模块素养评价(120分钟 150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.与-597°角终边相同的角的集合是( )A.{α|α=k·360°+237°,k∈Z}B.{α|α=k·360°+597°,k∈Z}C.{α|α=k·360°+123°,k∈Z}D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}【解析】选C.-597°=-360°-237°,而-237°=-360°+123°.所以-597°=-2×360°+123°.故选C.2.已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若|a+b|不超过5,则k的取值范围是( )A.[-4,6]B.[-6,4]C.[-6,2]D.[-2,6]【解析】选C.由|a+b|≤5平方得a2+2a·b+b2≤25,由题意得8+2(-10+2k)+25+k2≤25,即k2+4k-12≤0,(k+6)(k-2)≤0,求得-6≤k≤2.3.已知sin=,cos2α=,则tan=( )A.3B.-3C.±3D.±4【解析】选A.由sin=⇒sinα-cosα=①,cos2α=⇒cos2α-sin2α=,所以=②,由①②可得cosα+sinα=-③,由①③得sinα=,cosα=-,所以角α为第二象限角,所以为第一、三象限角,tan===3.13
4.(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是( )A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|【解析】选A.分别画出上述函数的图象可得选项A的周期为,选项B的周期为,而选项C的周期为2π,选项D不是周期函数.结合图象的升降情况可得A正确.5.(2020·武汉高一检测)已知=(1,1),=(4,1),=(4,5),则与夹角的余弦值为( )A. B. C.0 D.【解析】选B.=(3,0),=(3,4),所以cosθ==.6.设a=(1-cosα,),b=(3,-sinα)且a⊥b,则锐角α为( )A.B.C.D.【解析】选C.因为a⊥b,所以3(1-cosα)-sinα=0⇒3-2=3-2sin=0,故sin=,所以α+=+2kπ或α+=+2kπ(k∈Z),故锐角α为.7.(2020·海口高一检测)设α∈,β∈,且tanα=,则( )A.3α-β= B.2α-β=C.3α+β= D.2α+β=【解析】选B.方法一:由tanα=13
得=,即sinαcosβ=cosα+cosαsinβ,所以sin(α-β)=cosα=sin.因为α∈,β∈,所以α-β∈,-α∈.所以由sin(α-β)=sin,得α-β=-α.所以2α-β=.方法二:tanα======tan,所以α=kπ+,k∈Z.所以2α-β=2kπ+,k∈Z.又α∈,β∈,所以2α-β∈,所以k=0,2α-β=.8.已知|p|=2,|q|=3,p,q的夹角为,如图,若=5p+2q,=p-3q,D为BC的中点,则||为( )A. B. C.7 D.18【解析】选A.=(+)=(5p+2q+p-3q)=(6p-q),13
所以||=====.9.(2020·长沙高一检测)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象的一段如图所示,它的解析式是( )A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin【解析】选A.由题干图象可知A=,T=2×=π,所以ω===2,所以y=sin(2x+φ),代入点,得sin=1,又因为|φ|<π,所以φ=π.所以y=sin.10.为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=cos3x的图象( )A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位【解析】选A.y=sin3x+cos3x=sin13
=sin.又y=cos3x=sin=sin.所以应向右平移个单位.11.(2019·天津高考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g=,则f=( )A.-2B.-C.D.2【解题指南】只需根据函数性质逐步得出A,ω,φ的值即可.【解析】选C.f(x)为奇函数,可知f(0)=Asinφ=0,由|φ|<π可得φ=0;把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得g(x)=Asinωx,g(x)的最小正周期为2π,可得ω=2,由g=,可得A=2,所以f(x)=2sin2x,f=2sin=.12.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,则λ+μ=( )A.B.C.D.【解析】选C.因为∠BAD=120°,所以·=||·||·cos120°=-2.因为BE=λBC,DF=μDC,所以=+λ,=+μ.又因为·=1,所以(+λ)·(+μ)=1,13
即2λ+2μ-λμ=. ①同理可得,·=λμ-λ-μ=-.②由①+②,得λ+μ=.二、填空题(每小题5分,共20分)13.cos= . 【解析】cos=cos=cos=.答案:14.如图所示,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,则= . 【解析】=+=+=+(-)=c+a-b.答案:c+a-b15.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)=sin-3cosx的最小值为 . 【解析】f(x)=sin-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1=-2+,因为-1≤cosx≤1,所以当cosx=1时,f(x)min=-4,故函数f(x)的最小值为-4.答案:-416.(2020·全国Ⅲ卷)关于函数f(x)=sinx+有如下四个命题:①f(x)的图象关于y轴对称.②f(x)的图象关于原点对称.③f(x)的图象关于直线x=对称.④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是 . 13
