高一数学竞赛试题卷命题人：李玉明审题：望中数研组(December24,2022)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分（时间：120分钟满分：150分）【说明】解答本试卷不得使用计算器★祝你考试顺利★第Ⅰ卷（选择题，45分）一、选择题：（本题共9小题，每题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。）1．已知集合M={x|x∈N且8－x∈N}，则集合M的元素个数为（）A．10B．9C．8D．72．函数满足，则这样的函数个数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．函数的图象是（）A．B．C．D．4．已知函数，当时，恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．若的值为()A．1B．3C．15D．306.若函数f(x)=lg(x2－ax－3)在(－∞,－1)上是减函数，则a的取值范围是txCj()CＡ．a＞2 Ｂ．a＜2Ｃ．a≥2Ｄ．a≥-2(2,)O1234y1t(月)7．如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：(t≥0，a>0且a≠1)．有以下叙述①第4个月时，剩留量就会低于；②每月减少的有害物质量都相等；③若剩留量为所经过的时间分别是，则.其中所有正确的叙述是()CA．①②③B．①②C．①③D．②③7/78.设,记,若则()A．Ｂ．-Ｃ．Ｄ．9．已知函数是定义在R上的奇函数，函数的图像与函数的图像关于直线对称，若（）A．0B．1C．2D.－2第Ⅱ卷（非选择题，共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。）10.已知函数则的解集为.11.函数（常数Z）为偶函数且在（0，+∞）是减函数，则=.81635749212.函数上零点的个数为.13.将个正整数1，2，3，…，填入到个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做阶幻方。如右图就是一个3阶幻方。定义为阶幻方对角线上数的和。例如，那么=.14.设数集，，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是.15.下列命题中①对于每一个实数x，这两个函数中的较小者，则的最大值是1.②已知的根，的根，则.③函数是偶函数，其定义域为[a－1，2a]，则的图象是以(0，1)为顶点，开口向下的抛物线.7/7④若集合P={},Q={}，则⑤若函数在上递增，且，则．其中正确的命题的序号是________.三、解答题（共5小题，共69分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本小题10分）已知集合A={x|x2-5x-6=0},集合B={x|mx+1=0}若求实数m组成的集合.17．（本小题12分）若非零函数对任意实数均有，且当时，；（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：判断函数的奇偶性；（Ⅲ）当时，解不等式18．（本小题12分）某网民用电脑上因特网有两种方案可选：一是在家里上网，费用分为通讯费（即电话费）与网络维护费两部分。现有政策规定：通讯费为0.02元/分钟，但每月30元封顶（即超过30元则只需交30元），网络维护费1元/分钟，但每月上网不超过10小时则要交10元；二是到附近网吧上网，价格为1.5元/小时。（Ⅰ）将该网民在某月内在家上网的费用y（元）表示为时间t（小时）的函数；（Ⅱ）试确定在何种情况下，该网民在家上网更便宜。19．(本小题15分)已知关于x的方程:，（Ⅰ）若方程有两个实根,求实数的范围；（Ⅱ）若方程有两个实根，且两根都在区间内,求实数的范围；（Ⅲ）设函数，记此函数的最大值为，最小值为，求、的解析式。20．（本小题20分）设S表示所有大于--1的实数组成的集合，确定所有函数,满足以下两个条件：（Ⅰ）对于S内的所有x和y，都有（Ⅱ）在区间（--1，0）与（0，+∞）内，都是严格递增的。7/7望江中学2022--2022年度高一数学竞赛答案命题人：李玉明审题：望中数研组(December23,2022)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分（时间：120分钟满分：150分）【说明】解答本试卷不得使用计算器班级：姓名：第Ⅰ卷（选择题，45分）一、选择题：（每题5分，共45分）题号123456789答案BCADCCCBD第Ⅱ卷（非选择题，共105分）二、填空题：（每题6分，共36分）10.11.12.13.14.15.三、解答题（共5小题，共69分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.本小题10分）解：A={-1,6}（Ⅰ）时，m=0（Ⅱ）时，当时，解的m=1,当时，解得综上m的取值集合是.7/717.（本小题12分）解：（Ⅰ）又则。（Ⅱ）令，或（舍去）令，得，设定义域内的两个实数，且，则，，所以为减函数。（Ⅲ），即，故原不等式的解集是18．（Ⅰ）（Ⅱ）上网时间超过60小时则在家上网便宜。（解题过程略）7/719.(本小题15分)解：（Ⅰ）方程有两个实根时，得解得（Ⅱ）令由题意得解得（Ⅲ）对称轴为，顶点为当即时当即时当即时当，即时∴综上所述，7/720.(本小题20分)7/7
