高二数学下册期中考试题数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交（2）如果、是异面直线，那么过直线且与平行的平面（）A.不存在B.有且只有一个C.有两个D.有无数个（3）已知，，，则的大小为（）A.B.C.D.（4）已知的三个顶点，，，则边上的中线长为（）A.2B.3C.4D.5（5）已知点是两条异面直线，外一点，则过点且与，都平行的平面的个数为（）A.0B.1C.0或1D.2（6）设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题的序号是（）A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④（7）若长方体的三个面的对角线长分别是，则长方体体对角线长为（）A.B.C.D.（8）在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为，则二面角w.w.w.k.s.5.u.c.o.m的余弦值为（）A.B.C.D.（9）在长方体中，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面-9-/9\n的距离为（）A.B.C.D.（10）一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.8B.6C.4D.MACDB（11）如图，在平行六面体中，为的交点.若，则下列向量中与相等的向量是（）A.B.C.D.（12）地球半径为，在北纬30°圈上，点经度为东经120°，点的经度为西经60°，则、两点的球面距离为（）A.B.C.D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）得分评卷人二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（13）空间四边形中，、、、分别是、、、的中点，若且与所成的角为60o，则四边形的面积是．（14）正方形的面积与其水平放置的直观图的面积的比为.(15)平行六面体中，向量，，两两夹角均为60°，且则.(16)设，是平面外的两条直线，给出下列四个命题：①若，，则；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m②若，，则；③若，与相交，则与也相交；④若与异面，，则．其中正确命题的序号是_________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.得分评卷人（17）（本小题满分10分）-9-/9\n已知求：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m得分评卷人（18）（本小题满分12分）SABC在三棱锥中，，.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅰ）证明：⊥；（Ⅱ）求二面角的大小.-9-/9\n得分评卷人（19）（本小题满分12分）在四面体中，，，且，分别是，的中点，（Ⅰ）求证直线∥平面；（Ⅱ）求证平面平面.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m得分评卷人（20）（本小题满分12分）如图所示，是圆的直径，是圆周上一点，⊥平面，若⊥，为垂足，为上任意一点.求证：平面⊥平面.w.w.w.k.s.5.u.c.o.mFEO·ABC-9-/9\n得分评卷人（21）（本小题满分12分）已知四边形为直角梯形，∥，∠=90°,⊥平面，且PABCDw.w.w.k.s.5.u.c.o.m(Ⅰ)求的长；(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值的大小.得分评卷人（22）（本小题满分12分）如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，且，，,.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求与平面所成的角的正弦值；（Ⅲ）求点到平面的距离.-9-/9\n甘谷四中2022—2022学年度第二学期期中考试高二数学评分参考一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.(1)B(2)B(3)D(4)B(5)C(6)A(7)C(8)B(9)C(10)C(11)D(12)D二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.（13）；（14）：１；（15）5；（16）③.三、解答题：(17)（本小题满分10分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：……2分……4分……6分……8分……10分(18)（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）且平面.为在平面内的射影.又⊥,∴⊥.……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）⊥，又⊥，∴为所求二面角的平面角.又∵==4,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴=4.∵=2,∴=60°.即二面角大小为60°.……12分注：也可用向量做，可按以上规则给分.(19)（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）E，F分别为AB，BD的中点,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m……6分-9-/9\n（II），又，∴……12分注：也可用向量做，可按以上规则给分.(20)（本小题满分12分）证明：∵C是以AB为直径的圆O的圆周上一点，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴BC⊥AC又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC∴BC⊥PA∴BC⊥平面PAC……6分又∵AE平面PAC∴BC⊥AE又∵AE⊥PC，BC∩PC=C∴AE⊥平面PBC又∵AE平面AEF∴平面AEF⊥平面PBC……12分(21)（本小题满分12分）解：(Ⅰ)因为PA⊥平面AC，AB⊥BC,∴PB⊥BC,即∠PBC=90°,由勾股定理PB=.∴PC=.……6分(Ⅱ)如图，过点C作CE∥BD交AD的延长线于E，连结PE，则PC与BD所成的角为∠PCE或它的补角.∵CE=BD=，且PE=∴由余弦定理得cosPCE=∴PC与BD所成角的余弦值为.……12分(22)（本小题满分12分）方法一：（Ⅰ）证明：在直角梯形中，，，，且.-9-/9\n取的中点，连结，由题意可知，四边形为正方形，所以，又，所以，则为等腰直角三角形，所以，又因为平面，且为在平面内的射影，平面，由三垂线定理得，……4分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，，，所以平面，是在平面内的射影，所以是与平面所成的角，……6分又，，，，即与平面所成角的正弦为……8分(III)由(II)可知，平面，平面，所以平面平面，过点在平面内作于，所以平面，则的长即为点到平面的距离，在直角三角形中，，，，所以即点到平面的距离为……12分方法2∵平面，∴以A为原点，AD、AB、AP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系……1分∵，.∴B(0,4,0),D(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2)……2分（I）∴∵∴,即……4分(II)∵设面APC法向量-9-/9\n∴∴设∴∵∴=即与平面所成角的正弦值为……8分(III)由∵设面法向量∴∴设∴∴点到平面的距离为=∴点到平面的距离为……12分-9-/9
