\n过椭圆的中心，且满足。（1）求椭圆的离心率；（2）若轴被的外接圆所截得弦长为9，求椭圆方程。22、（本题满分12分）已知抛物线的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离为，且点在圆上．（1）求抛物线的方程；（2）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为．直线交椭圆于、两个不同的点，若原点在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围．-7-\n2022年高二学年期中考试数学文科试题答案一、选择题：1C2D3B4B5B6D7C8A9A10A11A12B二、填空题：13、14、15、16、①②③④三、解答题：17、解：（1）因为抛物线方程为，所以又过焦点且垂直于轴，联立方程组解得或，所以…………4分(2)由直线过抛物线的焦点，且倾斜角为,得………6分设联立方程组,∴，又,∴△OCD的面积为…………………10分18、（1）由已知（为参数），所以6分（2）设，，中点，则为参数）中点的轨迹方程为12分19、解（1）圆的普通方程为又所以圆C的极坐标方程为6分（2）设，则由解得设，则由，解得所以12分20、解析：（1）设，点，则有1分3分-7-\n，所以抛物线的方程为.5分（2）当直线斜率不存在时，此时，解得满足7分当直线斜率存在时，设，联立方程设，则9分综上，成立.12分21、解析：（1）因为过椭圆的中心，所以，又，所以是以角为直角的等腰直角三角形，3分则，所以，则，所以；7分（2）的外接圆圆心为中点，半径为，则的外接圆为：10分令，或，所以，得，（也可以由垂径定理得，得）所以所求的椭圆方程为．12分22、解析：（1）有，解得所以抛物线的方程为：4分（2）由（1）得抛物线的焦点椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合椭圆半焦距椭圆的离心率为，，-7-\n椭圆的方程为：6分设、，由得由韦达定理得：，8分由或①9分∵原点在以线段为直径的圆的外部，则，②11分由①、②得实数的范围是或12分-7-
