第一次月综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2022·广东理)若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝( )A．(－2，－4) B．(2,4)C．(6,10)D．(－6，－10)[答案] A[解析] 本题考查向量的线性运算．＝＋＝－＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．平面向量的坐标运算即对应坐标相加减．2．已知sin＝，则cos的值等于( )A．－B．C．－D．[答案] C[解析] cos＝cos＝sin＝－sin＝－.3．若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b等于( )A．(－3,6)B．(3，－6)C．(6，－3)D．(－6,3)[答案] A[解析] 设b＝ka＝(k，－2k)，k<0，而|b|＝3，则5k2＝(3)2，k＝－3，b＝(－3,6)．4．两质点M、N的位移分别为sM＝(4，－3)，sN＝(－5，－12)，则sM在sN方向上的投影为( )A．(－1，－15)B．(－20,36)C．D．11[答案] C[解析] sM·sN＝4×(－5)＋(－3)×(－12)＝16，|sM|＝5，|sN|＝13，则sM在sN方向上的投影为＝.5．(2022·保定模拟)已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝( )A．－B．C．－D．[答案] D[解析] sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝＝∵tanθ＝2则原式＝＝.6．要想得到函数y＝sin的图象，只须将y＝cosx的图象( )A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位[答案] C[解析] ∵y＝sin＝cos＝cos＝cos，∴将y＝cosx的图象向右移个单位可得到y＝sin的图象．117．(2022·湖南理)将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝( )A．B．C．D．[答案] D[解析] 由已知得g(x)＝sin(2x－2φ)，满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设此时y＝f(x)和y＝g(x)分别取得最大值与最小值，又|x1－x2|min＝，令2x1＝，2x2－2φ＝－，此时|x1－x2|＝|－φ|＝，又0<φ<，故φ＝，选D．8．已知点A(2，－1)，B(4,2)，点P在x轴上，当·取最小值时，P点的坐标是( )A．(2,0)B．(4,0)C．D．(3,0)[答案] D[解析] 设P(x,0)，则＝(2－x，－1)，＝(4－x,2)，·＝(2－x)(4－x)－2＝x2－6x＋6＝(x－3)2－3，当x＝3时，取最小值－3，∴P(3,0)．9．如图是函数f(x)＝Asinωx(A>0，ω>0)一个周期的图象，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)的值等于( )A．B．C．2＋D．2[答案] A[解析] 由图知：T＝8＝，∴ω＝，又A＝2，∴f(x)＝2sinx，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋(5)＋f(6)11＝2sin＋sin＋sin＋sin＋sin＋sin＝2sin＝.10．设点O是面积为4的△ABC内部一点，且有＋＋2＝0，则△AOC的面积为( )A．2B．1C．D．[答案] B[解析] 如图，以OA、OB为邻边作▱OADB，则＝＋，结合条件＋＋2＝0知，＝－2，设OD交AB于M，则＝2，∴＝－，故O为CM的中点，∴S△AOC＝S△CAM＝S△ABC＝×4＝1.11．已知y＝Asin(ωx＋φ)在同一周期内，x＝时有最大值，x＝时有最小值－，则函数的解析式为( )A．y＝2sinB．y＝sinC．y＝2sinD．y＝sin[答案] B[解析] 由条件x＝时有最大值，x＝时有最小值－可知，A＝，＝－，∴T＝，∴ω＝3，11∴y＝sin(3x＋φ)，将代入得，＝sin，∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋，(k∈Z)取k＝0知选B．12．(高考天津卷)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－2，则λ＝( )A．B．C．D．2[答案] B[解析] 解法1：(坐标法)建立如图所示的直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(0,2)，由＝λ，＝(1－λ)可得P(λ，0)，Q(0,2－2λ)，则＝(－1,2－2λ)，＝(λ，－2)，所以·＝－λ＋4λ－4＝3λ－4＝－2，即λ＝，故选B．解法2：＝－＝(1－λ)－，＝－＝λ－，·＝(λ－1)2－λ2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝，故选B．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．函数f(x)＝sinx＋tanx，x∈的值域是______________．[答案] [解析] 可以证明该函数在x∈上单调递增．11[f(x)]min＝f(－)＝sin(－)＋tan(－)＝－－1，[f(x)]max＝f()＝sin＋tan＝＋1.14．(北京高考理)向量a、b、c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.[答案] 4[解析] 以向量a和b的交点为原点建立直角坐标系，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa＋μb⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，所以λ＝－2，μ＝－，则＝4.15．(2022·浙江，文)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.[答案] [解析] 不妨设b＝xe1＋ye2，则b·e1＝x＋＝1，b·e2＝＋y＝1，因此可得x＝y＝，所以|b|＝|e1＋e2|＝.16．设f(x)＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0.若f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立，则①f()＝0；②|f()|<|f()|；③f(x)既不是奇函数也不是偶函数；④f(x)的单调递增区间是[kπ＋，kπ＋](k∈Z)；⑤存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交．以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．11[答案] ①③[解析] 由f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立知，直线x＝是f(x)的对称轴．又f(x)＝sin(2x＋φ)(其中tanφ＝)的周期为π，∴f()＝f(＋)可看作x＝的值加了个周期，∴f()＝0.故①正确．∵－＝，－＝，∴和与对称轴的距离相等．∴|f()|＝|f()|，故②不正确．∵x＝是对称轴，∴sin(2×＋φ)＝±1，∴＋φ＝±＋2kπ，k∈Z.∴φ＝＋2kπ或φ＝－＋2kπ，k∈Z，tanφ＝＝，∴a＝B．∴f(x)＝2|b|sin(2x＋)或f(x)＝2|b|sin(2x－)．∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故③正确．由以上知f(x)＝2|b|sin(2x＋)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.f(x)＝2|b|sin(2x－)的单调递增区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.由于f(x)的解析式不确定，∴单调递增区间不确定，故④不正确．∵f(x)＝asin2x＋bcos2x＝sin(2x＋φ)(其中tanφ＝)，11∴－≤f(x)≤.又∵ab≠0，∴a≠0，b≠0.∴－<b<，∴过点(a，b)的直线必与函数f(x)的图象相交，故⑤不正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知cos＝－，求＋的值．[解析]>0，ω>0，|φ|<)的一段图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调减区间，并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合；(3)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？[解析] (1)由图知A＝3，T＝4π－＝，11∴T＝5π，∴ω＝，∴f(x)＝3sin，∵过(4π，－3)，∴－3＝3sin，∴＋φ＝2kπ－，∴φ＝2kπ－，(k∈Z)∵|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝3sin.(2)由2kπ＋≤x－≤2kπ＋得，5kπ＋≤x≤5kπ＋4π (k∈Z)，∴函数f(x)的单调减区间为 (k∈Z)．函数f(x)的最大值为3，取到最大值时x的集合为{x|x＝5kπ＋，k∈Z}．(3)解法一：f(x)＝3sin＝3cos＝3cos＝3cos，故至少须左移个单位才能使所对应函数为偶函数．解法二：f(x)＝3sin的图象的对称轴方程为x－＝kπ＋，∴x＝＋，当k＝0时，x＝，k＝－1时，x＝－π，故至少左移个单位．解法三：函数f(x)在原点右边第一个最大值点为－＝，∴x＝，把该点左移到y轴上，需平移个单位．解法四：观察图象可知，欲使函数图象左移后为偶函数，由其周期为5π可知，须把点变为或把点(4π，－3)变为等，可知应左移个单位．11</b<，∴过点(a，b)的直线必与函数f(x)的图象相交，故⑤不正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知cos＝－，求＋的值．[解析]>
