高中二年级理科数学下期期末考试试卷（理科）考试时间:120分钟总分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。试题卷1至4页。答题卷5到8页。考试结束后，将答题卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球是表面积公式如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知直线、和平面，则的一个必要不充分的条件是（）A.B.C.D.、与成等角2、从甲、乙等名同学中挑选名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有人参加，则不同的挑选方法共有（）（A）140种（B）112种（C）168种（D）70种3、已知平面,为垂足，为斜线在平面内的射影，，，，则和平面所成的角为（）A．B．C．D．4、的展开式中x的系数是（）A．-4B.-3C.3D.45、设有直线m、n和平面、。下列四个命题中，正确的是（）A.若m∥,n∥,则m∥nB.若m,n,m∥,n∥,则∥C.若，m,则mD.若，m，m,则m∥6、设随机变量服从正态分布N(0,1),若P(＞c+1)=P(＜c－,则c=（）A.-1B.0C.1D.214/147、一个盒子里装有相同大小的红球、白球共个，其中白球个，从中任取个，则概率为的事件是()A.没有白球B.至少有一个白球C.至少有一个红球D.至多有一个白球8、某班举行联欢会，原定的6个节目已排出节目单，演出前又增加了3个节目，若将这3个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为（）A．504B．210C．336D．3789、5张卡片上分别写有A,B,C,D,E5个字母,从中任取2张卡片,这两张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为()A.B.C.D.10、有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）(A)1344种(B)1248种(C)1056种(D)960种11、长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=,AA1=1,则顶点A、B间的球面距离是（）A.2B.C.D.12、三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为凸数，如等，那么任取一个三位正整数恰好是无重复数字的三位凸数的概率是().A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卷中相应横线上。13、某高中共有学生1200人，其中高一年级有500人，高二年级有400人，高三年级有300人，采用分层抽样方法抽取一个容量为60的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取学生个数分别应为_______________________.14、将正方形沿对角线折成一个直二面角，则异面直线AB和CD所成的角为__________________.15、一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为___________________.16、若展开式的各奇项系数之和为32，则n=,其展开式中的常数项为 。（用数字作答）三、解答题（共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）14/1417、（10分）已知展开式中的前三项系数成等差数列，求展开式中含的项18、（本小题共12分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列.19、（本小题共13分）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离.20、（本小题满分13分）14/14 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.21.、本小题满分12分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若η=aξ,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.22、（本小题满分14分）在数列|{an},{bn}中，a1=2,b1=4，且成等差数列，成等比数列（）(Ⅰ)求a2,a3,a4及b2,b3,b4，由此猜测{an},{bn}的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：14/14成都十八中2022～2022学年度下期高中二年级期末考试数学答题卷（理科）二、填空题：本大题共４小题，每小题4分，满分16分.把答案填在题中横线上.1３、 1４.1５. 1６.三、解答题（共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17、（10分）已知展开式中的前三项系数成等差数列，求展开式中含的项18、（本小题共12分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列.14/1419、（本小题共13分）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离.14/1420、（本小题满分13分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.21.、本小题满分12分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若η=aξ-b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.14/1422、（本小题满分14分）在数列{an},{bn}中，a1=2,b1=4，且成等差数列，成等比数列（）(Ⅰ)求a2,a3,a4及b2,b3,b4，由此猜测{an},{bn}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；（Ⅱ）证明：14/14高二理科六月考数学参考答案一、选择题（每小题5分共60分）题号123456789101112答案DCCADBBABCCB二、填空题（每小题4分16分）13.25,20,15;14.15.;16.16三、解答题（共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17、（10分）解：得前三项系数分别是，，前三项系数成等差数列，有解得或（不合题意舍去）由得所求项是18、（12分）解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么P（EA）=即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是（Ⅱ）记甲、乙两个同时参加同一岗位服务为事件E，那么P（E）＝所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P（）=1-P(E)=(Ⅲ)随机变量ξ可能取的值为1，2.事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，则P（ξ＝2）＝所以p（ξ-1）＝1-P（ξ＝2）＝.ξ的分布列是14/14ξ12P19、解法一：（I）取AB中点D，连结PD，CD.∵AP=BP，∴PD⊥AB.∵AC=BC,∴CD⊥AB.∵PD∩CD=D,∴AB⊥平面PCD.∵PC∩平面PCD.∴PC⊥AB.（Ⅱ）∵AC=BC，AP＝BP，∴△APC≌△BPC.又PC⊥BC.∴PC⊥BC.又∠ACB=90°,即AC⊥BC.且AC∩PC＝C,∴BC⊥平面PAC.取AP中点E，连结BE，CE.∵AB＝BP，∴BE⊥AP.∵EC是BE在平面PAC内的射影.∴CE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.在△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝2，BE＝AB＝，∴sin∠BEC=∴二面角B-AP-C的大小为aresin(Ⅲ)由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，∴平面APB⊥平面PCD.过C作CH⊥PD，垂足为H.∵平面APB∩平面PCD＝PD，∴CH⊥平面APB.∴CH的长即为点C到平面APB的距离，由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，且AB∩AC＝A.∴PC⊥平面ABC.CD平面ABC.∴PC⊥CD.在Rt△PCD中，CD＝∴PC＝∴CH=∴点C到平面APB的距离为解法二：（Ⅰ）∵AC＝BC，AP＝BP，∴△APC≌△BPC.14/14又PC⊥AC.∴PC⊥BC.∵AC∩BC＝C，∴PC⊥平面ABC.∵AB平面ABC，∴PC⊥AB.（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.设P（0，0，1）.∵｜PB｜＝｜AB｜＝2，∴t＝2，P（0，0，2）.取AP中点E，连结BE，CE.∵｜AC｜＝｜PC｜，｜AB｜＝｜BP｜,∴CE⊥AP，BE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.∵E（0，1，1），∴cos∠BEC=∴二面角B-AP-C的大小为arecos（Ⅲ）∵AC=BC=PC，∴C在平面APB内的射影为正△APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离.如（Ⅱ）建立空间直角坐标第C-xyZ.∵∴点H的坐标为（）.∴∴点C到平面APB的距离为20 解法一： （Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD,平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC.由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,所以OB＝，在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，在Rt△PBO中，tan∠PBO＝所以异面直线PB与CD所成的角是.14/14（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为. 设QD＝x，则，由（Ⅱ）得CD=OB=， 在Rt△POC中，所以PC=CD=DP,由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时.解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，(Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，由(Ⅱ)知设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).则所以即，取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).设由，得解y=-或y=(舍去)，此时，所以存在点Q满足题意，此时.21、17.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）的分布列为：14/1401234P∴D（Ⅱ）由，得a2×2.75＝11，即又所以当a=2时，由1＝2×1.5,得b=2;当a=-2时，由1＝-2×1.5，得b=.∴或即为所求.22、（14分）本小题主要考查等差数列，等比数例，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.满分12分.解：（Ⅰ）由条件得由此可得猜测用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立.②假设当n=k时，结论成立，即那么当n=k+1时，所以当n=k+1时，结论也成立.由①②，可知对一切正整数都成立.（Ⅱ）n≥2时，由（Ⅰ）知故＝14/14＝综上，原不等式成立.14/14