【解析】对于①,由sinx≠0可得函数的定义域为,故定义域关于原点对称,由f(-x)=sin(-x)+=-sinx-=-f(x),所以函数为奇函数,图象关于原点对称,①错②对.对于③,由于f(π-x)=sin(π-x)+=sinx+=f(x),所以f(x)关于x=对称,③对.对于④,令t=sinx,t∈[-1,0)∪(0,1],由对勾函数g(t)=t+的性质,可知g(t)∈(-∞,-2]∪[2,+∞),所以f(x)无最小值,④错.答案:②③三、解答题(共70分)17.(10分)已知角α的终边过点P.(1)求sinα的值.(2)求·的值.【解析】(1)因为|OP|==1(O为坐标原点),所以点P在单位圆上,由正弦函数定义得sinα=-.(2)原式=·==,由(1)得sinα=-,P在单位圆上,所以由已知条件得cosα=.所以原式=.18.(12分)如果向量=i-2j,=i+mj,其中,i,j分别是x轴,y轴正方向上的单位向量,试分别确定实数m的值使:(1)A,B,C三点共线.13
(2)⊥.【解析】(1)由题意知,=λ,则i-2j=λ(i+mj),于是得m=-2.(2)由⊥得·=0,所以(i-2j)·(i+mj)=i2+mi·j-2i·j-2mj2=0,所以1-2m=0,解得m=. 【补偿训练】 设e1,e2是正交单位向量,如果=2e1+me2,=ne1-e2,=5e1-e2,若A,B,C三点在一条直线上,且m=2n,求m,n的值.【解析】以O为原点,e1,e2的方向分别为x,y轴的正方向,建立平面直角坐标系xOy,则=(2,m),=(n,-1),=(5,-1),所以=(3,-1-m),=(5-n,0),又因为A,B,C三点在一条直线上,所以∥,所以3×0-(-1-m)·(5-n)=0,与m=2n构成方程组解得或19.(12分)已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.(1)若|a-b|=,求证:a⊥b;(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.【解析】(1)由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2.又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2a·b=2,即a·b=0,故a⊥b.(2)因为a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1),13
所以由此得,cosα=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π.又0<α<π,故α=π-β.代入sinα+sinβ=1,得sinα=sinβ=,而α>β,所以α=,β=.20.(12分)已知函数y=cos2x+sinxcosx+1,x∈R.(1)求它的振幅、周期和初相.(2)用“五点法”作出它的简图.(3)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?【解析】y=cos2x+sinxcosx+1=cos2x+sin2x+=sin+.(1)y=cos2x+sinxcosx+1的振幅为A=,周期为T==π,初相为φ=.(2)令x1=2x+,则y=sin+=sinx1+,列出下表,并描点得出的图象如图所示:x-x10π2πy=sinx1010-1013
y=sin+(3)方法一:将函数图象依次作如下变换:函数y=sinx的图象函数y=sin的图象.函数y=sin的图象函数y=sin的图象函数y=sin+的图象,即得函数y=cos2x+sinxcosx+1的图象.方法二:函数y=sinx的图象函数y=sin2x的图象函数y=sin的图象函数y=sin+的图象13
函数y=sin+的图象,即得函数y=cos2x+sinxcosx+1的图象.21.(12分)在如图所示的直角坐标系xOy中,点A,B是单位圆上的点,且A(1,0),∠AOB=.现有一动点C在单位圆的劣弧上运动,设∠AOC=α.(1)求点B的坐标.(2)若tanα=,求·的值.(3)若=x+y,其中x,y∈R,求x+y的最大值.【解析】(1)由任意角的三角函数定义,可得点B的坐标为.(2)因为=(1,0),=(cosα,sinα),所以·=cosα.又tanα=,且0≤α≤,所以cosα=,即·=.(3)方法一:由=x+y,得(cosα,sinα)=x(1,0)+y,所以得所以x+y=cosα+sinα=(cosα+sinα)=sin,又0≤α≤,13
所以当α=时,x+y有最大值.方法二:由已知可得即所以x+y===cosα+sinα=sin.又0≤α≤,所以当α=时,x+y有最大值.22.(12分)如图所示,一条直角走廊宽为2m.现有一转动灵活的平板车,其平板面为矩形ABEF,它的宽为1m.直线EF分别交直线AC、BC于M、N,过墙角D作DP⊥AC于P,DQ⊥BC于Q.(1)若平板车卡在直角走廊内,且∠CAB=θ,试求平板面的长(用θ表示).(2)若平板车顺利通过直角走廊,其长度(设为l)不能超过多少m?【解析】(1)DM=,DN=,MF=,EN=tanθ,所以EF=DM+DN-MF-EN=+--tanθ=.(2)“平板车顺利通过直角走廊”,即对任意角,平板车的长度不能超过l的最小值.13
记sinθ+cosθ=t,1≤t≤,有sinθcosθ=,所以l====+,因为y=,y=都是减函数,当t=时,l取得最小值4-2.故若平板车顺利通过直角走廊,其长度不能超过(4-2)m.13
