[机密]2022年11月14日前高2022届高三第一学期期中考试数学（理科）试题数学（理科）试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷：选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上.1.已知集合，，则下列结论中正确的是A.B.C.D.2.已知复数（虚数单位），若，则实数的值为A．B．C．D．3.设，则是的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.已知，则A．B．C．D．5.命题，；命题，；则下列命题中真命题是A．B．C．D．6.设公差不为的等差数列的前项和为，已知为和的等比中项，且，则A．B．C．D．7.已知实数满足：，若的最小值为，则实数A．B．C．D．8．已知函数的最小正周期为，且的图象经过点.则函数的图象的一条对称轴方程为10\nA．B．C．D．9．定义在上的偶函数满足：对任意的，都有.则下列结论正确的是A．B．C．D．第10题图10．如图，已知平行四边形ABCD，点和分别将线段BC和DC等分，若，则A．B．C．D．11．若函数在上是单调函数，则的取值范围是A．B．C．D．12.已知函数，若关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是A．B．C．D．第Ⅱ卷：非选择题本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应的位置上．13．定积分_____．14．已知平面向量，则向量与向量的夹角为____.15．已知数列中是数列的前项和，则.10\n16．已知点为△的重心，且，若，则实数的值为.三、解答题：本大题共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．17．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分（Ⅱ）小问5分）函数，．（Ⅰ）求函数的最大值，并写出取最大值时的取值集合；（Ⅱ）若锐角满足，求的值.18.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知数列满足，，，.（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.[19.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问4分）已知△的三个内角所对的边分别为，向量，，且∥.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）已知是的中线，若，求的最小值．20.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）已知函数.（Ⅰ）求证：函数有且只有一个零点；（Ⅱ）对任意实数（为自然对数的底数），使得对任意，恒有成立，求的取值范围.21.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知函数，，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）设，求函数在上的最小值；（Ⅱ）过原点分别作曲线与的切线，已知两切线的斜率互为倒数，求证：或．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.10\n22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲.如图所示，已知是⊙切线，为切点，为割线，弦，相交于点，为上一点，且．（Ⅰ）求证：四点共圆；（Ⅱ）若，，求的长．第22题图23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L:，曲线的参数方程为（为参数）.（Ⅰ）求直线L和曲线的普通方程；（Ⅱ）在曲线上求一点，使得到直线L的距离最小，并求出这个最小值.24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式对恒成立．（Ⅰ）求实数的最大值；（Ⅱ）若为正实数，为实数的最大值，且，求证：．10\n高2022届高三第一学期期中考试数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题：1—5：DCACA6—10：BCCDB11—12：BA二、填空题：．13．14．15．16．三、解答题：17.（Ⅰ）解：由……………………4分∴函数的最大值为．此时，……………………………………5分∴，解得，．故的取值集合为．…………………………………………7分（Ⅱ）∵锐角满足，∴……………………………8分∴……………………………………………………………10分…………………12分18.（Ⅰ）证明：由得：，……………………………………1分即：，∴以首项，为公差的等差数列，……………………………………………………3分∴[，∴10\n，…………………………………………………5分车员x（Ⅱ）………………6分设，两式相减得：，∴………………………………………………………………………9分设，则……………11分∴…………………………………12分19.解：（Ⅰ）∵∥∴，…………………………………1分由正弦定理得：，………………………………2分即：，∴，∴…………………………………………4分∴…………6分∵，∴∴∴，即：．……………………………………………8分10\n（Ⅱ）延长至E，使，连结，则为平行四边形，由得，即，……………………………………10分由，，即∴的最小值为………………………………………………………………………12分20.解：（Ⅰ）：由知：，，…2分∴在上为减函数，…………………………………………………………3分又，，∴在上有零点，…………5分∴函数有且只有一个零点.…………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知在上为减函数，∴最小值为，……………7分只需即：对任意成立，设，……………8分∵恒成立，∴当时，，当时，，∴在是减函数，在上为增函数，的极小值为…………10分又，，∴在上的最大值为…………………11分∴，即………………………………………………………………………12分21.（Ⅰ）解：，……………………………………1分10\n令>0得，令<0得，所以,函数在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数，……………………………3分∴当时，在上是增函数，∴…4分当时,函数在[m,1]上是减函数,在[1,m+1]上是增函数，∴．………………………………………………………………5分（Ⅱ）设的方程为，切点为，则，∴∴．…………………………………………………………6分由题意知，切线的斜率，∴切线的方程为，设与曲线的切点为，∴，∴，，又，消去后整理得，…8分令，则，∴在上单调递减，在上单调递增，………………………………9分若，∵，，∴，而，在单调递减，∴．………………………10分若，∵在上单调递增，且，∴，∴…………………………………………………11分10\n综上，或．…………………………………………………12分22．解：（Ⅰ）证明：，又，，，又故，所以四点共圆．………………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及相交弦定理得，又，，由切割线定理得，∴．………………………………………………………………………10分23．解：（Ⅰ）直线L和曲线的普通方程为：；.……………………………………5分（Ⅱ）设，到直线L的距离当时，即，此时点坐标为…………………………………………………10分24．解：（Ⅰ）由………………………………3分∵对恒成立．，∴最大值为………………………………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即当且公当时等号成立…………………………………………………9分10\n∴…………………………………………………………………10分10
